54空间向量的应用.doc

如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习54空间向量的应用【考点解读】空间向量的应用：B【复习目标】1理解直线的方向向量与平面的法向量的意义；会用待定系数法求平面的法向量；2能用向量语言表述线线、线面、面面的垂直和平行关系；3能用向量方法证明有关线、面位置关系的一些定理（包括三垂线定理）；能用向量方法判断一些简单的空间线面的平行和垂直关系；4能用向量方法解决线线、线面、面面的夹角的计算问题；体会向量方法在研究几何问题中的作用。活动一：基础知识1直线的方向向量与平面的法向量 （1）直线的方向向量 直线l上的向量以及与 的向量叫做直线l的方向向量。 （2）平面的法向量 如果表示非零向量的有向线段所在直线 平面，那么称向量垂直于平面，记作 。此时把 叫做平面的法向量。2线面关系的判定 （1）直线的方向向量为，直线的方向向量为。 如果 ； 如果 ； （2）直线的方向向量为，平面的法向量为 如果 ； 如果 ； （3）平面的法向量为，平面的法向量。 若 ； 若 ；3求两条异面直线所成的角 设分别是两异面直线的方向向量，则与所成的角与的夹角范围求法 = 。4求直线与平面所成的角 设直线l的方向向量为，平面的法向量为，直线l与平面所成的角为，则= = 。思考：直线与平面所成的角和平面的法向量与直线的方向向量所成的角有怎样的关系？5求二面角的大小 （1）若AB,CD分别是二面角的两个面内与棱L垂直的异面直线，则二面角的大小就是 的夹角（如图） （2）设分别是二面角的两个面的法向量，则向量的夹角（或其补角）的大小就是 。（如图）活动二：基础练习1设平面的法向量为（1，2，-2），平面的法向量为（-2，-4，k），若，则k= .2已知直线l的方向向量为v，平面的法向量为u,则vu=0，l与的关系是 .3向量a=(-2,-3,1),b=(2,0,4),c=（-4，-6，2），下列结论不正确的是 .ab，bcab，acac，ab以上都不对4如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,棱长为a,M,N分别为A1B和AC上的点,A1M=AN=,则MN与平面BB1C1C的位置关系是 .5已知两平面的法向量分别为m=（0，1，0），n=（0，1，1），则两平面所成的二面角为 .6如图所示，在棱长为2的正方体ABCDA1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，E、F分别是CC1、AD的中点，那么异面直线OE和FD1所成角的余弦值等 于 .活动三：典型例题例1 如图，正四棱柱中，点在上且ABCDEA1B1C1D1（1）证明：平面；（2）求异面直线BE与所成的角； （3）求二面角的大小例2 如图所示,已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,ABC=BCD=90,AB=BC=PB=PC=2CD,侧面PBC底面ABCD.证明:(1)PABD;(2)平面PAD平面PAB.例3 如图所示，已知直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC为等腰直角三角形，BAC=90，且AB=AA1，D、E、F分别为B1A、C1C、BC的中点.求证：（1）DE平面ABC；（2）B1F平面AEF.活动四：自主检测1若平面、的法向量分别为n1=（2，3，5），n2=(-3,1,-4),则，的位置关系是 （用“平行”，“垂直”，“相交但不垂直”填空）.2已知=（1，5，-2），=（3，1，z），若，=（x-1，y，-3），且平面ABC，则实数x，y，z分别为 .3若A(0，2，)，B(1，-1，)，C(-2，1，)是平面内三点，设平面的法向量a=(x,y,z),则xyz= .4在正方体ABCDA1B1C1D1中,M是AB的中点,则sin,的值等于 .5如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是线段EF的中点.求证：（1）AM平面BDE；（2）AM平面BDF.6如图所示，已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB=BC=2，AA1=4，E是棱CC1上的点，且BEB1C.（1）求CE的长；（2）求证：A1