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文档简介
微积分在几何上有两个基本问题 1 如何确定曲线上一点处切线的斜率 2 如何求曲线下方 曲线梯形 的面积 直线 几条线段连成的折线 曲线 知识回顾 用 以直代曲 解决问题的思想和具体操作过程 分割 以直代曲 作和 逼近 求由连续曲线y f x 对应的曲边梯形面积的方法 2 以直代曲 任取xi xi 1 xi 第i个小曲边梯形的面积用高为f xi 宽为dx的小矩形面积f xi dx近似地去代替 4 逼近 所求曲边梯形的面积s为 3 作和 取n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积s的近似值 xi 1 xi xi 1 分割 在区间 a b 上等间隔地插入n 1个点 将它等分成n个小区间 每个小区间宽度 x 定积分的定义 一般地 设函数f x 在区间 a b 上有定义 将区间 a b 等分成n个小区间 每个小区的长度为 在每个小区间上取一点 依次为x1 x2 xi xn 作和如果无限趋近于0时 sn无限趋近于常数s 那么称常数s为函数f x 在区间 a b 上的定积分 记作 由定积分的定义可以计算 但比较麻烦 四步曲 有没有更加简便有效的方法求定积分呢 问题情景 分割 以直代曲 求和 逼近 微积分基本定理 变速直线运动中位置函数与速度函数的联系 变速直线运动中路程为 这段路程可表示为 问题思考 另一方面作变速直线运动的物体的运动规律是s s t 对于一般函数 设 是否也有 若上式成立 的原函数 来计算 我们就找到了用 定理 微积分基本定理 牛顿 莱布尼茨公式 记 则 f x 是f x 的导函数 f x 是f x 的原函数 解 1 取 解 2 取 例计算下列定积分 解 3 例计算下列定积分 解 例计算下列定积分 例 计算下列定积分 解 1 0 1 解 0 0 解 练习 29 6 1 9 e2 e 1
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