随机过程论文.docx

课程:随机过程论文名称:通信系统中随机过程的模型研究 年级专业:经济数学F1203 学生姓名:何富强 学号:201221910114 评阅教师:李俊海 提交时间:2014-11- 通信系统中随机过程的模型研究摘要：在通信系统的仿真系统中，随机变量和随机过程不仅可以用来建构信号和噪声的模型，还可以对通信信号和其它相关器件的随机时变的特性进行建模。为了建立随机过程模型，本文对随机过程进行了深入研究，并就随机过程中常见的几种模型进行了分析，对于随机过程建模的研究有一定的参考价值。关键词：通信系统随机过程模型 马尔科夫在自然界中，有一种现象，在发生之前只能知道该现象的各种可能性的发生结果，但是却无法确认具体将发生哪一个结果，这就是随机现象。例如，有n 台性能完全相同的通信机，其工作条件也相同，用n 部记录仪，记录各部通信机的输出噪声波形。测试的结果表明，在其中并不能找到两个完全相同的波形。研究可以发现，通信机输出的噪声电压随时间的变化时不可预知的，这是一个随机过程。1、随机过程的概述随机过程是时间函数，但是在任意时间点上观察到的数值却是不确定的，是一个随机变量。随机过程是与时间有关的随机变量，在确定的时刻，其是随机变量。如，在通信系统中，信源信号一般通过取样和编码后表示为0，1二进制信号序列。信源信号可看作是一个离散时间的随机过程X(n)，对每一个n，X(n)都是样本空间为0，1的随机变量。从统计的意义上来研究波形，将它们的相同的统计特性提纯出来，就是描述随机过程的统计特性描述，这种描述的具体实现是通过随机过程X(t)的概率分布或数字特征加以表达的。1.1 随机过程的概率分布在某一固定的时刻1，随机过程X()的取值就是一个一维随机变量X(1),它的一维概率分布函数为F（x1，t1）=P(X(1)x1)假设上式x1的偏导存在，则一维概率密度函数可以定义为:上面两个式子只是一维概率分布函数和概率密度函数，只描写了随机变量在某个时刻上的统计分布特性，并没有反映出随机过程中不同时刻取值将的关联程度。因此，有必要对于随机过程X()的二维分布进行研究1。1.2 随机过程的数值特征随机过程的统计特征除了其概率特性外，还可以用矩函数描述其时间的相关性。随机过程的数值特征是在某一时刻取样得到的样本随机变量的矩函数，这些数值特征可以较容易的用试验的方法来确定，从而较快的解决实际工程问题。随机过程的数字特征包括数学期望、方差和相关函数，它们都是由概率论中随机变量的数字特征推广而来的。但是这些数字特征已经不再是确定的数值，而成为了时间函数。首先，对于某个固定的时刻，随机过程X()的一位随机变量的数学期望可以表示为:这个数学期望m(t)是一个依赖于时间变化的函数。随机过程X()的数学期望m()是一个平均函数，表明随机过程X()的所有样本都围绕x()变化。在通信系统中，假定传送的是一个确定的时间信号s()，它在传输过程中受到噪声n()的影响，通常噪声n()是数学期望为零的随机过程，这样接收的信号x()=s()+n()就是一个随机过程，它的数学期望就是信号s()。通常情况下，为了描述随机过程X()的各种样本对于数学期望的偏离程度，还可以引入随机过程的方差这个数字特征量2。2、随机过程的模型在通信系统中，随机过程存在几种典型的数学模型，这些模型是构建通信仿真系统的基础，有随机序列、泊松过程和高斯随机过程。2.1随机序列对于随机过程，当时间参数用离散值表示，即当随机过程的参数集为离散集时，连续变化的随机过程就成为随机序列。(1)独立序列：对于平稳随机序列X(n)，当j0 时，如果X(k)和X(k+j)是相互独立的，即该序列为独立序列。这种序列常用于仿真通信系统中的信号源及噪声的采样值。(2)马尔可夫序列：Markov 过程是一类重要的随机过程，它可以根据参数空间与状态空间的离散与连续类型，分为四种类型：离散参数集、离散状态集的马尔科夫过程；离散参数集、连续状态集的马尔科夫过程；连续参数集、离散状态集的马尔科夫过程；连续参数集、连续状态集的马尔科夫过程。