2013高考数学（理）热点专题专练：5-14推理与证明.doc

高考专题训练(十四)推理与证明时间：45分钟分值：75分一、选择题：本大题共6小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项填在括号里1(2012江西)观察下列各式：ab1，a2b23，a3b34，a4b47，a5b511，则a10b10()A28B76C123 D199解析记anbnf(n)，则f(3)f(1)f(2)134；f(4)f(2)f(3)347；f(5)f(3)f(4)11；f(6)f(4)f(5)18；f(7)f(5)f(6)29；f(8)f(6)f(7)47；f(9)f(7)f(8)76；f(10)f(8)f(9)123，即a10b10123.答案C2(2012郑州市高中毕业班第一次质量预测)已知a，b，cR，若，则()Acab BbcaCabc Dcba解析由已知得c(bc)a(ab)，a(ca)b(bc)，即(ca)(abc)0，(ab)(abc)0，因此有ca0，ab0，故cab，选A.答案A3(2012四川省绵阳市高三第二次诊断性测试)记asin(cos2010)，bsin(sin2010)，ccos(sin2010)，dcos(cos2010)，则a、b、c、d中最大的是()AaBbCc Dd解析注意到2010360518030，因此sin2010sin30，cos2010cos30，0，0,0cos0，asinsin0，bsinsindcoscos0，因此选C.答案C4(2012江西师大附中、临川一中高三联考)若实数a，b，c成公差不为0的等差数列，则下列不等式不成立的是()A|ba|2Ba3bb3cc3aa4b4c4Cb2acD|b|a|c|b|解析设等差数列a，b，c的公差为d(d0)，则|ba|d|d|2 2，因此A成立；b2ac2ac0，因此C成立；由2bac得|2b|ac|c|a|，即|b|a|c|b|，因此D成立；对于B，当a1，b2，c3时，a3bb3cc3a53，a4b4c498，此时B不成立综上所述，选B.答案B5(2012西安市五校第一次模拟考试)已知“整数对”按如下规律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，则第60个数对是()A(7,5) B(5,7)C(2,10) D(10,1)解析依题意，就每组整数对的和相同的分为一组，不难得知每组整数对的和为n1，且每组共有n个整数对，这样的前n组一共有个整数对，注意到60(nN*)成立，其初始值至少应取_解析1，整理得2n128，解得n7，故原不等式的初始值至少应为8.答案810(2012辽宁沈阳模拟)用数学归纳法证明：(n1)(n2)(nn)(nN*)的第二步中，当nk1时等式左边与nk时的等式左边的差等于_解析当nk时，等式左边为(k1)(k2)(kk)，当nk1时，等式左边为(k2)(k3)(k1k1)，所以其差为3k2.答案3k2三、解答题：本大题共2小题，共25分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤11(12分)已知正数数列an的前n项和为Sn，且4an2Sn1，数列bn满足bn2logan，nN*.(1)求数列an的通项公式an与bn的前n项和Tn；(2)设数列的前n项和为Un，求证：0Un4.解(1)易得a1.当n2时，4an2Sn1，4an12Sn11，得2an4an10an2an1，2(n2)，数列an是以a1为首项，2为公比的等比数列，an2n2，a1也适合此式，故an2n2.从而bn42n，其前n项和Tnn23n.(2)证明：an为等比数列、bn为等差数列，.Un，Un，得Un4，Un.易知U1U24，当n3时，UnUn10，当n3时，数列Un是递减数列，0UnU33.综上，0Un4.12(13分)(2012福建)某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：(1)sin213cos217sin13cos17；(2)sin215cos215sin15cos15；(3)sin218cos212sin18cos12；(4)sin2(18)cos248sin(18)cos48；(5)sin2(25)cos255sin(25)cos55.()试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；()根据()的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论解解法一：()选择(2)式，计算如下：sin215cos215sin15cos151sin301.()三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下：sin2cos2(30)sincos(30)sin2(cos30cossin30sin)2sin(cos30cossin30sin)sin2cos2sincossin2sincossin2sin2cos2.解法二：()同解法一()三角恒等式为sin2cos2(30)sincos(30).证明如下si