电气电子毕业设计87多带余弦调制滤波器组设计
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电气电子毕业设计87多带余弦调制滤波器组设计,毕业设计论文
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第 1 页 共 33页 毕业设计用纸 目 录 摘 要 . 2 Abstract . 3 1. 绪论 . 4 2. 低通原型滤波器的设计 . 6 2.1 概述 . 6 2.2 低通原型滤波器 . 6 2.2.1 标准低通滤波器的理想特性 . 6 2.2.2 低通原型滤波器的设计 . 7 2.3 二次约束原型低通滤波器组 . 7 2.4 凯泽窗函数 设计原型低通滤波器 . 9 2.4.1 概述 . 9 2.4.2 凯泽窗函数设计的原型滤波器 . 10 2.4.3 Kaiser 窗函数的 Matlab 实现 . 12 3 滤波器组的设计 . 13 3.1 概述 . 13 3.2 下取样与上取样 . 13 3.2.1 下取样 . 13 3.2.2 上取样 . 16 3.3 逆操作 . 18 3.4 多带余弦调制滤波器组 . 19 3.4.1 滤波器组的分析部分 . 20 3.4.2 滤波器组的综合部分 . 20 4. 多带余弦调制滤波器组的准确重构 . 24 4.1 概述 . 24 4.2 准确重构 . 24 4.2.1 恒等变换 . 24 4.2.2 准确重构的充要条件 . 25 4.3 多带余弦调制准确重建滤波器组 . 25 5. 多带余弦调制滤波器组的 计算机仿真与分析 . 27 5.1 凯泽窗函数设计的原型滤波器仿真分析 . 27 5.2 分析滤波器的仿真分析 . 28 5.3 综合滤波器 的仿真分析 . 29 6. 结 论 . 31 致 谢 . 32 参考文献 . 33 nts 第 2 页 共 33页 毕业设计用纸 摘 要 首先介绍了滤波器组的概念，然后给出基于此概念的 余弦调制滤波器组CMFB(Cosine-Modulated Filter Banks)的设计及实现 , 本文提出了一种近似重构的多带余弦调制滤波器组的设计方法。采用凯泽窗设计法设计原型低通滤波器，在精确重组的前提下，对低通滤波器系数进行优化。该方法优化方便，收敛速度快，与其他方法相比滤波器的阻带衰减大。对设计好的原型滤波器再进行 余弦调制，即得到余弦调制滤波器组。 利用计算机对本文提出设计方法仿真，并进行性能分析。 关键词 ： 原型滤波器；余弦调制滤波器组 ；近似重构；多速率；凯泽窗 装nts 第 3 页 共 33页 毕业设计用纸 Abstract In this paper,the theory of filter banks is firstly overviewed.Then the design and implementation method of the multracarrier modulation based on CMFB are presented. A method for designing M-band cosine-modulated filter banks with near perfect reconstruction is proposed. Under the presumption of PR ,the coefficients of the lowpass prototype are optimized. Compared with other design methods,the proposed technigue yields PR filter banks with much higher stopbank attenuation.A design example is presented to show that cosine-modulated filter banks with high stop attenuation can be achieved using the proposed mothod. This paper consists of two topics: prototype filter design and CMFB perfect reconstruction. Key words: prototype filter; CMFB(Cosine-ModulatedFilterBanks); near perfect reco- nstruction;multirate； Kaiser nts 第 4 页 共 33页 毕业设计用纸 1. 