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第二章 函数 函数的概念及表示方法 第5讲 函数的概念 例1 已知映射f a b a b r 对应法则f x y x2 2x 若对于k b 在集合a中不存在原象 求k的取值范围 点评 关于映射 如果原象集 a 与象集 b 是数集 则可用函数的观点研究 本题实际上是函数y x2 2x k与x轴没有交点的问题 体现了函数与方程的思想 变式练习1 已知集合a 1 2 3 k b 4 7 a4 a2 3a 其中a n k n f x y 3x 1 x a y b是从定义域a到值域b的一个函数 求a k的值 解析 定义法 由对应法则 1 4 2 7 3 10 k 3k 1 又a n 所以a4 10 所以a2 3a 10 解得a 2 舍去 5 所以a4 16 于是3k 1 16 所以k 5 判断两个函数是否相同 点评 判断两个函数是否是同一函数 要分别比较它们的定义域 对应法则和值域 当且仅当它们的三要素都相同时 才表示同一函数 只要三要素中有一个要素不同 则这两个函数就不可能是同一函数 解析 1 函数的定义域 值域 对应关系都相同 是同一函数 2 f x 的定义域为 0 1 g x 的定义域为 1 是不同函数 3 尽管化简后f x x 1 但其定义域为 x x r 且x 1 而g x 的定义域为r 故它们是不同函数 4 化简后f x x 1 g x 是同一函数 求函数值 点评 在求函数值的训练中 分段函数是极好的工具 求分段函数的值要明白给定的自变量的值在哪一段定义范围内 然后代入这一段函数表达式 并计算出结果 如果给定的自变量是常参数 要注意分段讨论求解 2 设f x 则f 2 解析 因为x2 1 0 所以f x2 1 1 1 1 理解函数 映射 的概念映射是特殊的对应 判断一个对应是否是映射 集合a中的每一个元素是否在b中都有对应的元素 这个对应元素是否是唯一的 象与原象是映射中两个重要的概念 象是集合b中的元素 原象是集合a中的元素 2 分段函数是一个函数 而不是多个函数 它的定义域是各段自变量的取值范围的并集 值域是各段函数值的取值范围的并集 解答分段函数问题时要灵活运用分类讨论的思想方法 选题感悟 分段函数是近年来高考常考查的函数 这类问题条件简洁 内涵丰富 备受命题者的青睐 2 2010 苏南五校调研卷 设函数f x 定义如下表 数列 an 满足 a1 1 且对任意正整数n 均有an 1 f an 则a2011 解析 由表格可知 a1 1 a2 f 1 2 a3 f a2 f 2 3 a4 4 a5 1 即数列 an 中的项是每隔3项就重复出现 所以a2011 a3 3 答案 3选题感悟 函数是中学数学中的一个非常重要的概念 其思想渗透于整个中学数学内容之中 3 2010 六合中学模拟 函数y f x 的图象是两条直线的一部分 如图所示 其定义域为 1 0 0 1 则不等式f x f x 1的解集为 选题感悟 图象法是表示函数
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