高中数学 优选法与试验设计初步课件 新人教A版选修47.ppt

选修4 7优选法与试验设计初步第一讲优选法一 什么叫优选法二 单峰函数 问题提出 1 利用线性规划原理 可以解决在线性约束条件下 求线性目标函数的最大值或最小值问题 同时还可以求得使目标函数取得最大或最小值的最优解 其中在可行域内寻找最优解 体现了一种优选法思想 2 蒸馒头是日常生活中常做的事情 为了使蒸出的馒头好吃 就要放碱 如果碱放少了 蒸出的馒头就发酸 碱放多了 馒头就会发黄且有碱味 如果你没有做馒头的经验 也没有人可以请教 就要用数学的方法迅速找出合适的碱量标准 3 在实践中的许多最优化问题 试验结果与因素的关系 有些很难用数学形式来表达 有些表达式很复杂 这需要我们学习解决这类问题的数学方法 优选法与单峰函数 探究 一 优选法 思考1 有一种商品价格竞猜游戏 参与者在只知道售价范围的前提下 对一件商品的价格进行竞猜 当竞猜者给出的估价不正确时 主持人以 高了 或 低了 作为提示语 再让竞猜者继续估价 在规定时间或次数内猜对了即可获得相应奖品 如果你参与这项活动 每次会怎么给出估价 思考2 在生产 生活和科学实验中 人们为了达到优质 高产 低耗等目的 需要对有关因素的组合进行选择 其中最佳组合简称最佳点 关于最佳点的选择问题 称为优选问题 优选问题在生产 科研和日常生活中大量存在 如商品价格竞猜 蒸馒头放碱等都是优选问题 你能列举一个优选问题的实例吗 思考3 有一个1km2的正方形池塘 现在要找到池塘的最深点 若每隔1m测量一次 大约要测量多少次 约106次 思考4 对于那些试验结果和相关因素的关系不易用数学形式表达或数学表达很复杂的优选问题 人们往往通过做试验的办法来寻找各种因素的最佳点 通过试验方法来求最佳点时 如果不合理安排 就可能面临什么问题 面临大量试验 花费大量人力 财力和时间 有时可能不具有操作性 思考5 利用数学原理 合理安排试验 以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法称为优选法 那么使用优选法的目的是什么 需要进一步探究的问题是什么 目的 减少试验次数 问题 优选法如何实施 探究 二 单峰函数 思考1 在军事训练中 发射炮弹要考虑发射角多大时炮弹的射程最远 这是一个优选问题 能否用数学形式表达炮弹的射程与发射角之间的关系 能 思考2 设炮弹的初速度为v 发射角为 0 90 在时刻t炮弹距发射点的水平距离为x 离地面的高度为y 空气阻力忽略不计 则在下面的直角坐标系中 炮弹飞行轨迹的参数方程和普通方程分别是什么 t为参数 v 思考3 炮弹的射程x与发射角 之间的函数关系是什么 其图象如何 炮弹发射角的最佳点是什么 最佳点是 思考4 上述结果表明 发射角在内有唯一的最佳点 当发射角在内的取值比大些或小些时射程都近 通常称这样的试验具有单峰性 一般地 怎样理解单峰性的含意 在试验范围内有唯一的最佳点 当试验范围内变化因素的取值比最佳点再大些或最小些时 试验效果都差 而且取值距离最佳点越远试验效果越差 思考5 下图中的两个函数称为区间 a b 上的单峰函数 那么单峰函数的定义特征是什么 函数f x 在区间 a b 上只有唯一的最大 小 值点c 且在点c的两侧单调 并具有相反的单调性 思考6 下列各图中的函数是区间 a b 上的单峰函数吗 单峰函数一定是连续函数吗 规定 区间 a b 上的单调函数是单峰函数 单峰函数不一定是连续函数 探究 三 因素与试点 思考1 在炮弹发射试验中 除发射角外 客观上还会因哪些原因影响炮弹的射程 初速度 空气阻力 地理位置等 思考2 一般地 把影响试验目标的诸多原因称为因素 由于全面考虑试验中的各种因素往往非常困难 常假设其中的某些因素保持不变 或忽略某些影响较小的因素 而把关注点集中在感兴趣的某个因素上 如果在一个试验过程中 只有 或主要有 一个因素在变化 则称这类问题为单因素问题 炮弹发射试验是否为单因素问题 认为哪些因素保持不变 忽略了哪些因素 认为初速度保持不变 忽略了空气阻力 思考3 把试验中可以人为调控的因素叫做可控因素 不能人为调控的因素叫做不可控因素 炮弹发射试验中哪些是可控因素 哪些是不可控因素 一般地 在试验中我们感兴趣的因素是哪种因素 发射角是可控因素 空气阻力是不可控因素 感兴趣的是可控因素 思考4 表示试验目标与因素之间对应关系的函数称为目标函数 