基于球冠谐分析的区域大地水准面拟合研究.doc

基于球冠谐分析的区域大地水准面拟合研究*李国伟1,2 郭金运1,2 王书阳1,2 宗 干1,2（1.山东科技大学测绘学院，山东 青岛 266590；2. 海岛（礁）测绘技术国家测绘地理信息局重点实验室，山东 青岛 266590）摘 要 球冠谐分析不同于几何函数模型，其公式含有正常重力和正常高，且满足位理论的物理条件。本文选取了平原和山地两种典型测区，采用三次多项式曲面和球冠谐分析对测区进行区域似大地水准面拟合。与三次多项式曲面相比，在测点分布不理想的条件下，平原地区利用球冠谐分析拟合区域似大地水准面的精度较低。在复杂地形条件下精度较高，球冠谐分析可适应复杂的地形条件。无论何种地形条件下利用球冠谐函数拟合区域似大地水准面，必须要有足够数量且合理分布的GPS水准点，以达到合理的展开阶数。关键词 大地测量学；区域大地水准面；球冠谐分析；三次多项式曲面Local Geoid Fitting based on Spherical Cap Harmonic AnalysisLI Guowei 1, GUO Jinyun 1,2, WANG Shuyang 1, ZONG Gan 1（1. College of Geodesy and Geomatics, Shandong University of Science and Technology, Qingdao 266510, China；2. Key Laboratory of Surveying and Mapping on Island and Reef of NASMG, Qingdao 266510, China）Abstract: compared to geometric function models, the spherical cap harmonic analysis consists of the normal height in the formula and bases on the potential theory. In this paper, the local geoid is fitted using the spherical cap harmonic analysis and cubic polynomial surface in the plain and mountainous region. Compared to the cubic polynomial surface, tbut is lower in the plain, because the distributions of the GPS leveling points are not ideal. The spherical cap harmonic analysis adopts the complex terrain and achieves a better precision in the mountainous region, In any case, for the spherical cap harmonic analysis, there should be enough and well-distributed GPS leveling points. Keywords: geodetic surveying; local geoid; spherical cap harmonic analysis; cubic polynomial surface1 前言GPS技术结合大地水准面或似大地水准面的模型，可取代繁重的传统水准测量工作测定正高或正常高，是实现高程系统现代化的重要手段。采用这一技术可以快捷地测得高程，而且其成果与国家高程基准和高程系统是统一的、协调的1。尽管GPS能给出高精度的大地高，却由于没有一个具有相应精度和高分辨率的区域似大地水准面模型，使在GPS大地高至正常高的转换中精度严重丢失，因此要提高区域似大地水准面的分辨率和精度以满足生产要求。目前，确定区域似大地水准面的主要方法有几何方法（如GPS水准、天文水准）、重力方法、组合方法等2。考虑到重力测量资料不足以及实施重力测量的难度和其精度的限制，采用GPS/水准数据拟合区域大地水准面是一种有效且简便的方法。拟合通常采用函数模型有多项式曲面、多面函数、移动曲面等3。球冠谐分析于1985由加拿大的Haines提出并用于局部地球磁场研究4，李建成将其用于局部重力场研究5，国内学者将其应用于区域大地水准面拟合6。球冠谐分析不同于其他几种纯几何函数模型，其公式含有物理量正常高，且满足位理论的物理条件，将球冠谐分析用于区域大地水准面拟合具有一定优势。现阶段对利用球冠谐分析拟合区域似大地水准面的研究还处于初始阶段，因此要深入分析利用球冠谐分析拟合水准面的优缺点及适用条件。利用球冠谐分析进行区域似大地水准面拟合，要综合考虑测区的地形情况、测点分布和模型展开阶数等问题。