九章算术中的立体几何.doc

此文档收集于网络，如有侵权请联系网站删除九章算术中的立体几何九章算术文字古奥，历代注释者甚多，其中以刘徽的注本最为有名.刘徽是我国魏晋时期著名数学家，他在曹魏末年撰成九章算术注九卷。在继承的基础上，又提出了许多自己的创见与发明，刘徽的观点，对现今的数学有很多借鉴的地方。九章算术是一部问题集，全书分为九章，共收有个问题，每题都有问、答、术三部分组成。内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观与生活观。其中卷第五“商功”，主要讲各种几何体体积的计算，包括现阶段高中数学教材中的棱柱、棱锥、棱台，圆柱、圆锥、圆台，或可化为上述几何体的几何体体积的计算。九章算术是东方数学的思想之源，也是我国多年来各级各类考试的重要题库。卷第五“商功”第题作为年全国卷（）（文理）第题, 通过古题新解考查阅读理解能力，通过圆锥体积的计算考查空间想象能力与求解运算能力。题目是：九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为尺，米堆的高为尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知斛米的体积约为立方尺，圆周率约为，估算出堆放的米约有（解法见例25）A. 斛 B. 斛 C. 斛 D. 斛年湖北理科题、文科题选用九章算术“商功”第题“阳马”与第题“鳖臑”的组合考查立体几何中线、面间的位置关系与度量关系.九章算术卷第五“商功”共收录个题目，现将这个问题整理如下，供参考。【例1】今有穿地积一万尺.问为坚、壤各几何？【注释】穿地：挖地取土. 坚：坚实的土. 壤：松软的土.【译文】现挖地体积为立方尺，问换算成坚土、松土各多少？【解析】本题是各种土方量的换算，有专门的换算比例，这里不赘述.【说明】从例到例都是直四棱柱求体积问题，以例为例，介绍它们的算法.【例2】今有城下广四丈，上广二丈，高五丈，袤一百二十六丈五尺。问积几何？【注释】广袤：广，东西方向，袤，南北方向.【译文】现有城，下底长丈，上底长丈，高丈，纵长丈尺.问这段城的体积是多少？【解析】本题是求水平放置的直四棱柱的体积.如图，底面为等腰梯形，上底尺，下底尺，高尺，侧棱尺，所求体积立方尺.【例3】今有垣下广三尺，上广二尺，高一丈二尺，袤二十二丈五尺八寸.问积几何？ 【注释】垣: 低矮的墙.【译文】现有矮墙下底长尺，上底长尺，高丈尺，纵长丈尺寸.问这段矮墙的体积是多少？【例4】今有堤下广二丈，上广八尺，高四尺，袤一十二丈七尺.问积几何？【译文】现有坝堤下底长丈，上底长尺，高尺，纵长丈尺.问这段坝堤的体积是多少？【例5】今有沟上广一丈五尺，下广一丈，深五尺，袤七丈.问积几何？【译文】现有沟，上底长丈尺，下底长丈，高尺，纵长丈.问这段沟的容积是多少？【例6】今有堑上广一丈六尺三寸，下广一丈，深六尺三寸，袤一十三丈二尺一寸.问积几何？【注释】堑:护城河【译文】现有护城河上底长丈尺寸，下底长丈，深尺寸，纵长丈尺寸.问这段护城河的容积是多少？【例7】今有穿渠上广一丈八尺，下广三尺六寸，深一丈八尺，袤五万一千八百二十四尺.问积几何？【译文】现挖渠上底长丈尺，下底长尺寸，深丈尺，纵长万千百尺.问这段渠的容积是多少？【例8】今有方堡壔方一丈六尺，高一丈五尺.问积几何？【注释】堡壔:土筑小城. 方堡壔：正四棱柱形的土筑小城堡.【译文】现有正四棱柱形的土筑小城堡，底面边长为丈尺，高丈尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱柱的体积.底面正方形，边长尺，高尺，所求体积立方尺.【例9】今有圆堡壔，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？【注释】圆堡壔：圆柱形的土筑小城堡.【译文】现有圆柱体形的土筑小城堡，底面周长为丈尺，高丈尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求圆柱的体积.设底面圆的半径为，周长,高，因为,所以,则所求体积(取)立方尺.【例10】今有方亭，下方五丈，上方四丈，高五丈.问积几何？【注释】方亭:正四棱台形建筑物.【译文】现有正四棱台形的建筑物，下底面正方形的边长为丈，上底面正方形的边长为丈，高为丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱台的体积.