绪论 1.1 国内外研究现状、水平及存在的问题 近些年来，余弦调制滤波器组以其设计简单的优点，获得了在音频、静止图像和视频压缩方面广泛的应用，比较成功的基于余弦调制滤波器组的压缩算法有 MP3、 DolbyAC-3和 MPEG AAC等。由于设计简单且实现效率高，余弦调制滤波器组 成为多速率滤波器组的研究热点之一。 M带均匀最大抽取滤波器组的重构问题，约在 70年代人们就已经开始进行研究，并一直受到重视。近年来随着信息和通信技术的发展，该问题更加受到人们的关注，将之列为信号处理在现在通信中的关键技术之一。但迄今为止，这一课题发展的还不够成熟。主要是因为一方面研究者通常从分析 -综合滤波器组完全重构的条件出发，其要求苛刻， 难于进行；另一方面滤波器传输函数通常设为经典参数形式，由于考虑到稳定性等，滤波采用 FIR型，效率第二是结构复杂化，因此使问题复杂化。有时存在难以处理的困难。因此目前国内外 ，大都采用二分带分级树型结构等一些特例。 对于工程应用来说，有效设计和实现尤其重要，因此随着精确重构滤波器组的基本理论逐渐趋于成熟，设计上简单及实现复杂度低的调制型多带滤波器组近年来得到了较多的研究。在调制型滤波器组中各个子带滤波器是由一个原型低通滤波器经过调制得到的，本文着重研究精确重构余弦调制滤波器组的设计，首先推导出涉及滤波器的精确重构约束条件，并提出了一种在精确重构约束条件下设计原型滤波器的有效方法，从而得到余弦调制滤波器组。 1.2 选题的目的、意义 当要设计和实现的滤波器组子带数量很大是，余弦调 制滤波器组是一个有吸引力的选择。它的主要特点是： （ 1） 设计过程简单，包括生成一个低通原型滤波器，其脉冲调制满足准确重建的一些约束条件。 （ 2） 就所需要的乘法次数而言，其现实成本低。因为生成分析滤波器组和合成滤波器组是靠 DCT 变换来实现的 ， DCT 有快速算法，而且每个子带滤波器共享原型滤器的实现成本。 众所周知，余弦调制滤波器组的分析滤波器和综合滤波器都是由一个具有线性相位特性的原型滤波器经余弦调制而得到的滤波器。随着多速率滤波器组和调制滤波器组的精确重建理论的建立 , 精确重建余弦调制滤波器组 (PR - CM FB)渐成为了一种最佳滤波器组。滤波器组在通信、图像编码、语音编码、雷达等许多领域都有广泛的应用。余弦调制滤波器组 (CMFB)是一种特殊的多速率滤波器组 ,它的分析和综合滤波器是由一个或两个低通原型滤波器经过余弦调制得到的。因此 ,余弦调制滤波器组的设计可简化为原型滤波器的设计。由于设计简单且实现效率高 ,余弦调制滤波器组成为多速率滤波器组的研究热点之一。近年来，余弦调制滤波器组以其设计和计算简单的优点，获得了在音频、静止图像和视频压缩方面广泛的应用。 订nts 第 5 页 共 33页 毕业设计用纸 本设计着重提出了一种多带余弦调制滤波器组的设计， 提高其性能，使之 可应用于视频会议这样的实时性要求较高的现代通信系统究滤波器组设计基本原理，优化原型滤波器设计，掌握余弦调制方法。 1.3 实施方案及主要研究手段 该设计提出了一种近似重构的多带余弦调制滤波器组的原型滤波器设计方法，该方法使用凯泽窗函数设计原型滤波器。 本设计着重研究精确重构余弦滤波器组的设计。余弦调制滤波器组是一个特殊的多 速率滤波器组 ,它的分析和综合滤波器是由多个低通原型滤波器经过余弦调制得到的。因此 ,余弦调制滤波器组的设计可简化为原型滤波器的设计 . 由于在设计的多带余弦调制滤波器中所有的分析和综合滤波器组都 是对原型滤波器进行调制得到的，整个滤波器的设计关键就是原型滤波器的设计。