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2 3 2数学归纳法应用举例 例1 用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 1 右边 1 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 即 那么 这就是说 当n k 1时 等式也成立 由 1 和 2 可以断定 等式对任何n n 都成立 例2 证明 平面上n个圆最多把平面分成n2 n 2个区域 证明 1 一个圆将平面分成2个区域 而当n 1时 n2 n 2 2 因此结论当n 1时成立 2 假设当n k时 结论成立 即k个圆最多把平面分成k2 k 2个区域 在此基础上 为使区域最多 应使新增加的圆与前k个圆都交于两点 于是新增2k个交点 这2k个交点将新圆分成2k段弧 这2k段弧将所经过的区域一分为二 因此新增2k个区域 这样k 1个圆最多把平面分成 k2 k 2 2k k 1 2 k 1 2个区域 这就是说 当n k 1时 结论也正确 由 1 和 2 可以断定 结论对任何n n 都正确 例3 求证 当n 5时 2n n2 证明 1 当n 5时 25 32 52 25 因此25 52 即n 5时 结论正确 2 假设当n k k 5 时 这个命题是正确的 那么由2k k2得 这就是说 当n k 1时 命题也是正确的 由 1 和 2 可以断定 这个命题对于所有大于或等于5的正整数n都正确 例4 求证 凸n边形的对角线的条数为 证明 1 当n 4时 四边形的对角线有2条 f 4 2 所以对于n 2 命题成立 2 设凸k边形的对角线的条数为 当n k 1时 k 1边形比k边形多了一个顶点 该顶点与原k边形中的 k 2 个顶点可连成 k 2 条对角线 而原来的一条边也变成对角线 故 k 1 边形比k边形增多了 k 1 条对角线 所以 即n k 1时 命题成立 由 1 2 可知 凸n边形的对角线的条数为 例5 求证当n为正奇数时7n 1能被8整除 证明 1 n 1时 71 1 8能被8整除 2 假设n k k为正奇数 时7k 1能被8整除 设7k 1 8m m n 则当n k 2时 7k 2 1 72 7k 72 72 1 72 7k 1 48 49 8m 8 6
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