常用x表示因素 f x 表示目标函数 包含最佳点的因素范围下限用a表示 上限用b表示 炮弹发射试验的目标函数 因素范围上 下限分别是什么 目标函数 因素范围上限 下限 0 思考5 当主要因素确定之后 接下来的任务是通过试验找出最佳点 使试验的结果 目标 最好 当目标函数没有表达式时 一般要选择适当的方法安排试验点 简称试点 选择试点方法找出最佳点的基本原则是什么 试点个数尽可能少 思考6 设x1和x2是因素范围 a b 内的任意两个试点 c为最佳点 把两个试点中效果较好的点称为好点 效果较差的点称为差点 若目标函数为单峰函数 则好点与差点哪个更接近最佳点 若好点和差点在最佳点同侧 则好点比差点更接近最佳点 否则 不好说 思考7 若目标函数为单峰函数 则最佳点 好点 差点的相对位置关系如何 最佳点与好点必在差点的同侧 思考8 以差点为分界点 把因素范围分成两部分 其中好点所在部分称为存优范围 据此 你能设计一个找最佳点的方法吗 不断缩小存优范围 理论迁移 例1据医学统计 人群中带有某种传染病毒的人所占的比例为0 25 某市在一次高考体检中有1万名考生待检 为了查清这些考生中哪些人携带此病毒 医院采取一种叫 群试 的方法 通过血液化验进行排查 即把从每位考生身上抽取的血样分成两部分 一份保存备用 一份与其他若干人的血样混合在一起化验 若某组混合血样中含此病毒 说明这组人中有该病毒携带者 然后利用备用血样逐个化验排查 若某组混合血样中不含此病毒 说明这组人中没有该病毒携带者 这样就可以减少化验的次数 若将这1万名考生平均分成200组进行群试化验排查 那么至多做多少次化验 就一定能找出所有该病毒携带者 1424次 例2已知函数f x 为区间 0 1 上的单峰函数 且f x 在x a时取最大值 并称a为峰点 包含峰点的区间叫做含峰区间 证明 对任意x1 x2 0 1 x1 x2 若f x1 f x2 则 0 x2 为含峰区间 若f x1 f x2 则 x1 1 为含峰区间 例3已知函数若f x 是 0 4 上的单峰函数 求a的取值范围 小结作业 1 如果影响试验的某个因素 记为x 处于某种状态 记为x x0 时 试验结果最好 那么这种状态 x x0 就是这个因素 x 的最佳点 2 具有单峰性的试验是优选法研究的最简单的试验 在这样的试验中 试验结果可以表示为实验因素的单峰函数 3 目标函数并不需要f x 的真正表达式 因素范围可以用a到b的线段来表示 不断缩小存优范围是寻找最佳点的一个有效办法 作业 p3习题1 1 1 2 p5习题1 2 1 2 选修4 7优选法与试验设计初步第一讲优选法三 黄金分割法 0 618法 问题提出 1 优选法的含意是什么 利用数学原理 合理安排试验 以最少的实验次数迅速找到最佳点的科学试验方法 2 区间 a b 上的单峰函数的基本特点是什么 函数在区间 a b 上只有唯一的最大 小 值点c 且在点c的两侧单调 并具有相反的单调性 3 好点 差点和单峰函数存优范围的含义分别是什么 好点 两个试点中效果较好的点 差点 两个试点中效果较差的点 存优范围 以差点为分界点 把因素范围分成两部分 好点所在部分对应的范围 4 优选法的基本原则是以最少的实验次数迅速找到最佳点 在实际问题中 应采取什么办法贯彻这个原则 对具有单峰性的试验 如何安排试点才能迅速找到最佳点 这才是优选法的核心内容 也是我们必须解决的问题 黄金分割法 探究 一 黄金分割常数 思考1 对于单峰函数 最佳点与好点必在差点的同侧 从而可以通过不断缩小存优范围来寻找最佳点 具体如何操作 先在因素范围 a b 内任选两点各做一次试验 根据试验结果确定好点与差点 在差点处把 a b 分成两段 截掉不含好点的一段 留下存优范围 a1 b1 再在 a1 b1 内重复上述工作 思考2 假设因素区间为 0 1 取两个试点0 1和0 2 则对峰值在 0 0 1 内的单峰函数 两次试验存优范围缩小到了什么区间 对峰值在 0 2 1 内的单峰函数 两次试验存优范围缩小到了什么区间 0 0 2 0 1 1 思考3 上述结果表明 如果试点选取是随意的 则对寻找单峰函数最佳点的效率会产生一定的影响 由于在试验之前无法预知哪个试点是好点 为了克服盲目性和侥幸心理 在每次选取两个试点时 你认为这两个试点应具有什么相对位置关系为好 关于区间中点对称 思考4 在一个区间内关于中点对称的两点有无数对 实践表明 两个试点离中点太近或太远 