这里采用凯泽窗函数来设计原型滤波器，其中心思想是构造一目标函数，该目标函数是需优化滤波器参数的凸函数，通过求目标函数的极值来获得滤波器的最优参数。由于只需优化一个参数，所以使得设计过程得以简化。这一设计方法在原型滤波器、分析滤波器组和综合滤波器组的阻带衰减特性方面也具有优势。 调制时，选择合适的相位因子，可以消除相邻子带间的混叠（混叠的主要部分）。设计论证了余弦调制滤波器组精确重构的充要条件，提出了一种快速的设计方法，通过优化一个低 阶 FIR 滤波器间接设计高阻带衰减的原型滤波器。 1.4 选题的创新之处 近年来随着信息和通信技术的发展，余弦调制滤波器中精确重构问题更加受到人们的关注，将之列为信号处理在现在通信中的关键技术之一。完全重构是指没有幅度、相位、混叠、串话失真，即使理论上满足，实际种也做不到 在近代通信系统的许多实际应用中，要求系统处理不同抽样速率的信号。多速率信号处理也取得长足的发展。本课题要研究设计一种滤波器组，提高其性能，使之可应用于视频会议这样的实时性要求较高的现代通信系统，研究滤波器组设计基本原理，优化原型滤波器设计，掌 握余弦调制方法。 nts 第 6 页 共 33页 毕业设计用纸 2. 低通原型滤波器的设计 2.1 概述 本章将介绍低通原型滤波器的设计方法，我们首先讨论常用 FIR滤波器的理想频率响应，以及相应的脉冲响应，然后介绍二次约束原型滤波器的设计，最后，给出本设计中原型滤波器的设计方法 凯泽窗函数设计原型滤波器。 2.2 低通原型滤波器 2.2.1 标准低通滤波器的理想特性 滤波器的特性通常用他的频率响应来描述滤波器实现基于它的传输函数 )z(H nnn z)n(h)z(H （ 2.2.1） FIR滤波器的设计首先是计算系数 )n(H 而 )e(H j 与 )n(h 的关系如下 n njj e)n(h)e(H (2.2.2) de)e(H2 1)n(h njj (2.2.3) 下面将确定理想标准滤波器的 )e(H j 和 )n(h 低通 FIR数字滤波器的理想幅度响应如图 2-1 )e(H j c 2 图 2-1 低通 FIR数字滤波器的理想幅度响应 其理想幅度响应为 （ 2.2.4） cc,0,1)H (e jnts 第 7 页 共 33页 毕业设计用纸 利用 (2.2.3)式得到理想低通滤波器的脉冲响应为 de)e(H2 1)n(h njj=0,)sin(0,nnnncc(2.2.5) 2.2.2 低通原型滤波器的设计 将原型滤波器表示成 )()( zBzA L 的形式 (其中 )(zB 是最平坦 FIR 滤波器 ),通过优化低阶 FIR 滤波器 )(zA 的通带边缘频率 ,间接 设计原型滤波器。 为了得到高质量的重构，一个好的原型滤波器尽可能满足一下两个条件： MH ,0)(（ 2.2.6）MMHHP 0,1)()()( 22 （ 2.2.7） 如果满足条件 （ 2.2.6） 式则非相邻子带间也没有混叠。 如果满足条件 （ 2.2.7） 式则滤波器组没有幅度失真。为了便于优化，这里将原型滤波器 )(zH 表示为 )()()( zBzAzH L （ 2.2.8） 调制时，选择合适的相位因子，可以消除相邻子带间的混叠（混叠的主要部分）。 2.3 二次约束原型低通滤波器组 通常情况都用最小平方逼近的方法来选择优化目标函数，使低通原型滤波器有最大阻带衰减。即目标函数为： PhhdeHh Tjs 2)()( （ 2.3.1） 其中 P为一 N N正定矩阵，其元素 jijiji jiPssji,),(s in ()(, （ 2.3.2） s为阻带截止频率，在 M2 和 M 之间选取。 最后把求原型滤 波器系数归结为非线性约束极值问题： nts 第 8 页 共 33页 毕业设计用纸 )(min hh , h满足：kkT qhQh ，totNk 1（ 2.3.3） 由于在完全重构条件中有一半条件重复，故条件数 )1()1( MLmMNt o t。 解非线性约束极值问题可归结为解非线性方程组。