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第三章 数列 推理与证明 数列的概念 第17讲 数列的概念及通项公式 点评 已知数列的前几项 写出数列的通项公式 主要从以下几个方面来考虑 负号用 1 n或 1 n 1来调节 这是因为n和n 1奇偶相间 分式形式的数列 分子 分母分别找通项 要充分借助分子 分母的关系 对于比较复杂的通项公式 要借助于等差数列与等比数列和其他方法来解决 此类问题虽无固定模式 但也有规律可找 主要靠观察 比较 归纳 转化等方法 由数列的前n项的和sn 求通项公式 例2 已知数列 an 前n项的和sn 3n 2n 1 求此数列的通项公式an 点评 已知数列 an 的前n项和sn 求通项公式an的方法是 首先求出a1 再由an sn sn 1 n 2 求an 但这样求得的an是从第2项开始的 未必是数列的通项公式 所以必须验证a1是否适合 如果适合 则写成an sn sn 1 n n 否则 只能写成an 变式练习2 已知数列 an 前n项的和为n2 pn 1 数列 bn 前n项的和为3n2 2n 若a10 b10 求数列 an 的通项公式an 由简单的递推公式 求通项公式 例3 求下列各数列的通项公式 1 a1 2 an 2 3n 1 an 1 n 2 2 sn 2an 1 点评 由递推公式求通项公式 一般要掌握累加法 累乘法 构造新数列的方法 利用通项与前n项和的关系等几种方法 变式练习3 求下列各数列的通项公式 1 已知a1 1 2n 1 an 2n 3 an 1 n 2 2 a1 3 an 1 2an 5 1 已知数列 an 的前n项和sn log2n2 则a5 a6 a7 a8 解析 a5 a6 a7 a8 s8 s4 2 2 数列的概念命题以填空题居多 主要从四个方面考查 一是理解数列的定义及分类 能用函数的观点认识数列 二是会用通项公式写出数列的任意项 也要会根据给出数列的前几项归纳出数列的一个通项公式 三是会根据递推公式写出数列的前几项 并归纳出数列的通项公式 四是会由数列的前n项和公式求出数列的通项公式 值得注意的是 数列与函数 不等式结合的题目在近几年的高考试卷中频频出现 1 数列是一种特殊的函数 其定义域是正整数集 或它的一个非空真子集 1 2 3 n 数列中的项必须是数 2 数列的图象是一系列孤立的点 3 数列的单调性其实是一个恒成立问题 往往可以用来求参数的取值范围 判断数列的单调性的方法有两种 选题感悟 根据递推公式求出数列的前几项 并且由此归纳出数列的通项公式 这是数列部分常见考题 要注意掌握 选题感悟 此题是一道创新题 选用了余弦函数的形式 但此处的a与振幅有区别 所以a的求值很容易错误 导致解析式错误 此种错误的根源仍然是因为数列的图象并非连续曲线 仅仅是是一些孤立的点 其解法是由递推公式写出数列 an 的一些项 找到数列 an 的周期 求出 将n 1 2 3代入通项公式得方程组
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