都不利于很快接近最佳点 我们设想 每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度之比为常数 对单峰函数 若两个试点的试验结果一样 应如何舍去区间 同时舍去两个试点外侧的区间 思考5 在因素区间 a b 内选取两个试点x1和x2 且x1 x2 由点x1和x2关于区间 a b 的中心对称 可得什么关系 舍去的区间长度为多少 x2 a b x1 思考6 不妨设x2是好点 x1是差点 则舍去的区间是什么 存优范围是什么 再在存优范围内 a x1 内做试验要取几个试点 存优范围是 a x1 舍去 x1 b 取一个试点 思考7 在存优范围 a x1 内取第三个试点x3 则点x2与x3的相对位置关系如何 舍去的区间长度为多少 关于区间 a x1 的中心对称 且点x3在点x2左侧 舍去的区间长度为x1 x2 思考8 根据按比例舍去原则 可得什么等式 思考9 将上面的等式可得 即如何理解这个等式两边的实际意义 两次舍弃后的存优范围占舍弃前全区间的比例数 思考10 设 有什么办法求出t的值吗 探究 二 黄金分割法 思考1 称为黄金分割常数 用 表示 0 618 试验方法中 利用黄金分割常数确定试点的方法叫做黄金分割法 也叫做0 618法 一般地 利用这个方法寻找单峰函数在因素区间 a b 内的最佳点 具体如何操作 在存优范围内取黄金分割点为试点 思考2 炼钢时通过加入含有特定化学元素的材料 使练出的钢满足一定的指标要求 假设为了炼出某种特定用途的钢 每吨需要加入某元素的量在1000g到2000g之间 若以1g为间隔 把所有的可能性都做一遍试验来寻找最优点 这种方法称为均分法 利用均分法寻找最优点有什么缺点 试验次数太多 在时间 人力和物力上造成浪费 思考3 用一张纸条表示1000 2000g 以1000为起点标出刻度 如何确定第一试点x1和第二试点x2的值 1382 1618 x1 1000 0 618 2000 1000 1618 g x2 1000 2000 x1 1382 g 思考4 如果称因素范围的左右两端点值分别为小头和大头 那么x1和x2的直观表达式如何 x1 小 0 618 大 小 x2 小 大 x1 思考5 用黄金分割法确定第一试点x1后 x2的值相当于 加两头 减中间 类似地 在确定第n个试点xn时 如果存优范围内相应的好点是xm 则xn等于什么 xn 小 大 xm 思考6 对前述炼钢问题 比较第一 二次试验结果 如果第二试点x2是好点 则第三试点x3的值如何计算 x3 1000 1618 1382 1236 g 思考7 比较第二 三次试验结果 如果第二试点x2仍是好点 则第四试点x4的值如何计算 x4 1236 1618 1382 1472 g 思考8 用0 618法寻找最佳点时 虽然不能保证在有限次内准确找到最佳点 但随着试验次数的增加 存优范围会越来越小 若用一个数据 n来刻画n次试验后的精度 以此衡量一种试验方法的效率 则 n应如何计算 思考9 用0 618法确定试点时 n次试验后的精度 n为多少 n 0 618n 1 思考10 用0 618法寻找最佳点时 若给定精度 为了达到这个精度 至少要做多少次试验 x1 100 0 618 1100 100 718x2 100 1100 718 482x3 482 1100 718 864x4 482 864 718 628x5 628 864 718 774x6 628 774 718 684 理论迁移 例1已知某因素范围是 100 1100 用黄金分割法寻找最佳点 已知前6次试验后的好点包含在区间 700 750 内 求第6次试验后的存优范围 684 774 例2调酒师为了调制一种鸡尾酒 每100kg烈性酒中需要加入柠檬汁的量在1kg到2kg之间 用0 618法寻找它的最佳加入量 要求加入柠檬汁的误差不超出1g 问需要做多少次试验 需要做16次试验 log0 618 0 2090 因为 而 故 例3在用0 618法寻找最佳点的过程中 若某次试验后的存优范围是 2 b 且2 382是这个存优范围内的一个好点 求b的值 故b 2 618或b 3 若2 382是第一个试点 则2 382 2 0 618 b 2 所以b 2 618若2 382是第二个试点 则2 382 0 618 2 0 382b所以b 3 小结作业 1 建立黄金分割法的基本原则是 