启航数学学习计划第八章.doc

第八章 空间解析几何与向量代数第一部分 知识点回顾一、向 量1、有关向量的概念（1）、向量：将既有大小又有方向的量称为向量，也称矢量，记为。（2）、向量的模：向量的大小称为向量的模，记为。（3）、向量的坐标及坐标表示：向量在三个坐标上的投影称为向量的坐标，记为（4）、单位坐标：模为1的向量称为单位向量，记为，（方向与相同）。且。（5）、向量的方向余弦：如果向量的正向与轴，轴，轴正向的夹角分别为则称为的方向余弦，由此有，2. 向量的运算和性质（1） 加减运算：设，则 （2） 乘数运算：。（3） 数量积（点积，内积）。 1）几何表示：。 2）坐标表示：。 3）运算法则.可交换性：。分配律：。结合律（与数相乘）：。 4）点积中常用到的结论。 求向量的模：。 求两个向量与间的夹角：。 两个向量垂直的充要条件：。（4） 向量积（叉积，外积）。 1）几何表示：是一个向量。其中，方向：的方向是垂直和，且符合右手法则。 2）坐标表示： 3）运算法则有方向性：。分配律：。结合律（与数乘的结合律）：。 4）向量积中常用到的结论。 求以和为临边的平行四边形的面积，即。 两个向量平行的充要条件：。（5） 混合积： 1）定义：称的三个向量的混合积（一个数）。记为用坐标表示：。2） 运算法则： 轮换对称阵： 3）向量积中常用到的结论。 求以为临边的平行六面体的体积，即。 判别三个向量共面充要条件：共面。二、平面与直线1.平面方程（1）一般式：为平面的法矢量。（2）点法式：其中为平面上已知点，为平面的法矢量。（3） 截距式：其中分别为平面在三个坐标轴上的截距。2. 直线方程（1）一般式：（2）对称式：，其中为直线上的定点，为直线的方向矢量。（3）参数式：其中为直线上的定点，为直线的方向矢量。3.平面与直线的位置关系（1）平面与平面的关系设平面平面 1）两平面平行： 2）两平面垂直： 3）两平面间的夹角有公式： （2） 直线与直线的关系： 直线直线 1）两直线平行： 2）两直线垂直： 3）两直线间的夹角公式： （3） 平面与直线的关系：设平面 直线 1）平面与直线平行： 2）平面与直线垂直： 3）平面与直线间的夹角公式： （4）点到平面的距离公式：点到平面的距离为： （5）点到直线的距离公式：点到直线的距离为： 3、 曲面与空间曲线1. 曲线方程与曲面方程的表示（1）曲面方程 1）一般式： 2）参数式： 其中是独立参数.（2） 空间曲线方程 1）一般式： 2）参数式：2. 旋转面及其方程（1） 旋转面的定义定义：由一条平面曲线绕其平面上的一条直线旋转一周所成的曲面称为旋转曲面，其中旋转曲面称为旋转面的母线，定直线称为旋转曲面的轴。（2） 旋转面方程设有面上的曲线那么曲线绕轴旋转产生的旋转面方程为曲线绕轴旋转产生的旋转面方程为3. 柱面及其方程（1） 柱面的定义定义：平行于定直线并沿定曲线移动的直线形成的轨迹称为柱面，其中定曲线称为柱面的准线，定直线称为柱面的母线。（2） 直面方程的建立准线为（一般式），母线的方向矢量为的柱面方程的建立： 首先，在准线上任取一点，则过点的母线方程为 其次，消去方程组中的得到关于的方程，即为所求柱面方程。准线为（参数式）母线的方向矢量为的柱面方程的建立：所求柱面方程为 这里为参数。（3） 常见的柱面（特征是缺一个变量）圆柱面：椭圆柱面：抛物柱面：4. 常见的二次曲面（1） 椭球面：（2） 二次锥面：（3） 椭圆抛物面：（4） 单页双曲面：（5） 双叶双曲面：（6） 双曲抛物面：5. 空间曲线的投影设有空间曲线，求在面上投影的步骤：由 消去得.在面上的投影为类似可求在其他坐标面上的投影。第二部分教材习题解析1. 填空：（1） 设在坐标系中点和的坐标依次为和，则在坐标系中，点的坐标为 ，向量的坐标 ；（2） 设数不全为0，使，则三个向量是 的；（3） 设，且，则 ；（4） 设，且满足，则 。3. 已知的顶点为和，