北京高三数学 最新试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题立体几何 理.doc

北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何一、选择题 （2013届北京大兴区一模理科）已知平面，直线，下列命题中不正确的是（）a若，则 b若，则c若，则d若，则 （2013届北京海滨一模理科）设为空间中三条互相平行且两两间的距离分别为4，5，6的直线.给出下列三个结论：，使得是直角三角形；，使得是等边三角形；三条直线上存在四点，使得四面体为在一个顶点处的三条棱两两互相垂直的四面体.其中，所有正确结论的序号是（）（7题图） abcd （2013届北京市延庆县一模数学理）一四面体的三视图如图所示，则该四面体四个面中最大的面积是（）abcd （2013届北京西城区一模理科）某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（）abcd （2013届北京西城区一模理科）如图，正方体中，为底面上的动点，于，且，则点的轨迹是（）a线段b圆弧c椭圆的一部分d抛物线的一部分 （2013届房山区一模理科数学）某三棱椎的三视图如图所示，该三棱锥的四个面的面积中，最大的是（）abcd主视图1左视图1俯视图1 （2013届门头沟区一模理科）一个几何体的三视图如右图所示，则该几何体的体积是（）abcd （北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）已知底面为正方形的四棱锥，其一条侧棱垂直于底面，那么该四棱锥的三视图可能是下列各图中的 正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图正视图侧视图俯视图（）abcd （北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）平面平面的一个充分条件是（）a存在一条直线b存在一条直线c存在两条平行直线d存在两条异面直线（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）已知一个几何体是由上下两部分构成的组合体，其三视图如下，若图中圆的半径为，等腰三角形的腰长为，则该几何体的体积是（）abcd（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）某四面体的三视图如图所示该四面体的六条棱的长度中，最大的是 （）abcd（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）一个几何体的三视图如图所示，该几何 体的表面积是正（主）视图侧（左）视图俯视图（）abcd（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，某三棱锥的三视图都是直角边为的等腰直角三角形，则该三棱锥的四个面的面积中最大的是（）abc1d2（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知一个空间几何体的三视图如图所示，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的全面积为（）abcd（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知三棱锥的底面是边长为的正三角形，其正视图与俯视图如图所示，则其侧视图的面积为（）abc d （【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在棱长为1的正方体中，点，分别是线段，（不包括端点）上的动点，且线段平行于平面，则四面体的体积的最大值是（）abcd（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）设是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正确的是（）a若，则 b若，则 c若，则 d若，则（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（）abcd正（主）视图侧（左）视图俯视图223231（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）若正三棱柱的三视图如图所示，该三棱柱的表面积是（）ab cd二、填空题（2013届北京丰台区一模理科）某四面体的三视图如图所示，则该四面体的四个面中，直角三角形的面积和是_.（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 （【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）三棱锥及其三视图中的主视图和左视图如图所示，则棱的长为_.（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知正方体的棱长为，动点在正方体表面上运动，且（），记点的轨迹的长度为，则_;关于的方程的解的个数可以为_.（填上所有可能的值）.三、解答题（2013届北京大兴区一模理科）如图，直三棱柱abca1b1c1中，是等边三角形，d是bc的中点（）求证：a1b/平面adc1；（）若ab=bb1=2，求a1d与平面ac1d所成角的正弦值（2013届北京丰台区一模理科）如图，四边形abcd是边长为2的正方形，md平面abcd，nbmd，且nb=1，md=2；（）求证：am平面bcn;（）求an与平面mnc所成角的正弦值；（）e为直线mn上一点，且平面ade平面mnc，求的值.（2013届北京海滨一模理科）在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是中点，又，点在线段上，且（）求证：；（）求证：平面;（）求二面角的余弦值（2013届北京市延庆县一模数学理） 如图，四棱锥的底面为菱形，侧面是边长为2的正三角形，侧面底面.