两个试点关于存优范围的中心对称 且每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例 2 黄金分割法主要适用于单因素单峰目标函数 第一个试点确定在因素范围的0 618处 后续试点可以用 加两头 减中间 来确定 3 试验方法的效率常用精度 n来反映 在相同试验次数下 精度越高 方法越好 作业 p10习题1 3 1 2 3 选修4 7优选法与试验设计初步第一讲优选法四 分数法 问题提出 1 黄金分割法的基本原则是什么 两个试点关于存优范围的中心对称 每次舍去的区间长度与舍去前的区间长度成比例 2 用黄金分割法寻找最优点时 第一个试点选在何处 后续试点的数量值如何计算 第一个试点在因素范围的0 618处 后续试点选在存优范围内 用 加两头 减中间 来确定数量值 x1 小 0 618 大 小 x2 小 大 x1xn 小 大 xm 3 用黄金分割法确定试点时 n次试验后的精度 n为多少 n 0 618n 1 4 黄金分割法操作简单实用 是一种重要的优选法 是寻找单因素单峰目标函数最佳点的主要方法 但是 如果因素范围是由一些离散的点组成 就不便甚至不能利用黄金分割法来寻找最佳点 用此 我们希望以黄金分割法为基础 再研究一个类似的方法来弥补黄金分割法的不足 分数法 探究 一 分数法的概念 思考1 在配置某种清洗液时 需要加入某种材料 经验表明 加入量大于130ml肯定不好 用150ml的锥形量杯计量加入量 该量杯的量程分为15格 每格代表10ml 能否用0 618法找出这种材料的最优加入量 为什么 不方便 因为用0 618法算出的试点不是10ml的整数倍 锥形量杯难以精确计量 思考2 0 618是黄金分割常数的近似值 是方程 2 1 0的根 该方程可以作哪些变形 1 1 等 思考3 将等式右边的 反复用代替 可得什么关系式 思考4 上式右边是一个繁分式 叫做无穷连分数 为了书写简便 记作 那么这个无穷分数的前6项分别为多少 思考5 依次计算无穷连分数的各项得到一个各项为分数的数列 3 这个数列的相邻两项有什么联系 把所有结果组成数列的各项的分子组成数列 fn 则数列 fn 为1 1 2 3 5 8 13 21 34 这个数列有什么构成规律 前一项的分母等于后一项的分子 f0 f1 1 思考6 上述数列 fn 叫做斐波那契数列 随着n的增大 的值与 有什么关系 逐渐趋向于 fn 1 1 2 3 5 8 13 21 34 分数可作为 的近似值 思考7 分数可作为 的近似值 而且n越大近似程度越高 数列称为 的渐近分数列 称为 的第n项渐近分数 如果用0 618法确定试点不方便 可以用哪些数代替0 618 用第n项有渐近分数来代替 思考8 在前述 配置清洗液 问题中 因素范围是0 130ml 锥形量杯能精确计量10ml的整数倍 用哪个渐近分数来代替0 618选取试点最合适 x1 0 0 618 130 0 80 思考9 用代替0 618 第1试点和第2试点对应的加入量分别为多少ml 若第1试点是好点 则第3试点对应的加入量为多少ml x2 0 130 80 50 x3 50 130 80 100 思考10 在优选法中 用渐近分数近似代替0 618确定试点的方法叫做分数法 那么在什么情况下使用分数法较好 因素范围由一些离散的 间隔不等的点组成 试点只能取某些特定值 探究 二 分数法的操作原理 思考1 在测试某设备的线路中 要选一个电阻 但测试者手里只有阻值为0 5k 1k 1 3k 2k 3k 5k 5 5k 等七种阻值不等的定值电阻 用分数法优选这个阻值有何困难 如何解决 阻值间隔不均匀 电阻个数不是斐波那契数 把这些电阻由小到大排序 并在两端各增加一个虚点 使因素范围凑成8格 阻值0 511 32355 5排序012345678 3k 1 3k 思考2 通过上述处理 可以把阻值优选变为排列序号优选 用渐近分数代替0 618确定试点 第1个试点选取哪个阻值的电阻 第2个试点选取哪个阻值的电阻 思考3 如果第2个试点是好点 则第3个试点选取哪个阻值的电阻 如果第1个试点是好点 则第3个试点选取哪个阻值的电阻 5k 1k 思考4 分数法的基本思想是用适当的渐近分数代替0 618 再类似黄金分割法的操作原理顺次选取试点 设某试验的因素范围是 0 1 如果只能做1次试验 则应取哪个渐近分数代替0 618 试点选在何处 精度为多少 