令： )()(kkTk qhQhhY totNk 1（ 2.3.4） 然后对（ 2.3.4）式各变量求导并令其为零得到： 0 hQPhkk（ 2.3.5） ,kkT qhQh totNk 1 （ 2.3.6） （ 2.3.5）式和（ 2.3.6）式联立就是所要得到的非线性方 程组。然后用牛顿迭代法求解即可。不妨设（ 2.3.5）式和（ 2.3.6）式联立所得到的非线性方程组为 0)( xF ，其各分量函数为)(,)(),(),( 321 xfxfxfxf m。则牛顿迭代法描述如下： 步 1 给出初始近似 0x 及计算精度 1 和 2 ； 步 2 假定已进行了次迭代，已求出了 kx 及 )( kxF ，计算 )( kxF ，其中 )( kxF =nmmnijxfxfxfxfxf1111)(，即 )( kk xFA 和 )( kk xFb ； （ 2.3.7）步 3 解线性方程组kkk bxA 得 kx ； 步 4 求 kkk xxx 1 及 )( 1kxF ； 步 5 若 kk xx1或21 )( kxF，则置 1 kxx ，输出 x ， )( xF 及 kx 转步6，否则 kk 1 , kk FxxF )( 1 转 步 2； 步 6 结束。 nts 第 9 页 共 33页 毕业设计用纸 2.4 凯泽窗函数设计原型低通滤波器 2.4.1 概述 窗函数设计滤波器的基本思想 ， 就是根据给定的滤波器技术指标 ， 选择滤波器的阶数N 和合适的窗函数 )(n 。即用一个有限长度的窗口函数序列 )(n 来截取一个无限长的序列 )(nhd获得一个有限长序列 )(nh ,即 )()()( nhnnhd。 并且要满足以下两个条件 ： （ 1） 窗谱主瓣尽可能地窄 ,以获得较陡的过渡带 ； （ 2） 尽量减少窗谱的最大旁瓣的相对幅度 ， 也就是能量尽量集中于主瓣 ， 使峰肩和纹波减小 ， 就可增多阻带的衰减。这就给窗函数序列的形状和长度选择提出了严格的要求。 FIR滤波器的设计建立在对期望滤波器频率特性的某种近似基础之上，不同的逼近方法构成的 FIR滤波器的不同设计方案，有多种设计方案可以设计 FIR滤波器，比如窗函数设计法、差值逼近法、最小平方逼近法和一致逼近法等等。其中，窗函数设计技术使 FIR滤波器设计的主要方法之一，由于其运算简便，物理意义直观，已成为工程应 用中最广泛的方法。 窗函数设计的基本思想 窗函数设计 FIR滤波器就是根据给定的滤波器技术指标，选择滤波器长度 M和窗函数 )(n ，使其具有最窄宽度的主瓣和最小的旁瓣。其核心就是给定的频率特性确定有限长单位脉冲响应序列 )(nh 。考虑到数字滤波起的频率响应是以 2 为周期的 周期函数，若指标所要求的频率响应为 )( jd eH，则与它相对应的序列为 )(nhd，根据 DTFT变换对的关系有 njdjd enheH )()( （ 2.4.1） deeHnh njjdd )(2 1)( （ 2.4.2） 为了满足设计要求，得到一个有限长 M 的脉冲响应，一种最简单的办法就是对 )(nhd进行截断并移位，使 0n 时， )(nh =0。即取 010),()( Mnnhnh d （ 2.4.3） 该法由于通过加窗，取有限的脉冲响应，所以成为窗函数法（也称窗口法）。 nts 第 10 页 共 33页 毕业设计用纸 常用窗函数 工程实际中常用的窗函数有 6种，即矩形窗、巴特里特窗、汉宁窗、哈明 窗、布莱克曼床和凯泽窗。它们之间的性能比较如下表。 在本设计中主要采用凯泽窗函数来实现原型滤波器的设计。 窗口的计算公式 根据工程实际的经验，给定p，s pR和sA，则窗函数设计的经验公式如下：归一化过渡带 =2 psf 滤波器阶数 = 136.1495.7 fAM s 当 50sA时， )7.8(1 1 0 2.0 sA当 5021 sA时， )21(0 7 8 8 6.0)21(5 8 4 2.0 4.0 ss AA2.4.2 凯泽窗函数设计的原型滤波器 由于在设计的多带余弦调制滤波器中所有的分析和综合滤波器组都是对原型滤波器进行调制得到的，整个滤波器的设计关键就是原型滤波器的设计。这里采用凯泽窗函数来设计原型滤波器，其中心思想是构造一目标函数，该目标函数是需优化滤波器参数的凸函数，通过求目标函数的极值来获得滤波器的最优参数。