高中数学 不等关系与不等式课件 新人教A版必修5.ppt

不等关系与不等式 实际生活中 长短 大小 轻重 高矮 一 问题情境 横看成岭侧成峰远近高低各不同 雷声大 雨点小 捡了芝麻 丢了西瓜 道高一尺 魔高一丈 三个臭皮匠 抵过一个诸葛亮 你能发现下列成语 谚语中反映的不等关系吗 我们生活中的到处都有不等关系 说一说 在数学中我们如何表示不等关系 用 或 填空 2 5 2 3 2 5 2 3 2 4 2 2 2 4 2 2 2 5 3 4 2 1 天气预报说 明天的最高气温为13 最低气温为7 则温度t必须满足什么 2 a是一个非负实数 7 t 13 a 0 a r 3 雷电的温度大约是28000 比太阳表面温度的4 5倍还要高 设太阳表面温度为t 那么t应满足怎样的关系式 4 5t 28000 4 这是某酸奶的质量检查规定 用数学关系来反映就是 5 设点a与平面 的距离为d b为平面 上的任意一点 则d与 ab 的大小关系怎样表示 d ab 必修5第74页 问题 如果19人去该如何购票 19人的普通票花费 190元 若选择20人的团体票花费 160元 是否选择团体票就一定实惠 那么满足什么样的不等关系时 消费者能得到更大实惠 例1 博物馆的门票每张10元 20人以上 含20人 的团体票8折优惠 那在不足20人时 选择怎样的购票策略 不求解 数学应用 例1 博物馆的门票每张10元 20人以上 含20人 的团体票8折优惠 那在不足20人时 选择怎样的购票策略 不求解 解 设x人 x 20 买20人的团体票比普通票便宜 则有 8 20 10 x 这是一次不等式问题 数学应用 数学应用 例 某种杂志原以每本2 5元的价格销售 可以售出8万本 据市场调查 若单价每提高0 1元销售量就可能相应减少2000本 若每本定价x元 怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 分析 若杂志的定价为x元 则销售量减少 因此 销售总收入为 万元 数学应用 例 某种杂志原以每本2 5元的价格销售 可以售出8万本 据市场调查 若单价每提高0 1元销售量就可能相应减少2000本 若每本提价0 1元 怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元呢 用不等式表示为 20 化简得 这是一个一元二次不等式问题 例 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格 按照生产的要求 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢 3 截得两种钢管的数量都不能为负 1 截得600mm钢管的数量不能超过500mm的钢管数量的3倍 2 截得两种钢管的总长度不能超过4000mm 例 某钢铁厂要把长度为4000mm的钢管截成500mm和600mm的两种规格 按照生产的要求 600mm的钢管的数量不能超过500mm钢管的3倍 怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢 这是一个一元一次不等式组问题 建构数学 实际问题 不等关系 数学问题 不等式 抽象概括 刻画 什么是不等式 组 在数轴上 如果表示实数a和b的两个点分别为a和b 则右边点对应的实数比左边点对应的实数大 而且点a和点b在数轴上的位置关系有以下三种 1 点a和点b重合 2 点a在点b的右侧 3 点a在点b的左侧 在这三种位置关系中 有且仅有一种成立 由此可得到结论 对于任意两个实数a和b 在a b a b a b三种关系中有且仅有一种关系成立 如果a b是正数 则a b 如果a b 则a b为正数 如果a b是负数 则a b 如果a b 则a b为负数 如果a b等于零 则a b 如果a b 则a b等于零 通常 如果p 则q 为正确命题 则简记为 读作 p推出q 如果都是正确的命题 记为读作 p等价于q或q等价于p 上述结论可以写成 作差 变形 判断符号 确定大小 作差比较法其一般步骤是 例 比较x2 x与x 2的大小 解 x2 x x 2 因为 x 1 2 0 所以 x2 x x 2 0 因此x2 x x 2 x2 2x 2 x 1 2 1 课本75页a2 课本75页b1 3 4 探究 不等式的基本性质 思考1 若甲的身材比乙高 则乙的身材比甲矮 反之亦然 从数学的观点分析 这里反映了一个不等式性质 a bb a 对称性 性质1 如果a b 那么bb 对称性 即 a b bb 证明 即 a b b a 思考2 若甲的身材比乙高 乙的身材比丙高 那么甲的身材与丙的有什么大小关系 性质2 如果a b 且b c 那么a c 传递性 即 a b b c a c 说明 这是不等式的传递性 这种传递性可以推广到n个的情形 证明 思考3 若甲的年薪比乙高 如果年终两人发同样多的奖金 则甲 乙最终谁拿到的钱多 性质3 如果a b 那么a c b c 即 a b a c b c 可加性 证明 性质3表明 不等式的两边都加上同一个实数 所得的不等式与原不等式同向 a b ca b b c b a c b 由性质3可以得出 推论1 不等式中的任意一项都可以把它的符号变成相反的符号后 从不等式的一边移到另一边 移项法则 思考4 若甲班的男生比乙班多 甲班的女生也比乙班多 则甲班的人数比乙班人数谁多 性质4 如果a b 且c d 那么a c b d 同向可加法则 即 a b c d a c b d 证明 注意 性质4 如果a b 且c d 那么a c b d 同向可加法法则 即 a b c d a c b d 1 这一推论可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相加 即 两个或多个同向不等式两边分别相加 所得不等式与原不等式同向 2 两个同向不等式的两边分别相减时 不能作出一般的结论 思考5 如果a b 那么ac bc吗 如果a b c 0 那么ac与bc的大小关系如何 a b c 0ac bc a b c 0ac bc 可乘性 证明 思考6 如果a b 0 c d 0 那么ac与bd的大小关系如何 为什么 a b 0 c d 0ac bd 乘法法则 思考7 如果a b 0 n n 那么an与bn的大小关系如何 a b 0an bn n n 乘方法则 证明 因为 个 根据乘法法则 得an bn 思考8 如果a b 0 n n 那么与的大小关系如何 a b 0 n n 开方法则 证明 用反证法 假定 即或 根据乘方性质 得即 a b或a b 这都与a b矛盾 因此 运用性质 倒数性质 例1已知a b 0 c 0 求证 课本75页a3 课本75页b2 变式练习 应用不等式的性质 证明下列不等式 1 已知a b ab