精度为0 5 思考5 设某试验的因素范围是 0 1 如果只能做2次试验 则应取哪个渐近分数代替0 618 两个试点分别选在何处 精度为多少 第1试点选在处 第2试点选在处 精度为 思考6 如果只能做3次试验 则应取哪个渐近分数代替0 618 精度为多少 一般地 如果只能做k次试验 则应取哪个渐近分数代替0 618 精度为多少 渐近分数取 精度为 渐近分数取 精度为 做k次试验 做3次试验 思考7 用分数法安排试点时 若可能的试点总数正好是某一个fn 1 则第1 2个试点分别选哪个点 经过两次试验后 存优范围中还剩下多少个试点可能是最佳点 第fn 1和fn 2点 剩fn 1 1个试点 同样 后续各试点依据 加两头 减中间 的方法来确定 直到因素范围内没有应该试验的点为止 思考8 在fn 1个可能的试点中 最多做多少次试验就能找到其中的最佳点 最多做n 1次试验 思考9 若可能的试点总数大于某一个fn 1 且小于某一个fn 1 1 用分数法安排试点时应作如何处理 把所有可能的试点减少为fn 1个 或增设几个虚点凑成fn 1 1个 思考10 一般地 用分数法安排试点的操作步骤如何 1 将试点个数调整为fn 1个 2 用代替0 618确定第一个试点 3 用 加两头 减中间 的方法确定后续试点 思考11 对目标函数为单峰的情形 用分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系 1 当因素范围内有fn 1 1个试点时 最多只需作n次试验就能找出其中的最佳点 2 通过n次试验 最多能从fn 1 1个试点中保证找出最佳点 3 只有按照分数法安排试点 才能通过n次试验保证从fn 1 1个试点中找出最佳点 理论迁移 例 11年湖南文 已知某试验范围为 10 90 若用分数法进行4次试验 则第二次试点可以是 40或60 只填一个也正确 理论迁移 例某化工厂拟对某一化工产品进行技术改良 需要优选加工温度 试验范围定为60 80 c 精度要求 1 技术员准备用分数法进行优选 1 如何安排试验 2 最多通过几次试验就可以找出最佳点 3 若最佳点为70 c 求各试点的值 6次 解答 下一张 730 680 650 700 1 把试验区间 60 80 等分为20段 分点为61 62 63 79 为了能够使用分数法 可以虚设一个分点第20点把原试验区间分为21段 并由来代替0 618 那么第一试点对应的分点是 返回 x1 0 21 0 13 那么第二试点对应的分点是 x2 0 21 13 8 即730 即680 小结作业 1 分数法适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成 试点只能取某些特定值的情形 其基本思想是用适当的渐近分数代替0 618 然后按类似黄金分割法的操作原理选取试点 即先用渐近分数确定第一个试点 后续试点可以用 加两头 减中间 的方法来确定 2 现实中 由于时间 人力 物力和财力的关系 往往使试验次数受到限制 这种情况下采用分数法可以达到较好的效果 当试点个数一定时 用分数法找出其中的最佳点的试验次数最少 3 若因素范围内的试点将试验范围所分的段数不是斐波那契数 则可以通过减少试点数或增加虚点数凑成斐波那契数 作业 p17习题1 4 1 2 3 选修4 7优选法与试验设计初步第一讲优选法五 其他几种常用的优选法 问题提出 1 斐波那契数列 fn 的构成规律是什么 f0 f1 1 2 分数法的基本思想与适用范围是什么 用渐近分数近似代替0 618确定试点的方法 适用于单因素单峰函数的因素范围由一些离散的点组成 试点只能取某些特定值的情形 以及限定次数或给定精确度的问题 因为和0 618一样 这些分数是黄金数的近似数 所以对试验范围内的连续情形也可以 3 用分数法安排试点的操作步骤如何 将试点个数调整为fn 1个 用代替0 618确定第一个试点 用 加两头 减中间 的方法确定后续试点 4 分数法寻找最佳点的试验次数与试点个数有什么关系 1 当因素范围内有fn 1 1个试点时 最多只需作n次试验就能找出其中的最佳点 2 通过n次试验 最多能从fn 1 1个试点中保证找出最佳点 3 只有按照分数法安排试点 才能通过n次试验保证从fn 1 1个试点中找出最佳点 5 分数法与黄金分割法都是有效的优选法 其操作原理基本类似 其主要区别是分数法用渐近数确定第一个试点 