高中数学 课时作业21 专题研究三 数列的实际应用 新人教版必修5.docVIP

【高考调研】2015年高中数学 课时作业21 专题研究三 数列的实际应用 新人教版必修51夏季高山的温度从山脚起每升高100 m，降低0.7 ，已知山顶温度是14.8 ，山脚温度是26 ，则山的相对高度是()a1 500 mb1 600 mc1 700 m d1 800 m答案b解析2614.8(n1)0.7，0.7n11.9，n17.an0(171)1001 600，故选b.2某工厂预计今年十二月份产量是今年一月份产量的m倍，则该厂今年的月平均增长率应是()a. b.c.1d.1答案c解析设月平均增长率为p，则(1p)11m，p1.3“嫦娥奔月，举国欢庆”，据科学计算，运载“神十”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km，以后每秒钟通过的路程都增加2 km，在达到离地面240 km的高度时，火箭与飞船分离，则这一过程大约需要的时间是()a10秒钟 b13秒钟c15秒钟 d20秒钟答案c4某商品的价格前两年每年递增20%，后两年每年递减20%，最后一年的价格与原来的价格比较，变化情况是()a不增不减 b约增1.4%c约减9.2% d约减7.8%答案d5某企业在今年年初贷款a万元，年利率为，从今年年末开始每年偿还一定金额，预计五年内还清，则每年应偿还()a.万元 b.万元c.万元 d.万元答案b6一个蜂巢里有一只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴；，如果这个找伙伴的过程继续下去，第6天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_只蜜蜂答案46 656解析每只蜜蜂归巢后的数目组成一个等比数列，a16，q6，第6天所有蜜蜂归巢后，蜜蜂总数为a66646 656只7.一个堆放铅笔的v形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放1支，最上面一层放了120支，这个v形架上共放了_支铅笔答案7 260解析从下向上依次放了1,2,3，120支铅笔，共放了铅笔1231207 260(支)8密封的瓶中，如果放进一个细菌，1分钟后瓶中就充满了细菌，已知每个细菌每秒钟分裂2个，两秒钟就分裂4个，如果放进两个细菌，要使瓶中充满细菌，需要时间不小于_秒答案59解析因为瓶中容纳的细菌个数s601242602611，若开始放进两个细菌，n秒后充满一瓶，则sn242n12n22，2n2261，故n59秒9某林场去年年底森林中木材存量为3 300万立方米，从今年起每年以25%的增长率生长，同时每年冬季要砍伐的木材量为b，为了实现经过20年达到木材存量至少翻两番的目标，每年冬季木材的砍伐量不能超过多少？(取lg20.3)解析设a1，a2，a20表示今年开始的各年木材存量，且a03 300，则anan1(125%)b.anan1b，an4b(an14b)，即数列an4b是等比数列，公比q.a204b(a04b)()20.令t()20，则lgt20lg20(130.3)2.t100，于是a204b100(a04b)a20100a0396b，由a204a0，得100a0396b4a0，ba0800.故每年冬季木材的砍伐量不能超过800万立方米10某地区位于沙漠边缘地带，到2000年底全县的绿化率只有30%，从2001年开始，计划将每年原有沙漠面积的16%栽树改造为绿洲，而同时，原有绿洲面积的4%又被侵蚀变成沙漠(1)设该地区的面积为1,2000年底绿洲面积为a1，经过一年绿洲面积为a2，经过n年绿洲面积为an1，求证：an1an；(2)问至少需要经过多少年的努力才能使该地区的绿洲面积超过60%(年数取整数)？(lg20.301 0)解析(1)证明设2000年底的沙漠面积为b1，经过n年后沙漠面积为bn1，则a1b11，anbn1.an196%an16%bn96%an16(1an)an.(2)依题意知an1an，得an1(an)()2(an1)()n(a1)()n.an1()n.依题意()n60%，()nlog4.1.故至少需要经过5年，才能使全地区绿洲面积超过60%.11假设某市2009年新建住房400万平方米，其中有250万平方米是中低价房预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%.另外，每年新建住房中，中低价房的面积均比上一年增加50万平方米那么，到哪一年年底(1)该市历年所建中低价房的累计面积(以2009年为累计的第一年)将首次不少于4 750万平方米？(2)当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%？(1.0851.47)解析(1)设中低价房面积构成数列an，由题意可知an是等差数列其中a1250，d50，则sn250n5025n2225n.