本文选取了平原和山地两种典型测区，分别采用三次多项式曲面和球冠谐分析对测区进行区域大地水准面拟合，对比分析研究球冠谐分析的性能。2 似大地水准面拟合模型2.1 三次多项式曲面模型三次多项式曲面模型拟合似大地水准面的基本原理是将高程异常近似地看作一定区域内各点坐标的曲面函数，求得函数的拟合系数，进而确定一定区域内高程异常与点平面坐标的函数关系。三次曲面是一个纯几何函数，拟合函数如下： （1）式中为高程异常，为模型系数，、为测点相对于测区中心的纬度差和经度差。多项式的次数取决于所拟合曲面的复杂程度，多项式曲面用于似大地水准面拟合，一般选取三次即可满足要求。2.2 球冠谐分析模型球冠谐分析是在球冠坐标系下严格满足位理论的谱函数。球冠谐分析不同于其他几种纯几何函数模型，其公式含有含有正常重力和正常高，且满足位理论的物理条件，利用球冠谐分析建立函数模型的公式为6： （2）式中：为高程异常，为地球半径；为地心引力常数；为地心距；、为球冠坐标系中的余纬和经度，、为球冠谐位系数，为规格化的非整阶勒让德函数，、为非整阶勒让德函数的阶数和次数。为正常重力，计算公式（3）、（4）如下： （3） （4）式中：长半径，（WGS84）；赤道正常重力，两极的正常重力，扁率为；为大地高。根据测区情况选取合适的极点和球冠半角，阶数可根据边值条件求解。给定和值，可计算相应的非整阶勒让德函数7。球冠谐函数展开的最大阶数由测区测点的数量和分布情况而定，要避免出现病态问题。3 实例计算本文选取了两个测区进行实例计算，如图1所示，图中红色圆点为拟合点，黄色三角点为检查点。测区1为某平原地区的实测数据，其地势较平坦，大地高平均为13m，共有63个GPS水准点且分布比较均匀，选取其中42个作为拟合点，剩余21个为检核点。测区2为北纬2527，东经115117的山地地区，由于无法获得实测数据，利用SRTM数据提取146个点的大地高8，采样点的经度间、纬度间隔都为0.15。该区域大地高最大值为1421 m，最小值为73 m，地形比较复杂。利用STRM导出的大地高数据，使用EGM2008计算各采样点的高程异常值，作为实测值进行区域大地水准面拟合。 图1 实例计算测区1（左）和测区2（右）利用三次多项式曲面和球冠谐分析分别拟合两个测区的区域大地水准面，两个测区的内符精度和外符精度如表1、表2所示。由表1可知对于平坦地区，球冠谐分析的内符合精度明显高于三次多项式曲面，而对于外符合精度三次多项式曲面要明显高于球冠谐分析模型。这主要是因为测区1的拟合点数量选取的较少，从而球冠谐分析展开的最大阶数有限，造成外符合精度较差，但能满足实际生产中的精度要求。另一方面由于该测区地势变化平缓，三次曲面函数能够很好地表现高程异常的变化。由表2可知，在复杂的情况下，球冠谐的内、外符合精度都明显优于三次曲面函数，说明球冠谐分析公式中含有与地形有关的变量，可适用于复杂地形条件的大地水准面拟合。表1 测区1区域似大地水准面拟合精度统计（m）MAXMINMEANSTDRMS多项式曲面内符精度0.086-0.05300.0300.030外符精度0.022-0.060-0.0130.0220.025球冠谐分析内符精度0.043-0.03900.0170.017外符精度0.151-0.1110.0120.0580.059表2 测区2区域似大地水准面拟合精度统计（m）MAXMINMEANSTDRMS多项式曲面内符精度0.377-0.34200.1400.140外符精度0.155-0.223-0.0140.0970.098球冠谐分析内符精度0.284-0.15500.0770.077外符精度0.190-0.146-0.0200.0880.0904 结论本文选取了平原和山地两种典型测区，采用三次多项式曲面和球冠谐分析对测区进行区域大地水准面拟合，对比拟合精度可知，在地形平缓的地区，利用球冠谐分析拟合区域似大地水准面的精度低于三次多项式曲面，是由于测点的密度引起的。在地形复杂区域球冠谐分析拟合精度高于三次多项式曲面，说明球冠谐分析可适应复杂的地形条件。无论何种地形利用球冠谐分析拟合区域似大地水准面必须要有足够数量且合理分布的GPS水准点，以达到合理的展开阶数。参考文献：1 陈俊勇. 我国高程控制网的现代化J. 测绘科学. 2002, 27（3）: 1-3.2 宁津生, 罗志才, 李建成. 我国省市级大地水准面精化的现状及技术模式J.大地测量与地球动力学. 2004, 24（1）: 4-8.3 张旭东. GPS 水准高程拟合模型研究D . 沈阳: 东北大学, 20024 HAINES G V. Spherical Cap Harmonic Analysis J. J Geophys Research, 1985, 90（B3）: 2583-2591.5 Li Jiancheng. Spherical Cap Harmonic Expansion for Local Gravity Represention J. Manuscripta Geodaetica, 1995, （20） : 265-277.6 曹月玲, 王解先. 利用球冠谐 分析拟合GPS 水准