黄金分割法用0 618确定第一个试点 其共同点是用 加两头 减中间 确定后续试点 由于这两种优选法的适应范围各有其局限性 同时 利用这两种方法解决某些优选问题需要较多的试验次数 因此 我们还得有一些其他的优选法作为补充 其他几种常用的优选法 探究 一 对分法 思考1 在商品价格竞猜游戏中 竞猜者以怎样的方式估价 可以尽快猜对商品的价格 每次取存优范围的中点值作为估价 思考2 有一条10km长的输电线路出现了故障 在线路的一端a处有电 在另一端b处没有电 你有什么办法通过试点迅速查出故障所在位置 每次取存优范围的中点作为试点 思考3 上述安排试点的方法称为对分法 那么对分法的操作步骤是什么 取因素范围的中点为试点 根据试验结果截去范围的一半 在存优范围内重复上述操作 直至找出最佳点 思考4 并不是所有优选问题都可以用对分法 那么对分法的适应条件是什么 1 有一个鉴别试验结果好坏的标准 2 能根据每次试验结果预知下个试点的存优范围 思考5 利用对分法作n次试验 所达到的精度为多少 思考6 分别用0 618法和对分法安排试验 找出蒸馒头时合适的放碱量 哪种方法更为有效 为什么 对分法更有效 第一 合适的放碱量事先有明确的标准第二 用对分法取试点计算要方便 第三 同样多次试验对分法的精度要高 用对分法能以较少次数的试验找到最佳点 探究 二 盲人爬山法 思考1 当电视机画面有 雪花 时 可以用遥控器进行频道微调 使画面达到清晰状态 具体如何操作 先往前面方向微调 如果画面清晰一些了就继续往这个方向微调 否则就往后面方向微调 如果前后微调的清晰度都比某点低 则该点为清晰状态最佳点 思考2 一个盲人爬山时已到某处 假设山是单峰的 且只有一条直道经过山顶 试设想他如何判断其立足之处是否为山顶 对前后两个方向进行试探 如果前面高了 就向前走一步 否则试探后面 如果前后都比某点低 就说明到达山顶了 c 思考3 对单因素单峰试验 利用上述思想寻找最佳点具体如何操作 根据经验或估计找一个起点a 在因素的减方向找一个试点b 若b是好点 就继续减少 若a是好点 在因素的增方向找一个试点c 若c是好点 就继续增加 这样一步步地提高 a a b f x y x o d f e b g 如果增加到e点 再增加到f点时反而坏了 这时可以从e点减少增加的步长 如果还是没有e点好 则e就是该因素的最佳点 思考4 上述确定试点的方法称为盲人爬山法 这种方法的效果快慢与哪些要素有关 起点 起点选得好可省好多次试验 每步间隔的大小 思考5 为提高盲人爬山法的试验效果 从开始试点到找到最佳点 每步间隔的大小大致如何安排比较合理 两头小 中间大 即在各个方向上用小步试探一下 找出有利于寻找目标的方向 当方向确定后 再根据具体情况跨大步 快接近最佳点时再改为小步 如果由于估计不正确 大步跨过最佳点 这时可退回一步 在这一步内改为小步进行 一般来说 越接近最佳点的时候 效果随因素的变化越缓慢 探究 三 分批试验法 思考1 0 618法 分数法 对分法 爬山法的共同特点是 后续试验的安排依赖于前面的试验结果 优点是总的试验次数少 缺点是若试验结果需要很长时间才能得到 则试验周期累加耗时太多 为了缩短试验总时间 加快试验进度 你有什么新的想法 1 把所有可能的试验同时安排进行 根据试验结果找出最佳点 2 把全部试验分几批做 每一批同时安排几个试验 并进行比较 直到找出最佳点 思考2 上述试验方法称为分批试验法 利用这种方法寻找最佳点 需要解决的技术问题是什么 如何合理分批 每批如何安排试验 x6 x3 x5 x1 x2 思考3 如图 将因素范围 a b 均分为3份 取两个分点x1 x2为试点各做一次试验 若x1为好点 则存优范围为 a x2 再将该存优范围均分为4份 取两个分点x3 x4为试点各做一次试验 若x3为好点 则存优范围为 a x1 再将该存优范围均分为4份 取两个分点x5 x6为试点各做一次试验 依次类推 直到找出最佳点 这是一种均分分批试验法 这种方法每批安排几个试点 第n次试验后的精度如何计算 a b x4 思考4 均分分批试验法每批可以做2n个试验 首先把试验范围均分为2n 1份 产生2n个均分点x1 x2 x2n 以每个均分点为试点各做一次试验 比较其试验结果 如果xi最好 则存优范围为 xi 1 xi 1 然后将该范围均分为2n 2份 在xi两侧各产生n个分点 以这2n个均分点为试点再做试验 