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第三章空间向量与立体几何 3 1 5空间向量运算的坐标表示 1 空间向量的基本定理 2 平面向量的坐标表示及运算律 一 复习回顾 若是空间的一个基底 是空间任意一向量 存在唯一的实数组使 1 空间直角坐标系 1 若空间的一个基底的三个基向量互相垂直 且长为1 这个基底叫单位正交基底 2 在空间选定一点和一个单位正交基底 以点为原点 分别以的方向为正方向建立三条数轴 轴 轴 轴 它们都叫坐标轴 我们称建立了一个空间直角坐标系 点叫原点 向量都叫坐标向量 通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面 分别称为平面 平面 平面 4 在空间直角坐标系中 让右手拇指指向轴的正方向 食指指向轴的正方向 如果中指指向轴的正方向 称这个坐标系为右手直角坐标系 本书建立的坐标系都是右手直角坐标系 3 作空间直角坐标系时 一般使 2 空间直角坐标系中的坐标 如图给定空间直角坐标系和向量 设为坐标向量 则存在唯一的有序实数组 使 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标 记作 在空间直角坐标系中 对空间任一点 存在唯一的有序实数组 使 有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标 记作 叫横坐标 叫纵坐标 叫竖坐标 一 向量的直角坐标运算 1 距离公式 1 向量的长度 模 公式 注意 此公式的几何意义是表示长方体的对角线的长度 二 距离与夹角 在空间直角坐标系中 已知 则 2 空间两点间的距离公式 2 两个向量夹角公式 注意 1 当时 同向 2 当时 反向 3 当时 思考 当及时 夹角在什么范围内 例1 已知 解 三 应用举例 三 应用举例 例2 已知 求 1 线段的中点坐标和长度 解 设是的中点 则 点的坐标是 2 到两点距离相等的点的坐标满足的条件 解 点到的距离相等 则 化简整理 得 即到两点距离相等的点的坐标满足的条件是 解 设正方体的棱长为1 如图建立空间直角坐标系 则 例3 如图 在正方体中 求与所成的角的余弦值 例4 在正方体 练习3已知垂直于正方形所在的平面 分别是的中点 并且 求证 证明 分别以为坐标向量建立空间直角坐标系则 练习4 如图 已知线段AB AC BD AB DE DBE 30 如果AB 6 AC BD 8 求CD的长及异面直线CD与AB所成角的大小 练习 平行六面体ABCD A1B1C1D1中 AB 4 AD 3 AA1 5 BAD BAA1 DAA1 60 E H F分别是D1C1 AB CC1的中点 1 求AC1的长 2 求BE的
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