高中数学 第二章 函数部分函数与方程课件 新人教版.ppt

新郑二中分校高三数学备课组 函数与方程 学习目标 结合二次函数的图象 说出函数的零点与方程的根的联系 判断一元二次方程根的存在性及根的个数 结合具体函数的图象 能用二分法求近似解 1 一般地 如果函数y f x 在实数a处的 即 则a叫做这个函数y f x 的零点 2 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有 函数y f x 有 3 如果函数y f x 在区间 a b 上的图象是连续不断的一条曲线 并且满足 那么 函数y f x 在区间 a b 内有零点 即至少存在一个c a b 使 满足上面条件 后 在 a b 内存在的c不一定只有一个 函数值等于零 f a 0 交点 零点 f a f b 0 f c 0 4 对于在区间 a b 上连续不断且f a f b 0的函数y f x 通过不断地把函数f x 的零点所在的区间 使区间的两个端点逐步逼近 进而得到零点近似值的方法叫做二分法 一分为二 零点 5 二次函数的零点 有两个零点 有两个不相等的实根 有两个相等的实根 无实根 有一个二重零点 无零点 有两个交点 有一个交点 无交点 1 若函数f x ax b b 0 有一个零点 那么函数g x bx2 3ax的零点是 0 1 因为函数f x ax b b 0 的零点是 所以x 3是方程ax b 0的根 所以b 3a 将它代入函数g x bx2 3ax中 可得g x bx x 1 令g x 0 得x 0或x 1 基础自测 2 已知函数f x x3 x 1仅有一个正零点 则此零点所在区间是 c a 3 4 b 2 3 c 1 2 d 0 1 利用零点存在的判定条件 判断零点存在的区间 由于f 0 10 f 3 23 0 f 4 59 0 根据选择支只有区间 1 2 满足 3 2010 山东省实验中学模拟 函数f x 3ax 1 2a 在区间 1 1 上存在一个零点 则a的取值范围是 c a 1c a 或a 1d a 1 令f 1 f 1 或a 1 故选c 探究点1方程的根与函数的零点 思路 分别确定分段函数在各段解析式中的零点个数 点评 函数f x 的零点是一个实数 不是点 就是方程f x 0的实数根 也是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 因此判断零点的个数就是判断方程f x 0的实根个数 有时也可以根据函数图象的交点的个数来判断零点的个数 b 解析 当x 0时 令x2 2x 3 0 解得x 3 当x 0时 令 2 lnx 0 解得x e2 所以已知函数有2个零点 选b 探究点2方程的根与函数的零点 思路 对于区间上连续不断的函数 在区间 a b 内寻根 往往需要利用零点的存在性定理判断 即判断f a f b 0是否成立 点评 零点的存在性定理是判断连续不断的函数在区间 a b 上是否存在零点的定理 该定理只能判断存在零点 不能判断区间 a b 不存在零点 即如果函数y f x 在区间 a b 上有f a f b 0 函数在区间 a b 上也可能存在零点 如 探究点3二次函数零点的分布问题 例3已知关于x的二次方程x2 2mx 2m 1 0 1 若方程有两根 其中一根在区间 1 0 内 另一根在区间 1 2 内 求m的范围 2 若方程两根均在区间 0 1 内 求m的范围 思路 设出二次方程对应的函数 画出相应的示意图 然后用函数性质对参数加以限制 点评 1 本题综合考查了二次函数 二次方程以及二次不等式的基本关系 有效地训练对 三个二次 的整体理解与掌握 解题过程中的数形结合是数学的重要思想方法 探究点4利用函数零点求参数 例4 1 若函数f x ax2 x 1有且仅有一个零点 求实数a的值 2 若函数f x 4x x2 a有4个零点 求实数a的取值范围 探究点5 二分法 例5 2009 山东模拟 用二分法求函数f x x3 x 1在区间 1 1 5 内的一个零点 精确度为0 1 由于f 1 1 1 1 10 所以f x 在区间 1 1 5 内存在零点 取区间 1 1 5 作为计算的初始区间 用二分法逐次计算列表如下 因为 1 375 1 3125 0 0625 0 1 所以函数的零点落在区间长度小于0 1的区间 1 3125 1 375 内 故函数零点的近似值为1 3125 1 方程的根 从数的角度看 函数图象与x轴的交点的横坐标 从形的角度看 函数的零点是同一个问题的三种不同的表现形式 2 函数零点的求法 1 代数法 利用公式法 因式分解法 直接法求方程f x 0的根 2 几何法 对于不能用求根公式求解的方程 可以将它与函数y f x 的图象联系起来 并利用函数的性质找出零点 3 二分法 主要用于求函数零点的近似值 4 有关函数零点的重要结论 1 若连续不断的函数f x 是定义域上的单调函数 则f x 至多一个零点 2 连续不断的函数 其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号 3 连续不断的函数图象通过零点时 函数值符号可能不变 也可能改变 5 用二分法求零点的近似解时 所要求的精确度 不同 得到的结果也不同 精确度为 是指在计算过程中得到某个区间 a b 后 若其长度小于 即认为已达到所要求的精确度 可停止计算 精确度为0 001与精确到0 001是不同的 求函数y lnx 2x 6的零点个数 解答 在同一坐标系画出y lnx与y 6 2x的图象 由图可