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1.4 常用的分布及其分位数
1. 卡平方分布
卡平方分布、t分布及F分布都是由正态分布所导出的分布，它们与正态分布一起，是试验统计中常用的分布。
当X1、X2、…、Xn相互独立且都服从N(0,1)时，Z= 的分布称为自由度等于n的分布，记作Z～(n)，它的分布密度 p(z)=
式中的=，称为Gamma函数，且=1， =。分布是非对称分布，具有可加性，即当Y与Z相互独立，且Y～(n)，Z～(m)，则Y+Z～(n+m)。
证明: 先令X1、X2、…、Xn、Xn+1、Xn+2、…、Xn+m相互独立且都服从N(0,1)，再根据分布的定义以及上述随机变量的相互独立性，令
Y=X+X+…+X，Z=X+X+…+X，
Y+Z= X+X+…+X+ X+X+…+X，
即可得到Y+Z～(n+m)。
2. t分布 若X与Y相互独立，且
X～N(0,1)，Y～(n)，则Z = 的分布称为自由度等于n的t分布，记作Z ～ t (n)，它的分布密度
P(z)= 。
请注意：t分布的分布密度也是偶函数，且当n>30时，t分布与标准正态分布N(0,1)的密度曲线几乎重叠为一。这时， t分布的分布函数值查N(0,1)的分布函数值表便可以得到。
3. F分布 若X与Y相互独立，且X～(n)，Y～(m)，
则Z=的分布称为第一自由度等于n、第二自由度等于m的F分布，记作Z～F (n, m)，它的分布密度
p(z)=
请注意：F分布也是非对称分布，它的分布密度与自由度的次序有关，当Z～F (n, m)时，～F (m ,n)。
4. t分布与F分布的关系
若X～t(n)，则Y=X～F(1,n)。
证：X～t(n)，X的分布密度p(x)= 。
Y=X的分布函数F(y) =P{Y0时，F(y) =P{-λ}=1-F(λ)=α的数λ，
双侧α分位数是使P{X<λ1}=F(λ1)=0.5α的数λ1、使
P{X>λ2}=1-F(λ2)=0.5α的数λ2。
因为1-F(λ)=α，F(λ)=1-α，所以上侧α分位数λ就是1-α分位数x 1-α；
F(λ1)=0.5α，1-F(λ2)=0.5α，所以双侧α分位数λ1就是0.5α分位数x 0.5α，双侧α分位数λ2就是1-0.5α分位数x 1-0.5α。
2）标准正态分布的α分位数记作uα，0.5α分位数记作u 0.5α，1-0.5α分位数记作u 1-0.5α。
当X～N(0,1)时，P{X< uα}=F 0,1(uα)=α，
P{X u 1-α}=1- F 0,1 (u 1-α)=α，
故根据标准正态分布密度曲线的对称性，uα=-u 1-α。
例如，u 0.10=-u 0.90=-1.282，
u 0.05=-u 0.95=-1.645，
u 0.01=-u 0.99=-2.326，
u 0.025=-u 0.975=-1.960，
u 0.005=-u 0.995=-2.576。
又因为P{|X|< u 1-0.5α}=1-α，所以标准正态分布的双侧α分位数分别是u 1-0.5α和-u 1-0.5α。
标准正态分布常用的上侧α分位数有：
α=0.10，u 0.90=1.282；
α=0.05，u 0.95=1.645；
α=0.01，u 0.99=2.326；
α=0.025，u 0.975=1.960；
α=0.005，u 0.995=2.576。
3）卡平方分布的α分位数记作α(n)。
α(n)>0，当X～(n)时，P{X<α(n)}=α。
例如，0.005 (4)=0.21，0.025 (4)=0.48，
0.05 (4)=0.71，0.95 (4)=9.49，
0.975 (4)=11.1，0.995 (4)=14.9。
4）t分布的α分位数记作tα(n)。
当X～t (n)时，P{X30时，在比较简略的表中查不到tα(n)，可用uα作为tα(n)的近似值。
5）F分布的α分位数记作Fα(n , m)。
Fα(n , m)>0，当X～F (n , m)时，P{X}=1-α，P{<}=α，
又根据F分布的定义，～F(n, m)，P{1.44}。
习题答案：1. ①2.73，②21.0。2. ①-1.860，②1.782。
3. ①，②3.37。4. 1.960为上侧0.025分位数，-1.960与1.960为双侧0.05分位数。5. 2.132为上侧0.05分位数，-2.132与2.132为双侧0.1分位数。6. 0.711为上侧0.95分位数，9.49为上侧0.05分位数，0.711与19.49为双侧0.1分位数。7. 9.01为上侧0.05分位数，5.41为上侧0.05分位数，与5.41为双侧0.1分位数，与9.01为双侧0.1分位数。8. 0.1。您好，欢迎您阅读我的文章，本WORD文档可编辑修改，也可以直接打印。阅读过后，希望您提出保贵的意见或建议。阅读和学习是一种非常好的习惯，坚持下去，让我们共同进步。
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