设上底边长为，上底面的面积为,下底边长为,下底面的面积为,高，则所求体积,立方丈.对于公式适用所有棱台或圆台计算体积.【例11】今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈.问积几何？【注释】圆亭:圆台形建筑物.【译文】现有圆台形的建筑物，下底面圆的周长为丈，上底面圆的周长为丈，高为丈.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆台的体积.设上底面圆的半径为，周长为,面积，下底面圆的半径为,周长为,面积为,高.对于圆台，可以用上下底圆的面积面与高表示为：，也可用上下底面圆的半径与高表示：,也可用上下底面圆的周长与高表示,所求体积为立方丈.【例12】今有方锥，下方二丈七尺，高二丈九尺.问积几何？【注释】方锥: 正四棱锥.【译文】现有正四棱锥，下底面正方形的边长为丈尺，高为丈尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求正四棱锥的体积.设底面正方形边长为,高为.立方尺.【例13】今有圆锥下周三丈五尺，高五丈一尺.问积几何？【译文】现有圆锥,下底面圆的周长为丈尺,高为丈尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求圆锥的体积.设底面半径为,高为.底面周长,底面积,于是体积立方尺.ABCA1B1C1【例14】今有堑堵下广二丈，袤一十八丈六尺，高二丈五尺.问积几何？【注释】堑堵: 底面是直角三角形直三棱柱.【译文】现有底面是直角三角形直三棱柱，底面直角三角形的两条直角边宽为丈，长为丈尺.高为丈尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求直三棱柱的体积.如图，直三棱柱中，侧棱垂直于底面，.设底面直角的边,PABCD,高为.体积立方尺.【例15】今有阳马，广五尺，袤七尺，高八尺.问积几何？【注释】阳马: 底面是矩形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥.【译文】现有底面是矩形，一条侧棱与底面垂直的四棱锥，底面宽为尺，长为尺，高为尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求四棱锥的体积.如图所示，在四棱锥中,底面是矩形，侧棱平面,设底面矩形的宽为,长为,高为.体积立方尺.【例16】今有鳖臑下广五尺，无袤，上袤四尺，无广，高七尺.问积几何？【注释】鳖臑:四面都是直角三角形的四棱锥.【译文】现有四面都是直角三角形的三棱锥，底宽尺而无长，上底长尺而无宽，高尺，问它的体积是多少？【解析】本题是求三棱锥的体积.如图(1)，在三棱锥中，底面,.图（2）、（3）是图（1）的不同视觉放置下的直观图.SABCSABCSABC图（1）图（2）图（3）根据题意，, ,高为.体积立方尺.【例17】今有羡除，下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺.问积几何？【注释】羡除：墓道.三个侧面为等腰梯形，其余两个面为直角三角形的五面体.【译文】现有三个侧面都为等腰梯形，其他两面为直角三角形的五面体，下宽尺，上宽丈，深尺，末端宽尺，无深，长尺.问它的体积是多少？【解析】本题是求规则形状的五面体的体积.如图，五面体中,四边形,均为等腰梯形，.,均为直角三角形，,.设下广，上广，末广.高：到平面的距离为，长：与的距离.EFABCD下广上广末广EFABCD图1图2算法：采用割的方法推导计算公式.连接，,如图2,得三个三棱锥，设三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,则，, 所以,于是五面体的体积公式.代入数据,，代入公式得立方尺.【例18】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈.问积几何？【注释】刍甍：盖上草的屋脊. 刍：草；甍：屋脊.这里指底面为长方形的屋脊状的楔体.【译文】现有底面为长方形的屋脊状的楔体，下底面宽丈，长丈；上棱长丈，无宽，高丈，问它的体积是多少？【解析】本题是求底面为长方形的楔体（五面体）的体积.如图所示，在五面体中，底面,底面是长方形，到平面的距离为, ,.