其中马尔科夫随机过程就属于其中的前两种类型，从数学的观点，这种数列有以下特点：PX(n)/X(n-1)，X(n-2)，X(n-k)=PX(n)/X(n-1)由此可以得出，马尔科夫序列下一时刻的采样值仅仅与现在的值有关。根据这一特性，马尔科夫序列可以用来模拟信息源的输出，而且该信息源产生的符号存在相关性，例如语音、视频信号的采样值等，另外，英语报文中的字母序列也可以利用这种信息源来产生3。(3)自回归和滑动平均序列：ARMA 模型在估计随机过程的功率谱密度方面起着很重要的作用，同时这个模型也可以用来产生具有给定的功率谱密度函数或者自相关函数形式的随机序列。ARMA 序列产生模型：其中，r=0MbrX(n-r)为滑动平均部分，为自回归部分，Y(n)是希望产生的随机序列，Y(n-k)为回归序列，X(n)为输入模型的已知序列，通常将其设定为零均值高湿白噪声序列。ARMA模型产生的Y(n)序列的性质有以下几点：a.由于ARMA 模型是线性系统，X(n)序列为高斯序列，因此Y(n)序列也是高斯序列，而且其均值为零。b.在平稳状态下，Y(n)序列的功率谱密度为jk。(4)M 进制数字波形在数字通信系统中载有信息的波形可以表示为:式中，An表示第n个信息符号所对应的电平值，即An=A(n)，g()是脉冲波形，T是该序列的码元周期，0表示波形的延迟。2.2 泊松过程泊松过程是一类重要的随机过程，它是随机点流的基本数学模型之一。例如某电话交换台一天内收到用户的呼叫情况，如果令t(n)为第n 次呼叫发生的时间，那么t(n)就是一个随机变量，此时t(n)=x0，24）表示一个随机点，而t(n),n=1,2,构成一个随机过程，这类随机过程被称为随机点过程。(1)泊松过程的定义设X(t),t0为计数过程，如果满足条件：X(0)=0；对于任意的st0，t0,且增量具有平稳性或者齐次性；对于任意的正整数n，以及任意的非负实数，各个增量具有独立性；对于足够小的时间t，有PX(t)=1=t+O(t)PX(t)=0=1-t+O(t)PX(t)2=O(t)，此时，就称X(t),t0是强度为的泊松过程4。(2)数字特征和特征函数泊松过程的均值函数可以表示为m(t)=EX(t)=t,根据上式，可以看出EX(t)表示在0，t)时段内平均到达的事件个数，因此=EX（t）t，就是单位时间内平均达到的事件个数。方差函数为2t=EXt-mt2=t均方差函数EX2t=2t+m2t=t+(t)2自相关函数RXt1,t2=EX1tX2t=2t1t2+min(t1,t2)2.3 高斯随机过程目前，高斯随机过程被广泛的应用于构建通信仿真系统中信号、噪声和干扰的模型，在很多物理问题中的随机现象都可以用高斯随机过程进行满意的近似，如利用中心极限定理，散弹噪声过程就是用高斯过程近似的。高斯过程最重要的用途就是模拟和分析通信系统中热噪声的影响，当热噪声强度足够大时，就可以掩盖弱信号，并使系统对这些弱信号的识别变得极其困难。高斯随机过程简称为高斯过程，就是指它在任意n 维（n=1,2,）概率密度函数可以表示为其中，mk= EX(tk)，k2=EXtk-mk2,|相关系数矩阵的行列式。在上式中，|jk是行列式中元素jk随对应的代数余因子。通常情况下，通信信道中的噪声均值a=0。因此，在噪声均值为零时，噪声的平均功率等于噪声的方差。即有Pn=R(0)=Dn(t)=2。这个结论是非常有用的，在通信系统的性能分析中，常常会通过求自相关函数或方差的方法来计算噪声的功率5。3、结语要建构通信系统随机过程的模型以及实现对通信系统性能的评估，对于随机过程和随机模型的研究是必须具备的条件。通常需要进行建模的随机过程是随机信号和随机噪声，但是还有一种就是信道建模。对于随机过程模型的研究，还需要学者进行深入的研究，以解决随机过程中未解决的难题。参考文献1 韦岗,季飞,傅娟.通信系统建模与仿真M.北京:电子工业出版社,2007.81-103.2 陈树新，邓妍，姚如贵.现代通信系统建模与仿真M.西安:西安电子科技大学出版社，2007.48-51.3