()设的中点为，求证：平面；（）求斜线与平面所成角的正弦值；（）在侧棱上存在一点，使得二面角的大小为，求的值.（2013届北京西城区一模理科）在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，/，（）求证：平面；（）求与平面所成角的正弦值；（）线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论（2013届东城区一模理科）如图，已知是直角梯形，且，平面平面， 是的中点（）求证：平面；（）求平面与平面所成锐二面角大小的余弦值（2013届房山区一模理科数学）在四棱锥中，侧面底面， 为直角梯形，/，为的中点（）求证：pa/平面bef；（）若pc与ab所成角为，求的长；（）在（）的条件下，求二面角f-be-a的余弦值（2013届门头沟区一模理科）在等腰梯形abcd中，n是bc的中点将梯形abcd绕ab旋转，得到梯形（如图）（）求证：平面； （）求证：平面；（）求二面角的余弦值acdbn（北京市东城区普通高中示范校2013届高三3月联考综合练习（二）数学（理）试题 ）(本小题满分13分) 在四棱锥中，底面为矩形，分别为的中点（1）求证：；（2）求证：平面；（3）线段上是否存在一点，使得平面平面，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由（北京市东城区普通校2013届高三3月联考数学（理）试题 ）已知几何体abced的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为4的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（）求此几何体的体积v的大小;（）求异面直线de与ab所成角的余弦值；（）试探究在棱de上是否存在点q，使得aqbq，若存在，求出dq的长，不存在说明理由.侧视图俯视图正视图1444（北京市东城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）abcdenm如图，在菱形中，是的中点， 平面，且在矩形中，（）求证：；（）求证： / 平面；（）求二面角的大小.（北京市海淀区北师特学校2013届高三第四次月考理科数学）如图所示，正方形与矩形所在平面互相垂直，,点e为的中点。（）求证： () 求证：（）在线段ab上是否存在点，使二面角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由。（北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，四棱锥中，底面为正方形，平面，为棱的中点（）求证：/ 平面；（）求证：平面平面； （）求二面角的余弦值（北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）如图，在三棱柱abc-a1b1c1中，cc1底面abc，ac=bc=2，cc1=4，m是棱cc1上一点（）求证：bcam；（）若n是ab上一点，且，求证：cn /平面ab1m；（）若，求二面角a-mb1-c的大小（北京市丰台区2013届高三上学期期末考试 数学理试题 ）如图，在三棱锥p-abc中，pa=pb=ab=2，,平面pab平面abc，d、e分别为ab、ac中点.（）求证：de平面pbc;（）求证：abpe；（）求二面角a-pb-e的大小. （北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在四棱锥中，底面是正方形，为的中点. （）求证：平面；（）求证：；（）若在线段上是否存在点，使？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由（【解析】北京市朝阳区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）在长方体中，点在棱上，且a1b1ecbd1c1ad（）求证：平面；（）在棱上是否存在点，使平面？ 若存在，求出线段的长；若不存在，请说明理由； （）若二面角的余弦值为，求棱的长（【解析】北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图，在直三棱柱中，是中点.（i）求证：平面；（ii）若棱上存在一点，满足，求的长；（）求平面与平面所成锐二面角的余弦值.（【解析】北京市石景山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）如图1，在rt中，d、e分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 abcde图1图2a1bcde（北京市房山区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分14分）在长方体中，为中点.（）证明：；（）求与平面所成角的正弦值；（）在棱上是否存在一点，使得平面？若存在，求的长；若不存在，说明理由. 北京2013届高三最新模拟试题分类汇编（含9区一模及上学期期末试题精选）专题：立体几何参考答案一、选择题 c b d c a c c c d 【答案】a【解析】由三视图可知，该几何体上部分是一个圆锥，下部分是个半球，球半径为1，圆锥的高为，所以圆锥的体积为，半球的体积为，所以几何体的总体积为，选a. 【答案】c 解：由三视图可知该四面体为,其中,.所以六条棱中，最大的为或者.,所以，此时。,所以，所以棱长最大的为，选c. 【答案】b【 解析】由三视图可知，该几何体是一个平放的直三棱柱，棱柱的底面为等腰直角三角形，棱柱的高为2，所以该几何体的底面积为，侧面积为，所以表面积为，选b. 【答案】a解：由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，三棱锥的三个侧面都是等腰直角三角形，,所以四个面中面积最大的为，且是边长为为2的正三角形，所以，选a. 