算法：EFABCD图1EFABCD图2采用割的方法推导计算公式.连接，,如图2,得三个三棱锥，设三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,则，,于是五面体的体积公式.代入数据,，得立方丈.【例19】今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈.问积几何？【注释】刍童：上下底面都为长方形的草垛.【译文】现有上下底面都为长方形的草垛，下底面宽丈，长丈；上底宽丈，长丈，高丈，问它的体积是多少？ABCDEFGH图1ABCDEFGH图2【解析】如图所示，在六面体中，面面且都为长方形，距离为.设，.算法：或.采用割的方法推导计算公式.连接，,.如图2,得六个三棱锥，设三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,设三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,三棱锥的体积为,则，,于是六面体的体积公式.,代入公式得立方丈.【例20】今有曲池，上中周二丈，外周四丈,广一丈,下中周一丈四尺,外周二丈四尺，广五尺，深一丈.问积几何？【注释】曲池:上下底面都为扇环形的水池.【译文】现有上下底面都为扇环形的水池，上底面扇环的内弧长为丈，外弧长为丈，母线长丈；下底面扇环的内弧长为丈尺，外弧长为丈尺，母线长尺；深丈. 问它的容积是多少？注意：上底长丈，下底长丈.【例21】今有盘池，上广六丈，袤八丈，下广四丈，袤六丈，深二丈.问积几何？【注释】盘池：上下底面都为长方形的土池.【译文】现有上下底面都为长方形的土池，上底面宽丈，长丈；下底宽丈，长丈，深丈，问它的容积是多少？【例22】今有冥谷上广二丈，袤七丈，下广八尺，袤四丈，深六丈五尺.问积几何？【注释】冥谷：上下底面都为长方形的墓坑.【译文】现有上下底面都为长方形的墓坑，上底面宽丈，长丈；下底宽尺，长丈，深丈尺，问它的容积是多少？【说明】从例到例的容积求法与例算法完全一样.【例23】今有委粟平地，下周一十二丈，高二丈.问积及为粟几何？【注释】委粟平地：在平地堆放谷子.（成圆锥形）【译文】现将谷子堆放在平地成圆锥形，圆锥底面圆的周长为丈，高丈.问这堆谷子的体积是多少？应有谷子是多少斛？【解析】本题是求圆锥的体积是多少立方尺（与例13解法完全相同）及谷子有多少斛.“斛”旧量器，方形，口小，底大. 已知斛谷子的体积约为立方尺.体积，取.代入数据得立方尺.所求谷子数为：斛.【例24】今有委菽依垣，下周三丈，高七尺.问积及为菽各几何？【注释】委菽依垣：靠墙壁堆放大豆（成半圆锥形）；菽：大豆.【译文】现将大豆靠墙堆放成半圆锥形，底面半圆的弧长为丈，高尺.问这堆大豆的体积是多少？应有大豆是多少？【解析】本题是求半圆锥的体积是多少立方尺及大豆有多少斛.已知斛大豆的体积约为立方尺.先补形为圆锥，求出圆锥的体积，再除以，即为所求体积.体积，取.代入数据得立方尺.所求谷子数为：斛.【例25】今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺.问积及为米几何？【注释】委米依垣内角: 靠墙壁内角堆放米（成圆锥形）.【译文】现将米靠墙壁内角堆放成圆锥形，底面扇形的弧长为尺，高尺.问这堆米的体积是多少？应有米是多少？【解析】本题是求圆锥的体积是多少立方尺及米有多少斛.年全国卷（）中，第题作为选择题， 立方尺. 斛米立方尺，斛.【例26】今有穿地，袤一丈六尺，深一丈，上广六尺，为垣积五百七十六尺.穿地下广几何？【译文】现挖坑，上底面长丈尺，宽尺，深丈.用挖的土筑墙，墙的体积为立方尺.问所挖坑的下底宽是多少？【解析】所挖坑为水平放置的底面为等腰梯形的直四棱柱，计算方法与例完全相同，不过需要注意两点：（1）已知体积求底面宽，需要解方程；（2）挖坑为“虚土”，筑墙为“坚土”，换算关系为：虚土坚土.catastrophe n. 大灾难；浩劫于是，所挖虚土为，则，尺. 所挖坑的下底宽是尺.cabin n. 小屋；船舱【例27】今有仓广三丈，袤四丈五尺，容粟一万斛.问高几何？【译文】现有粮仓（长方体），宽丈，长丈尺，可装谷子斛.问该粮仓高是多少？insect n. 昆虫【解析】本题是已知长方体的长、宽、体积求高.需要将斛换算成立方尺.由例deadly adj. 致命的知斛粟立方尺,则有，尺丈.env