函数中的数形结合思想.doc

函数解题方法与技巧之四 函数中的数形结合思想思想方法概述1.数形结合的数学思想：包含“以形助数”和“以数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：一是借助形的生动性和直观性来阐明数之间的联系，即以形作为手段，数作为目的，比如应用函数的图象来直观地说明函数的性质；二是借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即以数作为手段，形作为目的，如应用曲线的方程来精确地阐明曲线的几何性质2.数形结合思想解决函数问题常有以下几种：(1)构建函数模型并结合其图象求参数的取值范围；(2)构建函数模型并结合其图象研究方程根的范围；(3)构建函数模型并结合其图象研究量与量之间的大小关系；(4)构建函数模型并结合其几何意义研究函数的最值问题和证明不等式；题型一 数形结合思想在解决函数的最值问题中的应用例1设，是二次函数，若的值域是，则的值域是 分析：本题为复合函数，相当于中的的值，结合函数的图象，可以求得的值域。-1 0 1 xy解析：作出函数的图象如图所示，由图知当时，函数的值域来源:学,科,网为，而为复合函数，相当于中的的值，所以的值域是，故选B。【点评】：本题中的复合函数要转化为原函数和的信息，结合函数的图象更为直观地找到它们之间的关系。而不必探究二次函数的解析式。例2对a,bR,记max|a,b|=函数f（x）max|x+1|,|x2|(xR)的最小值是 。解析：由，故，其图象如右，则。【点评】：数学中考查创新思维，要求必须要有良好的数学素养，考查新定义函数的理解、解绝对值不等式，中档题，借形言数。例3求函数的最小值。解析： 的值是动点到两个定点A(0,2)与B(-1,0)的距离之和。由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=-1）时，【点评】：仔细观察方程的结构联想几何公示的形式是实现数到形转化的基础。本题型根据结构联想到两点间的距离公式，从而实现数到距离的转化。题型二 数形结合思想在解决方程的根的个数、不等式解集的问题中的应用例4 (1)已知：函数f(x)满足下面关系：f(x1)f(x1)；当x1,1时，f(x)x2.则方程f(x)lg x解的个数是 . (2)设奇函数f(x)在(0，)上为增函数，且f(1)0，则不等式0的解集为 .变式训练1 若定义在R上的偶函数满足，且当时，则函数的零点个数是 4变式训练2 已知f(x)是定义在(3,3)上的奇函数，当0x3时，f(x)的图象如图所示，那么不等式f(x)cos x0的解集是 .变式训练3若满足，满足，则+= 探究提高 (1)用函数的图象讨论方程(特别是含参数的指数、对数、根式、三角等复杂方程)的解的个数是一种重要的思想方法，其基本思想是先把方程两边的代数式看作是两个熟悉函数的表达式(不熟悉时，需要作适当变形转化为两熟悉的函数)，然后在同一坐标系中作出两个函数的图象，图象的交点个数即为方程解的个数(2)解不等式问题经常联系函数的图象，根据不等式中量的特点，选择适当的两个(或多个)函数，利用两个函数图象的上、下位置关系转化数量关系来解决不等式的解的问题，往往可以避免繁琐的运算，获得简捷的解答(3)函数的单调性经常联系函数图象的升、降；奇偶性经常联系函数图象的对称性；最值(值域)经常联系函数图象的最高、最低点的纵坐标例5已知函数f(x)= , 若0x1x21, 则 与 的大小关系是 分析：从解析式上看函数与圆的方程有联系，可以转化为圆，画出图形，由数形结合得出结论。解：由函数得知的图象为圆的上半圆，如图，当0x1x2 ，【点评】：对于函数的图象要熟悉，利用数形结合解答函数的选择题比较形象直观，容易找到关系。已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,若方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,则 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 y x f(x)=m (m0) 【解析】:因为定义在R上的奇函数，满足,所以,所以, 由为奇函数,所以函数图象关于直线对称且,由知,所以函数是以8为周期的周期函数,又因为在区间0,2上是增函数,所以在区间-2,0上也是增函数.如图所示,那么方程f(x)=m(m0)在区间上有四个不同的根,不妨设由对称性知所以答案:-8【命题立意】:本题综合考查了函数的奇偶性,单调性,对称性,周期性,以及由函数图象解答方程问题,运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题. 题型三数形结合思想在求参数、代数式的取值范围中的应用例6若直线y=2a与函数y=|-1| (a0,且a1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是_.解析当a1时，如图,只有一个公共点，不符合题意. 当0a1时，如图,由图象知02a0时，2ax22x3a的对称轴为x当1，即0a时，须使即a的解集为.当1时，须使即解得a1，a的取值范围是1，)(3)当a0时，当01，即a时，须有，即解得：a或a5，又a，a的取值范围是.当，即-a0且a1)有两个零点，则实数a的取值范围是 .【解析】: 设函数且和函数,则函数f(x)=a-x-a(a0且a1)有两个零点, 就是函数且与函数有两个交点,由图象可知当时两函数只有一个交点,不符合,当时,因为函数的图象过点(0,1),而直线所过的点一定在点(0,1)的上方,所以一定有两个交点.所以实数a的取值范围是答案: 【命题立意】:本题考查了指数函数的图象与直线的位置关系,隐含着对指数函数的性质的考查,根据其底数的不同取值范围而分别画出函数的图象解答.方程x2+x10的解可视为函数yx+的图像与函数y的图像交点的横坐标，若x4+ax40的各个实根x1，x2，xk (k4)所对应的点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，则实数a的取值范围是 【解析】方程的根显然，原方程等价于，原方程的实根是曲线与曲线的交点的横坐标；而曲线是由曲线向上或向下平移个单位而得到的。若交点(xi ,)（i1,2,k）均在直线yx的同侧，因直线yx与交点为：；所以结合图象可得：；已知t为常数，函数在区间0，3上的最大值为2，则t=_1【解析】：本小题主要考查二次函数问题。对称轴为下方图像翻到轴上方.由区间0，3上的最大值为2，知解得检验时, 不符,而时满足题意.下图展示了一个由区间(0,1)到实数集R的映射过程：区间中的实数m对应数轴上的点M，如图1；将线段围成一个圆，使两端点A、B恰好重合（从A到B是逆时针），如图2；再将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在y轴上，点A的坐标为，如图3.图3中直线与x轴交于点，则的象就是，记作.图1图2图3则下列说法中正确命题的是（ ）A.； B.是奇函数；C.在定义域上单调递增； D.的图象关于轴对称【答案】C已知函数，的零点分别为，则的大小关系是 18、已知a是实数，函数，如果函数在区间-1，1上有零点，求实数a的取值范围。【解析】当a=0时，