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文档简介

空间向量与平行 垂直关系 一 平面 的法向量的定义 设直线l为平面 的一条垂线 则直线l的任意一条方向向量都叫做平面 的法向量 平面 的法向量由平面上任意两个不共线向量来确定 即由也即求得 平面法向量的具体求法 首先设平面 的法向量为 在平面内任取两个相交直线的方向向量由得两个三元一次方程 再令x y z中的一个为某一特殊的值即得平面 的一个法向量 例如已知A 1 0 1 B 0 1 1 C 1 1 0 求平面ABC的一个法向量 略解 设平面ABC的法向量为 则由及 令y 1得平面ABC的一个法向量为 已知ABCD是直角梯形 ABC 90 SA 平面ABCD SA AB BC 1 AD 试建立适当的坐标系 求平面SCD的一个法向量 变式训练 x y z 答案 2 1 1 x y 二 利用向量判断直线 平面位置关系的方法 1 线线平行 两直线的方向向量共线 且一条直线上存在另一条直线之外的点 2 线线垂直 两直线的方向向量垂直 即内积为零 3 线面平行 直线的方向向量与平面的法向量垂直 且直线上存在平面外的点 4 线面垂直直线的方向向量与平面内的两条相交直线的方向向量都垂直 即与平面内的两个不共线向量都垂直 5 面面平行 两个平面的法向量共线 且其中一个平面中存在另一个平面之外的点 6 面面垂直 两个平面的法向量垂直 即法向量的内积为0 例1 在正方体ABCD A1B1C1D1中 M N分别是C1C B1C1的中点 求证 MN 平面A1BD A1 B1 C1 D1 x y z 解题思路 如图建立空间直角坐标系 求出平面A1BD的法向量 只需证明 即证M 0 2 1 N 1 2 2 应用举例 例2 正方体ABCD A1B1C1D1中 E F分别是BB1 CD的中点 求证 平面AED 平面A1FD1 x y z 略解 如图建立空间直角坐标系 则E 2 2 1 A 2 0 0 平面
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