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直线与圆锥曲线的位置关系 一 基本方法 1 直线与圆锥曲线的位置关系可以通过对直线方程与圆锥曲线方程组成的二元二次方程组的解的情况的讨论来研究 即方程消元后得到一个一元二次方程 利用判别式 来讨论 注 0时 未必只有二个交点 2 直线与圆锥曲线的位置关系 还可以利用数形结合 以形助数的方法来解并决 3 如果直线的斜率为k 被圆锥曲线截得弦ab两端点坐标分别为 x1 y1 x2 y2 则弦长公式为 例1 当k为何值时 直线y kx k 2与抛物线y 4x2有两个公共点 仅有一个公共点 无公共点 解 得k2x2 2 k2 2k 2 x k 2 2 0 16 k2 2k 1 1 当 0时 即 且k 0时有两个公共点 2 当 0时 即 或k 0时 直线与抛物线有一 个公共点 3 当 或 时 直线与抛物线无公共点 点评 本题利用方程思想及数形结合的思想解决问题 尤其是k 0时直线与抛物线有一个公共点 而k 0时 0 例2 已知 a 3 4 b 4 4 若线段ab与椭圆 没有公共点 求正数a的取值范围 解 线段ab的方程为y 4 3 x 4 得 x a2 8 当a2 8 0时 方程组无解 即 当a2 8 4时 方程组无解 即 点评 本例利用了方程的思想对参数的值进行讨论求解 或 例3 已知 椭圆 及点b 0 2 过左焦点f与b的 直线交椭圆于c d两点 椭圆的右焦点为f2 的面积 求 cdf2 y x o d f2 f1 c b 0 2 思考题 若将直线绕f1旋转 求 cdf2面积的最大值 解 f1 1 0 直线bf1的方程为y 2x 2代入椭圆方程得 9x2 16x 6 0 cd 又 点f2 1 0 到直线bf1的距离d s cdf2 cd d 点评 本题使用了弦长公式及点到直线的距离公式来解决问题 这是一种基本的解题方法 例4 过点 0 2 的直线l与抛物线y 4x2仅有一个公共点 则 解 观察演示选c 满足条件的直线l有 a 1条b 2条c 3条d 4条 例5 不论k为何值 直线y kx b与椭圆 总有公共点 求b的取值范围 解 观察演示可得 例6 过双曲线 的右焦点作直线l交双曲线于a b两 点 ab 4 则这样的直线存在 a 一条b 二条c 三条d 四条 解 观察演示可得三条 选c 四 总结 1 利用基本方法 如
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