高等数学之数列的极限课件_第1页
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文档简介

二 数列的概念 三 数列极限的定义 四 数列极限的性质 2数列的极限 1 一 概念的引入 割之弥细 所失弥少 割之又割 以至于不可割 则与圆周合体而无所失矣 1 割圆术 刘徽 一 概念的引入 2 正六边形的面积 正十二边形的面积 正形的面积 3 2 截丈问题 4 我们把每天截下部分 或剩下部分 的长度列出 古代哲学家庄周所著的 庄子 天下篇 引用了 一句话 一尺之棰 日取其半 万世不竭 这样就得到 随着n的无限增 大而无限趋于0 二 数列的概念 例如 5 注意 1 数列对应着数轴上一个点列 可看作一动点在数轴上依次取 2 数列是整标函数 6 数列极限的定义未给出求极限的方法 例2 注意 9 小结 用定义证数列极限存在时 关键是任意给定寻找N 但不必要求最小的N 例3 10 练习 11 1 唯一性 定理1若数列收敛 则极限必定唯一 证 四 数列极限的性质 12 定理2若数列收敛 则必定有界 证 由定义 推论无界数列必定发散 2 有界性 13 例 注意 有界性是数列收敛的必要条件 14 定理3若且a 0 或a0 当n N时 有 证 3 保号性 15 推论 若数列从某项起 用反证法证明 单调有界数列必有极限 证明略 4 单调有界定理 16 例4设 证明该数列有极限 17 例5 设 证明数列 极限存在 证 利用单调有界定理 记此极限为e e为无理数 其值为 即 注 18 5 两边夹原理 若 19 本定理给出了判别数列收敛的方法 又提供了一个 计算数列极限的方法 例6求 练习求 6 子数列的收敛性 注意 例如 20 定理6收敛数列的任一子数列也收敛 且与原数列的极限相同 证 证毕 21 由此性质可知 若数列有两个子数列收敛于不同的极 限 例如 发散 注 发散的数列也可能有收敛的子列 则原数列
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