令25n2225n4 750，即n29n1900，而n是正整数，n10.到2018年年底，该市历年所建中低价房的累计面积将首次不少于4 750万平方米(2)可新建住房面积构成数列bn，由题意可知bn是等比数列其中b1400，q1.08，则bn4001.08n1.由题意可知an0.85bn，有250(n1)504001.08n10.85.由1.0851.47解得最小正整数n6，到2014年年底，当年建造的中低价房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于85%.1某校为扩大教学规模，从今年起扩大招生，现有学生人数为b人，以后学生人数年增长率为4.9.该校今年年初有旧实验设备a套，其中需要换的旧设备占了一半学校决定每年以当年年初设备数量的10%的增长率增加新设备，同时每年淘汰x套的旧设备(1)如果10年后该校学生的人均占有设备的比率正好比目前翻一番，那么每年应更换的旧设备是多少套？(2)依照(1)的更换速度，其需多少年能更换所有需要更换的旧设备？下列数据供计算时参考：1.192.381.004 991.041.1102.601.004 9101.051.1112.851.004 8111.06解析(1)设今年学生人数为b人，则10年后学生人数为b(14.9)101.05b，由题设可知，1年后的设备为a(110%)x1.1ax，2年后的设备为1.12a1.1xx1.12ax(11.1)，10年后的设备为a1.110x(11.11.121.19)2.6ax2.6a16x，由题设得2，解得xa.(2)全部更换旧设备还需a16年答案(1)每年更换旧设备为a套；(2)按此速度全部更换旧设备还需16年2陈老师购买安居工程集资房92 m2，单价为1 000元/m2，一次性国家财政补贴28 800元，学校补贴14 400，余款由个人负担房地产开发公司对教师实行分期付款每期为一年，等额付款，签订购房合同后一年付款一次再经过一年又付款一次，共付10次，10年后付清，如果按年利率7.5%，每年按复利计算，那么每年应付款多少元？(计算结果精确到百元)解析设每年应付款x元，那么到最后一次付款时(即购房十年后)，第一年付款所生利息之和为x1.0759元，第二年付款及所生利息之和为x1.0758元，第九年付款及其所生利息之和为x1.075元，第十年付款为x元，而所购房余款的现价及其利息之和为1 00092(28 80014 400)1.0751048 8001.07510(元)因此有x(11.0751.07521.0759)48 8001.07510.x48 8001.0751048 8002.0610.0717 141(元)故每年需交款7 141元1(2013新课标全国)等比数列an的前n项和为sn.已知s3a210a1，a59，则a1()a.bc. d答案c解析设数列an的公比为q，若q1，则由a59，得a19，此时s327，而a210a199，不满足题意，因此q1.q1时，s3a1q10a1，q10，整理得q29.a5a1q49，即81a19，a1.2(2012全国)已知数列an的前n项和为sn，a11，sn2an1，则sn()a2n1 b()n1c()n1 d.答案b解析当n1时，s12a2，又因s1a11，所以a2，s21.选b.3(2013辽宁)已知等比数列an是递增数列，sn是an的前n项和若a1，a3是方程x25x40的两个根，则s6_.答案63解析因为x25x40的两根为1和4，又数列an是递增数列，所以a11，a34，所以q2.所以s663.4(2013重庆)已知an是等差数列，a11，公差d0，sn为其前n项和，若a1，a2，a5成等比数列，则s8_.答案64解析由a1、a2、a5成等比数列，得(a1d)2a1(a14d)，即(1d)214d，解得d2(d0舍去)，s8864.5(2012北京)已知an为等差数列，sn为其前n项和若a1，s2a3，则a2_，sn_.答案1(n2n)解析由a1，s2a3，得a1a2a3，即a3a2.an是一个以a1为首项，以为公差的等差数列an(n1)n.a21，sn(a1an)n2n(n2n)6(2012江西)设数列an，bn都是等差数列，若a1b17，a3b321，则a5b5_.答案35解析an，bn均是等差数列，根据等差数列的性质可得a1a52a3，b1b52b3，即a52a3a1，b52b3b1，a5b52(a3b3)(a1b1)221735.7(2012浙江)设公比为q(q0)的等比数列an的前n项和为sn，若s23a22，s43a42，则q_.答案解析s4s23a43a2，a3a43a43a2，a33a22a4，a1q23a1q2a1q3，q，q1(舍去)8(2012全国)已知数列an中，a11，前n项和snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通项公式解析(1)由s2a2，得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由s3a3，得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由题设知a11.