如此反复 就能找到最佳点 用这个方法做分批试验 每批试验后的存优范围如何变化 第一批试验后的存优范围为原来的倍 以后每批试验后的存优范围都为前次留下范围的倍 思考5 在分批试验中 可以将第1批试点按比例安排在试验范围内 若每批做2个试验 则将因素范围7等分 第一批两个试点安排在第3 4两个点上进行 设第4个分点为好点 则存优范围为第3个分点到右端 第二批两个试点安排在第5 6两个点上进行 再将存优范围4等分 第三批两个试点安排在新增的两个分点上进行 如此反复 直到找出最佳点 这是一种比例分割分批试验法 第n次试验后的精度如何计算 思考6 比例分割分批试验法每批可以做2n个试验 类似上述原理 若每批做4个试验 则要将因素范围几等分 第一批4个试点如何安排 分成17等分 第一批试点安排在第5 6 11 12四个点上 思考7 若第一批四个试点中第6个点为好点 则第二批4个试点如何安排 第二批试点安排在第7 8 9 10四个点上 思考8 用比例分割分批试验法 每批分别做2个 4个 6个 8个试验 第一批试点的位置有什么分布规律 其中 代表第一批的试点位置 数字代表第一批不安排的试点个数 3 4 7 17 31 49 5 6 11 12 7 8 15 16 23 24 9 10 19 20 29 30 39 40 2 2 4 4 4 6 6 6 6 8 8 8 8 8 探究 四 多峰的情形 思考1 前面介绍的方法都只适用于 单峰 的情况 若实际问题是 多峰 情形 用前述方法找到一个 峰 以后怎么处理 如果达到预先要求 就先用于实际问题 以后再找其他更高的 峰 思考2 先做一批分布比较均匀的试验 看是否有 多峰 现象 如果有则如何处理 分区间寻找 在每个可能出现 高峰 的范围内做试验 找出这些 峰 思考3 如图 第一批试点一般按a b 0 618 0 382划分 使得有峰值的范围总是成 a b 或 b a 这样处理有什么好处 对每个留下的区域应用0 618法就可以利用已做过的试验结果 从而减少试验次数 理论迁移 例某试验的因素范围是 3 18 用均分分批试验法寻找最佳点 每批安排4个试验 1 如何安排第一批试点 2 若第一批试点中从左到右第3个试点是好点 如何安排第二批试点 第一批4个试点值分别为6 9 12 15 第二批4个试点值分别为10 11 13 14 小结作业 1 如果每作一次试验 根据结果可以决定下次试验的方向 就可以用对分法寻找最佳点 相对于0 618法和分数法 对分法更简单 易操作 2 盲人爬山法是一种采用小步调调整策略的优选法 在生产实践和科学试验中 如果某些因素不允许大幅度调整 可以用盲人爬山法寻找最佳点 3 分批试验法每批同时做几个试验 可以加快试验进度 根据存优范围越小效率越高的原理 比例分割法比均分法效果要好 4 优选法主要针对单峰情形 对多峰问题应转化为单峰问题 作业 p23习题1 5 1 3 4 5 6 选修4 7优选法与试验设计初步第一讲优选法六 多因素方法 问题提出 1 对分法的操作原理是什么 取因素范围的中点为试点 根据试验结果截去范围的一半 在存优范围内重复上述操作 直至找出最佳点 2 盲人爬山法的操作原理是什么 根据经验或估计找一个起点a 在因素的减方向找一个试点b 若b是好点 就继续减少 若a是好点 在因素的增方向找一个试点c 若c是好点 就继续增加 如果增加到某点时是差点 就减少增加的步长 直至找出最佳点 3 均分分批试验法的操作原理是什么 把试验范围均分为2n 1份 产生2n个均分点x1 x2 x2n 以每个均分点为试点各做一次试验 比较其试验结果 如果xi最好 则存优范围为 xi 1 xi 1 然后将该范围均分为2n 2份 在xi两侧各产生n个分点 以这2n个均分点为试点再做试验 如此反复 直至找到最佳点 4 比例分割分批试验法 第一批试点的位置有什么分布规律 2 24 4 46 6 6 68 8 8 8 8 5 黄金分割法 分数法 对分法 盲人爬山法 分批试验法等 是解决单因素单峰情形的优选方法 对多峰的情形 一般转化为单峰情形来解决 但在现实中 我们会遇到多因素优选问题 即试验效果同时受到两个或两个以上因素的影响 从而需要有解决这类问题的办法 多因素方法 探究 一 纵横对折法和从好点出发法 思考1 设某个优选问题同时受到某两个因素的影响 用x y表示两个因素的取值 z f x y 表示目标函数 那么双因素优选问题的本质是什么 