由于只需优化一个参数，所以使得设计过程得以简化。这一设计方法在原型滤波器、分析滤波器组和综合滤波器组的阻带衰减特性方面也具有优势。 在逼近重构余弦调制滤波器组时，混叠几乎被消除，失真也近似于 一个延迟。设原型滤波器 )( jeP 是线性相位的，则对应 )( jeP 的近似重构条件可由以下公式给出 0)( jeP ， M（ 2.4.5） 式中 1)( jeT （ 2.4.6） nts 第 11 页 共 33页 毕业设计用纸 2120( )()( MkMkjj ePeT （ 2.4.7） (2.4.5)式中的近似程度决定混叠误差的大小， (2.4.6)式中的近似程度决定失真误差的大小。 利用 Kaiser 窗函数，一个长度为 1N 的滤波器可由下式表示 )()()( nnhnp i （ 2.4.8） 式中 )5.0( )5.0(s in ()( Nn Nnnh c （ 2.4.9） 其中 )(nhi是截止频率为c的理想滤波器的冲激响应。 )(n 是 Kaiser 窗函数。 nNnI NNnInO其它,00,)( )5.0/5.0(1)()(20 （ 2.4.10） 其中 )(0 I是零阶修正 Bessel 函数 210)! )5.0(1)( kkkxxI （ 2.4.11） 参数 可由选定阻带衰减确定。这样原型滤波器的设计可利用 Kaiser 窗函数确定c、 N和 来实现。 根据确定的阻带衰减sA和适当的过渡带宽 ，窗函数长度 N 可近似为 2/36.14 95.7 sAN（ 2.4.12） Kaiser 窗函数完全确定。截止频率c是唯一未知参数。定义 2 jj ePeG （ 2.4.13） 根据式 （ 2.4.6） ， jeG 可近似认为是长度为 M2 的 Nyquist 滤波器。也就 nMMng 2 12 （ 2.4.14） 其中 n 为单位冲激响应。目标函数定义为 Mng 2max （ 2.4.15） 取最小值时的 c 即使得 )(np 最优。根据该 Kaiser 窗函数法设计子带个数 5Q ，阻带nts 第 12 页 共 33页 毕业设计用纸 衰减sA=60的原型滤波器。 2.4.3 Kaiser 窗函数的 Matlab 实现 Kaiser 窗函数的语法格式为 Kaiser ( n ,BETA) ,其特点是可以在主瓣与旁瓣之间自由地选 择它们之间的比例。对于长度为 n 的凯泽窗 ,由 BETA 控制旁瓣高度 ,不同 BETA 即得相应的旁瓣高度。 n (取 50) 不 变的情况如图 2-2 ,BETA(取 4) 不变的情况如图 2-3。 图 2-2 n 不变时不同 BETA旁瓣变化情况 图 2.3 改变 n 旁瓣高度变化情况 nts 第 13 页 共 33页 毕业设计用纸 3 滤波器组的设计 3.1 概述 在许多应用中，需将一个数字信号分解成为多个子频带。分解后的信号比原是信号中的样点数多，但是可以对每个子频带进行抽样（下取样），以使分解后的数字信号样点数和原始信号一样多。问题是怎样从抽取后的子带完好地恢复出原始信号。通常这个目标的系统成为滤波器组。 在信号分析、编码和传 输等许多应用中，需要将数字信号 )(nx 分解成多个子带，如图 3-1 所示。 )(nx )(0 nx)(1 nx )(1 nxM 图 3-1 数字信 号分解成 M 各子频带 在这种情况下，每个子带信号 )(nxk， 1,0 Mk ,的样点数至少和原始信号一样。这意味着分解成 M 个子带后的信号的样点数是原始信号的 M 倍。在许多应用中，这是要避免的。通常，信号的频谱被等分成多个子带 )(nxk，且各个子带的带宽相等。那么每个子带的带宽是原始 信号的 M1 ，可以对每个子带以1M抽样（临界抽样）而不会损失原始信号中的信号，就可以将一个信号分解成多个子带而不增加总的样点数。 3.2 下取样与上取样 3.2.1 下取样 取样信号为 )(txa，设mx是对模拟信号 )(txa以周期 T 取样得到的数字信号即)()( 1mTxmx a 。