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文档简介
3 4基本不等式 证明 1 定理适用范围 2 强调取 的条件 定理 如果a b r 那么 证明 即 当且仅当a b时 均值定理 注意 1 适用的范围 a b为正数 2 语言表述 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 讲授新课 观察右图 你能得到不等式 的几何解释吗 b 例1 已知ab 0 求证 并推导出式中等号成立的条件 证明 因为ab 0 所以 根据均值不等式得 即 当且仅当时 即a2 b2时式中等号成立 因为ab 0 即a b同号 所以式中等号成立的条件是a b 例2 1 一个矩形的面积为100m2 问这个矩形的长 宽各为多少时 矩形的周长最短 最短周长是多少 2 已知矩形的周长是36m 问这个矩形的长 宽各为多少时 矩形的面积最大 最大面积是多少 分析 在 1 中 矩形的长与宽的乘积是一个常数 求长与宽的和的2倍的最小值 在 2 中 矩形的长与宽的和的2倍是一个常数 求长与宽的乘积的最大值 规律 两个正数的积为常数时 它们的和有最小值 两个正数的和为常数时 它们的积有最大值 例3 求函数的最大值 及此时x的值 解 因为x 0 所以 得 因此f x 当且仅当 即时 式中等号成立 由于x 0 所以 式中等号成立 因此 此时 下面几道题的解答可能有错 如果错了 那么错在哪里 已知函数 求函数的最小值和此时x的取值 运用均值不等式的过程中 忽略了 正数 这个条件 已知函数 求函数的最小值 用均值不等式求最值 必须满足 定值 这个条件 用均值不等式求最值 必须注意 相等 的条件 如果取等的条件不成立 则不能取到该最值 1 已知x 0 y 0 xy 24 求4x 6y的最小值 并说明此时x y的值 4已知x 0 y 0 且x 2y 1 求的最小值 2已知a b 4 求y 2a 2b的最小值 练习题 当x 6 y 4时 最小值为48 最小
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