当n1时有ansnsn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.将以上n个等式两端分别相乘，整理得an.综上，an的通项公式an.9(2013新课标全国)已知等差数列an的前n项和sn满足s30，s55.(1)求an的通项公式；(2)求数列的前n项和解析(1)设an的公差为d，则snna1d.由已知可得解得a11，d1.故an的通项公式为an2n.(2)由(1)知()，从而数列的前n项和为(1).10(2012江西文)已知数列an的前n项和snn2kn(其中kn)，且sn的最大值为8.(1)确定常数k，并求an；(2)求数列的前n项和tn.解析(1)由题知，当nkn时，snn2kn取得最大值，即sskk2k2k2，故k216(kn)，因此k4.从而ansnsn1n(n2)又a1s1，所以ann.(2)因为bn，tnb1b2bn1，所以tn2tntn2144.11(2012江西)已知数列an的前n项和snkcnk(其中c，k为常数)，且a24，a68a3.(1)求an；(2)求数列nan的前n项和tn.解析(1)由snkcnk，得ansnsn1kcnkcn1(n2)由a24，a68a3，得kc(c1)4，kc5(c1)8kc2(c1)，解得所以a1s12，ankcnkcn12n(n2)于是an2n.(2)tniaii2i，即tn2222323424n2n，tn2tntn22223242nn2n12n12n2n1(n1)2n12.12(2011新课标)已知等比数列an中，a1，公比q.(1)sn为an的前n项和，证明：sn；(2)设bnlog3a1log3a2log3an，求数列bn的通项公式解析(1)证明：因为an()n1，sn，所以sn.(2)bnlog3a1log3a2log3an(12n).所以bn的通项公式为bn.13(2012重庆)已知an为等差数列，且a1a38，a2a412.(1)求an的通项公式；(2)记an的前n项和为sn，若a1，ak，sk2成等比数列，求正整数k的值解析(1)设数列an的公差为d，由题意知解得a12，d2.所以ana1(n1)d22(n1)2n.(2)由(1)可得snn(n1)因a1，ak，sk2成等比数列，所以aaksk2.从而(2k)22(k2)(k3)，即k25k60.解得k6或k1(舍去)因此k6.14(2013浙江)在公差为d的等差数列an中，已知a110，且a1,2a22,5a3成等比数列(1)求d，an；(2)若d0，求|a1|a2|a3|an|.解析(1)由题意得5a3a1(2a22)2，即d23d40，故d1或d4.所以ann11，nn*或an4n6，nn*.(2)设数列an的前n项和为sn.因为da1a9，则a1的取值范围解析(1)因为数列an的公差d1，且1，a1，a3成等比数列，所以a1(a12)，即aa120，解得a11或a12.(2)因为数列an的公差d1，且s5a1a9，所以5a110a8a1，即a3a1100，解得5a10，上式不成立；当n为奇数时，(2)n2n2 012，即2n2 012，则n11.18(2013大纲全国)等差数列an的前n项和为sn.已知s3a，且s1，s2，s4成等比数列，求an的通项公式解析设an的公差为d.由s3a，得3a2a，故a20或a23.由s1，s2，s4成等比数列，得ss1s4.又s1a2d，s22a2d，s44a22d，故(2a2d)2(a2d)(4a22d)若a20，则d22d2，所以d0，此时sn0，不合题意；若a33，则(6d)2(3d)(122d)，解得d0或d2.因此an的通项公式为an3或an2n1.19(2013四川)在等差数列an中，a1a38，且a4为a2和a9的等比中项，求数列an的首项、公差及前n项和解析设该数列公差为d，前n项和为sn.由已知，可得2a12d8，(a13d)2(a1d)(a18d)所以，a1d4，d(d3a1)0，解得a14，d0，或a11，d3，即数列an的首项为4，公差为0，或首项为1，公差为3.所以，数列的前n项和sn4n或sn.20(2013重庆)设数列an满足：a11，an13an，nn.(1)求an的通项公式及前n项和sn；(2)已知bn是等差数列，tn为其前n项和，且b1a2，b3a1a2a3，求t20.解析(1)由题设知an是首项为1，公比为3的等比数列，所以an3n1，sn(3n1)(2)b1a23，b313913，b3b1102d，所以公差d5，故t2020351 010.21(2013四川)在等比数列an中，a2a12，且2a2为3a1和a3的等差中项，求数列an的首项、公比及前n项和解析设该数列的公比为q，