以因子 M 对信号 mx 抽取或下取样就是减少取样速率 M 倍，等效于每隔 M保留一个取样值，此操作用途如图 3-1 所示的符号表示， M =2 的情况如图 3-2 H0(z) H1(z) HM-1(z) nts 第 14 页 共 33页 毕业设计用纸 mx)(nxd图 3-1 M 倍下取样 下取样后的信号和原始信号之间的关系可以直观的表示为 )()( nMxnx d （ 3.2.1） 在频域，如果mx的频谱是 )( jeX ，则下取样的频谱 )( jd eX为 )(1)( 2 M kjjd eXMeX （ 3.2.2） mx n0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 )(nxd m 0 1 2 3 4 5 图 3-2 2 倍下取样 如图 3-3 所使得 M 2 的情况，式说明将mx的频谱扩展 M 被以后 2 为周期延拓到 )(nxd的频谱（等价于将mx的频谱先以M2位周期延拓，在扩展 M 倍）。这意味着，要避免下取样后的混叠， 信号mx带宽必须限制在 MM ,。因此，通常在下取样之前先经过一个如图 3-4 所示的低通滤波器，其频率响应近似为 )( jd eX = ,0,1 MM （ 3.2.3） 加入滤波器以后，下取样信号 )(mxd是对信号mx和滤波器脉冲响应 )(nh 卷积结果每隔 M 的 线nts 第 15 页 共 33页 毕业设计用纸 取样值，即 （ a） (b) 图 3-3 （ a） 原始数字信号的频谱 （ b） 2M 时原始信号取样函数的频谱 )()()( mnMhmxnxm dd （ 3.2.4） )(mx )(nxd图 3-4 一般下取样操作 下取样的一些重要结论 （ Crochiere Rabiner,1983） ： 时变性，即如果输入信号mx时移 k ，输出信号通常不是相应的时移 k 。下取样称为周期性时不变 操作。 从 （ 3.2.4）式 可知，如果滤波器 )(zHd是 FIR，它的输出只需要计算每隔 M 个取样点的卷积结果，其实现复杂度是普通滤波器运算的M1（ Peled Liu,1995） 。而 IRR不具有该特性。则可以放宽对滤波器的限制， )(zHd为 1,2,1,2,2,0,0,1)(MkM kM keHpPpjd （ 3.2.5） M)(zH nts 第 16 页 共 33页 毕业设计用纸 3.2.2 上取样 对数字信号mx内插或上取样 L 倍，即在信号的样点之间插入 1L 个 0，此操作用图 3-5表示。 mx )( nxi图 3-5 L 倍上取样 内插信号表示如下 0,),()( kkLnLnxnxi（ 3.2.6） 2L 的内插操作如图 3-6所示。 在频域，设mx的频谱为 )( jeX ，直观地，可以得到内插信号的频谱 )( ji eX（ CrochiereRabiner,1983） )()( Ljj eXeX （ 3.2.7） 图 3-7是信号mx和内插因子为 L的内插信号 )( nxi的频谱。 )(nxi m 0 1 2 3 4 5 mx0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 图 3-6 2 倍内插 因为原始信号的频谱以 2 为周期，所以内插信号的频谱周期为M2。要得到mx的平滑内插信号，内插信号要和原始信号mx有一样的频谱形状，这可以通过滤除 )( nxi中处在 nts 第 17 页 共 33页 毕业设计用纸 (a) (b) 图 3-7 (a) 原始数字信号频谱 （ b） L 倍内插后的信号频谱 MM ,之处的频谱来实现。因此，通常在内插操作的接一个低通滤波器见图 3-8。其频率响应近似为 0,)( MMLeH ji （ 3.2.8）这样内插操作等价 于低通滤波器和 （ 3.2.6）式 定义的信号 )( nxi的卷积。考虑到只有 )( nxi的非零样点的索引值是 M M的倍数，将式 （ 3.2.6） 改写为 0),()( kkxkMxi（ 3.2.9） 从这个等式容易看出，在时域，滤波后的内插信号变成 km ii kLnhkxmnhmxnx )()()()()( （ 3.2.10） mx)(nxiL)(zH nts 第 18 页 共 33页 毕业设计用纸 图 3-8 一般内插操作 内插操作的一些重要结论 （ Crochiere Rabiner,1983） ： 和下取样操作不同，内插是时不变操作。