迅速找到二元目标函数z f x y 的最大值或最小值及其对应的点 x y 思考2 假设函数z f x y 在某一区域内单峰 其几何意义是把曲面z f x y 看作一座山 顶峰只有一个 从几何上如何理解双因素优选问题的本质 迅速找到曲面的最高峰 思考3 把试验范围内z f x y 取同一值的曲线叫做等高线 各条等高线在水平面上的投影是一圈套一圈的曲线 那么双因素优选问题转化为寻找哪圈等高线 最里边的一圈等高线 思考4 以横坐标表示因素 纵坐标表示因素 假设因素 的试验范围为 a1 b1 因素 的试验范围为 a2 b2 用什么策略寻找峰顶在水平面上的投影点 先固定一个因素 对另一个因素进行优选 再固定第二个因素 对第一个因素进行优选 思考5 如图 先将因素 固定在试验范围的中点c1处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a1 再将因素 固定在试验范围的中点c2处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点b1 比较点a1和b1的试验结果 若b1是好点 则存优范围是哪个区域 c1 b1 a2 b2 思考6 将因素 固定在新范围 c1 b1 的中点d1处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a2 比较点a2和b1的试验结果 若a2是好点 则存优范围是哪个区域 c1 b1 c2 b2 思考7 如此继续下去 不断缩小存优区域 直至找到最佳点为止 这个方法称为纵横对折法 其中每次可以采用什么方法对一个因素进行优选 黄金分割法 分数法 对分法 盲人爬山法 分批试验法等 思考8 实践中每次对一个因素的固定点不一定取中点 如果先将因素 固定在原生产点 或黄金分割点 c1处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a1 c1 c2 再将因素 固定在c2处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点b1 d1 c2 则存优范围是哪个区域 a1 c1 a2 b2 思考9 在此基础上 将因素 固定在d1处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a2 d1 d2 则存优范围是哪个区域 a1 c1 a2 c2 思考10 如此继续下去 不断缩小存优区域 就能找到所需要的最佳点 这个方法称为从好点出发法 该方法有什么特点 除第一次外 对某一因素进行优选时 另一因素固定在上次试验结果的好点上 探究 二 平行线法 思考1 纵横对折法和从好点出发法的共同特点是先固定因素 优选因素 再固定因素 优选因素 来回进行优选试验 应用这两种方法对实验条件有什么要求 两个试验因素都比较容易调整 思考2 如图 设影响某试验结果的因素有 两个 且因素 难以调整 先把因素 固定在0 618处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a1 再把因素 固定在0 382处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a2 比较点a1和a2的试验结果 若a1是好点 则存优范围是哪个区域 0 1 0 382 1 思考3 再把因素 固定在0 764处 对因素 进行单因素优选 得到最佳点a3 比较点a1和a3的试验结果 若a1仍是好点 则存优范围是哪个区域 0 1 0 382 0 764 思考4 如此继续下去 不断缩小存优区域 就能找到所需要的最佳点 这个方法称为平行线法 该方法有什么特点 每次试验都是在相互平行的直线上做 思考5 应用平行线法时 对因素 的取点是否一定要按0 618法 平行线法能否保证下一条平行线上的最佳点一定优于以前各条平行线上的最佳点 不一定 能提高获得满意试验结果的速度 思考6 在求得两条平行线l1与l2上的最佳点a1与a2后 比较点a1和a2的试验结果 若a1是好点 则在存优区域内过点a1 a2作直线l1 在l1上用单因素法找到最佳点a3 如果对a3的试验结果不满意 再过点a3作l1的平行线l3 在l3上用单因素法找到最佳点a4 如果对a4的试验结果还不满意 则在新的存优区域内过点a1 a4