具体地讲， MI 是内插 L 倍运算符，信号 )()( mxInx Mi ，则 )()( kMnxkmxI iM 。 从 （ 3.10）式 可知，计算滤波器 )(zHi的输出只需在输入信号中每隔 M 点取一个样点，因为器它的样点值都为零。这意味着其实现的复杂度是普通滤波的M1。 如果信号mx限带于 pp ,，则内插后，信号频谱只在 )1,2,1(2 MkMk 周围半径为Mp 的范围内出现。因此，可以同样地放宽对滤波器的限制，得 1,2,1,2,2,0,0,)(MkMkMkMMMeHpppji （ 3.2.11） (3.2.8)和 (3.2.11)式中的增益因子 L 可以这样理解，因此只保留信号的 L 个样点中的一个值，信号的平均能量减少为原来的21L 倍，因此，内插滤波器的增益必须是 L，以弥补这个能量损失。 3.3 逆操作 现在，一个很自然的问题是： M 倍下取样 MD 和 L倍内插操作 MI 是互逆操作吗？显而易见，只要两个操作定位准确，内插时在样点之间插入的 )1( M 个零点，在下取样是正好被去掉；如果没有定好位，将得到零信号。 另一方面，其其通常不是自反操作，因为下取样将信号中每 M 个样点中的 )1( M 个去掉，然后内插操作在样点间插入 )1( M 个零。因此它们的级联相当于将信号中每 M 个样点中的 )1( M 个样点的值替换为零。但是，如果信号在下取样前，经过限带于 MM ,的滤波器，在内插之后，经过一个同样的滤波器如图 3-9，则成为一个自反操作。这样频域很容易证明，先经过限带滤波器，下取样后的信号不会有混叠，频谱处在 , 。再经过nts 第 19 页 共 33页 毕业设计用纸 M 倍内插，信号的频谱在区间 MkMk )1(, 内周期性重复，第二个限带滤波器只保留 MM ,之 间的频谱，即对应的原始信号频谱。 图 3-9 (a) 先 M 倍下采样再 L 倍上采样 图 3-9 (b) 先 L 倍上采样再 M 倍下采样 3.4 多带余弦调制滤波器组 当要设计和实现的滤波器组子带数量很大是，余弦调制滤波器组是一个有吸引力的选择。它的主要特点是： 设计过程简单，包括生成一个低通原型滤波器，其脉冲调制满足准确重建的一些约束条件。 就所需要的乘法次数而言，其现实成本低。因为生成分析滤波器组和合成滤波器组是靠DCT 变换来实现的， DCT 有快速算法，而且每个子带滤波器共享原型滤波器的实现成本。 分析和综合滤波器组都是由一个原型低通滤波器通过调制得到的，这里所用的原型滤波器就是用 2.4 节中提到的凯泽窗函数 设计的。用来进行调制的函数可以是指数函数，也可以是余弦函数或正弦函数，分别称为 DFT 调制滤波器组和余弦调制滤波器组。在 DFT 调制滤波器组中，采用的低通原型滤波器在时域是一个符号帧长的矩形脉冲，频域为 sinc 函数。由于能量集中度不够，较多的能量通过旁瓣泄漏到邻近子带，造成子带间干扰。为了消除由此带来的影响，一般采用加隔离带（即循环前缀）的方法。而在余弦调制滤波器组中，采用的低通原型滤波器时域的长度一般有若干个符号帧长，不同符号帧的脉冲在时域上相互交叠，可以通过频谱优化，使子带滤波器的能量更加集中，阻 带能量达到最小，从而减小邻近子带间干扰。这对于通信系统中实际存在的各种窄带干扰及其它干扰的抵抗力较强。余弦调制滤波器具有设计简单，易于实现的优点。除此之外，对于余弦调制滤波器组，由于只需优化原型滤波器，需要优化的参数少，所以应用广泛。 nts 第 20 页 共 33页 毕业设计用纸 3.4.1 滤波器组的分析部分 分析部分由两部分组成：分析滤波器组和抽取器组（如图 3-5（ a）。 分析滤波器组 它由具有共同输入的长度为 L 的数字滤波器组成。分析滤波器的转移函数有 )(1 zH , )(2 zH , , )(zHL 表示，且其频率响应略有重叠。输入信号 )(nu 分割成用 Lkk nu 1)( 表示的一组信号，这组信号称为子带信号。 抽取器组 根据子带信号的带宽都必须小于整个频带信号 )(nu 带宽，对子带信号进行抽取（ down-sample）。第 k 个 L 倍（ L-fold）抽取器采用子带信号 )(nuk以产生如下输出信号 )()(, LnuDu kDk , Lk ,2,1 （ 3.4.1） 抽取器得到的仅仅是发生在 L 倍数时刻 )(nuk的样值。 3.4.2 滤波器组的综合部分 综合滤波器还包含如下两个功能块如图 3-5(b)所示。 内插器 用来对其各个输入信号进行内插（ up-sample）。第 k 个 L 内插器 采用信号 )(nvk以产生如下输出信号 其它，的整数倍时如果， 0Ln,/9)(,LnvnvkEk（ 3.4.2） 综合滤波器组 它由具有共同输出的 一组 L 个数字滤波器并联组成。综合滤波器的转移函数有 )(,),(),(2 zFzFzF Lk 表示，其输出结果用 )(nu 表示。 输出信号 )(nu 不同于输入信号 )(nu 是由于： (1) 在分析部分对抽取信号进行的外部处理；(2) 混叠误差。在我们讨论的范围内，混叠指在抽取形式频谱中高频分量呈现出与低频分量一样特性的现象。由于分析滤波器的非理想特性所发生 的这种现象也包括由于抽取产生了多个副本所引起的低频分量混入到高频带。对于低频带信号，其它一些地方出现这一现象也是可能的。 令 )(zT 表示整个多速率数字滤波器（即分析 /综合滤波器）的转移函数。在对分析滤波器输nts 第 21 页 共 33页 毕业设计用纸 出信号不作任何处理的条件下，选择分析滤波器转移函数 )(1 zH , )(2 zH , , )(zHL 和 (a) 分析部分 (b) 综合滤波器 图 3-10 数字滤波器 对应综合滤波器转移函数 )(,),(),(2 zFzFzF Lk ，使 )(zT 是一个纯粹的时延，即 czzT )( （ 3.4.3） 式中 c 是标量因子， 是分析滤波 器与综合滤波器级连所引入的处理时延。当这个条件满足时，就说无混叠多速率滤波器具有理想重构特性。信号经过分析滤波器组分为各子带信nts 第 22 页 共 33页 毕业设计用纸 号后，可对子带信号进行抽取以降低运算复杂度。图 3-11 中 D 为抽取过程， D 为内插过程， D 为抽取（内插）因子。抽取（内插）因子 D 和滤波器个数相等时称为最大采样或临界采样；抽取（内插）因子 D 小于子带个数时称为过采样。临界采样时计算量较小， 但过采样的约束条件数量比临界采样时少，因此在在设计低通原型滤波器是具有更大的自由度。 图 3-11 分析和综合系统 对于余弦调制正交镜像滤波器组，其分析滤波器传递函数 )(zHk和综合滤波器传递函数 )(zFk, 1,.1.0 Mk 是分别通过对一个具有线性相位特性的低通滤波器 )(zp 进行余弦调制获得的。因此分析滤波器 )(zHk和综合滤波器 )(zFk的冲激响应如下 )2(2)12c o s ( ()(2)( kk QNnMknpnh （ 3.4.4） )2(2)12c o s ( ()(2)( kk QNnMknpnf （ 3.4.5） 其中 ,1,1,0 Nn 1,1,0 Mk ，4)1( kkQ ， M 是子带个数， N 是原型滤波器阶次。分析滤波器和综合滤波器具有如下关系 )()( )1( zHzzF kNk （ 3.4.6） 这里滤波器 )(zHk和 )(zFk具有相同的长度 N ， )( zHk是 )(zHk的共轭转置。 ),1()( nNhnfkk )()( )1( zHzzFkNk ， 10 Mk （ 3.4.7） 尽管原型滤波器具有线性相位 ， 但分析和综合滤波器都没有线性相位 。 整个滤波器组的输出可表示为 nts 第 23 页 共 33页 毕业设计用纸 )()()()()( 11zTzWXzTzXzX lMll （ 3.4.8） 其中 jeW 定义总的混叠误差为 21112)(1)( Mljl eTME (3.4.9) 因为 )(zHk )( 1zHk是
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