【答案】b解：根据三视图复原的几何体是底面为直角梯形，一条侧棱垂直直角梯形的直角顶点的四棱锥其中abcd是直角梯形，abad， ab=ad=2，bc=4，即pa平面abcd，pa=2。且,，,底面梯形的面积为，,侧面三角形中的高，所以，所以该几何体的总面积为，选b. 【答案】c 解：由正视图与俯视图可知，该几何体为正三棱锥，侧视图为，侧视图的高为，高为，所以侧视图的面积为。选c. 【答案】a解：过做底面于o,连结,则，即为三棱锥的高，设，则由题意知,所以有，即。三角形，所以四面体的体积为，当且仅当，即时，取等号，所以四面体的体积的最大值为，选a. 【答案】c解：c中，当，所以，或当，所以，所以正确。 【答案】b解：由三视图可知该几何体为三棱锥，三棱锥的高为2，底面三角形的高为3，底面边长为3，所以底面积为，所以该几何体的体积为，选b. d二、填空题 ； 【答案】解：由三视图可知，该几何体是底面是直角梯形的四棱柱。棱柱的高为4，底面梯形的上底为4，下底为5，腰,所以梯形的面积为，梯形的周长为，所以四个侧面积为，所以该几何体的表面积为。 【答案】解：取ac的中点，连结be,de由主视图可知.且.所以，即。 【答案】解：由定义可知当，点p的轨迹是半径为的圆周长，此时点p分别在三个侧面上运动，所以。由正方体可知，当，点在三个面上运动，此时递增，当时，递减，当时，递增，当时，递减，如草图，所以方程的解的个数可能为0,2,3,4个。三、解答题证明：（i）因为三棱柱是直三棱柱，所以四边形是矩形。连结交于o，则o是的中点，又d是bc的中点，所以在中，。因为平面，平面，所以平面。（ii）因为是等边三角形，d是bc的中点，所以。以d为原点，建立如图所示空间坐标系。由已知，得：，.则，设平面的法向量为。由，得到，令，则，所以.又，得。所以设与平面所成角为，则。所以与平面所成角的正弦值为。解：（）abcd是正方形,bcad.bc平面amd,ad平面amd,bc平面amd.nbmd,nb平面amd,md平面amd,nb平面amd.nbbc=b,nb平面bcn, bc平面bcn,平面amd平面bcn3分am平面amd,am平面bcn4分(也可建立直角坐标系，证明am垂直平面bcn的法向量，酌情给分)（）平面abcd，abcd是正方形，所以，可选点d为原点，da,dc,dm所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系（如图）5分则，,., 6分，,设平面mnc的法向量,则，令，则 7分设an与平面mnc所成角为,. 9分（）设，又，e点的坐标为， 11分面mdc,，欲使平面ade平面mnc，只要， . 14分证明：(i) 因为是正三角形，是中点，所以,即1分又因为，平面，2分又，所以平面3分又平面，所以4分（）在正三角形中，5分在中，因为为中点，所以，所以，所以6分在等腰直角三角形中，所以，所以8分又平面，平面，所以平面9分（）因为，所以，分别以为轴, 轴, 轴建立如图的空间直角坐标系，所以由（）可知，为平面的法向量10分，设平面的一个法向量为,则，即，令则平面的一个法向量为12分设二面角的大小为， 则所以二面角余弦值为14分 ()证明：因为侧面是正三角形，的中点为，所以，因为侧面底面，侧面底面，侧面，所以平面. 3分（）连结，设，建立空间直角坐标系， 则，5分,平面的法向量，设斜线与平面所成角的为，则. 8分（）设，则， 10分设平面的法向量为，则，取，得，又平面的法向量12分所以，所以，解得（舍去）或.所以，此时. 14分 （）证明：因为，在中，由余弦定理可得 ，所以 2分又因为 ， 所以平面 4分（）解：因为平面，所以因为，所以平面 5分所以两两互相垂直，如图建立的空间直角坐标系 6分在等腰梯形中，可得 设，所以所以 ，设平面的法向量为，则有所以 取，得 8分设与平面所成的角为，则 ，所以 与平面所成角的正弦值为 9分（）解：线段上不存在点，使平面平面证明如下： 10分假设线段上存在点，设 ，所以 设平面的法向量为，则有 所以 取 ，得 12分要使平面平面，只需， 13分即 ， 此方程无解所以线段上不存在点，使平面平面 14分证明（）取的中点，连结， 因为是的中点，所以， 因为，且，所以，且，所以四边形是平行四边形 所以因为平面，平面，所以平面 （）因为，平面平面，所以以点为原点，直线为轴，直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则轴在平面内由已知可得，所以， 设平面的法向量为由所以取，所以 又因为平面的一个法向量为 所以 即平面与平面所成锐二面角大小的余弦值为 （）证明：连接ac交be于o，并连接ec，fo / , 为中点 ae/bc，且ae=bc 四边形abce为平行四边形 o为ac中点 .1分又 f为ad中点 / .2分 .3分 /平面 .4分（）解法一：.6分易知 bcde为正方形 建立如图空间直角坐标系，（）则 ，.8分解得： .9分解法二：由bcde为正方形可得 由abce为平行四边形 可得 /为 即.5分 .7分 .8分 .9分（）为的中点，所以 ，,设是平面bef的法向量则 取，则，得 .11分是平面abe的法向量 .12分 .13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为.14分 （）证明：因为，n是bc的中点所以，又所以四边形是平行四边形，所以又因为等腰梯形，xzyacdbn所以 ，所以四边形是菱形，所以所以，即由已知可知 平面平面，因为 平面平面所以平面 4分（）证明：因为， 所以平面平面又因为平面，所以 平面 8分（）因为平面同理平面，建立如图如示坐标系设， 则, ， 9分则，设平面的法向量为，有 ，得 11分因为平面，所以平面平面又，平面平面所以平面与交于点o，o则为an的中点，o所以平面的法向量 12分所以 13分由图形可知二面角为钝角所以二面角的余弦值为14分 （1）证明：底面为矩形 4分（2）证明：取，连接 ,是平行四边形，/，/ 8分(3) ，以为坐标原点，以所在的直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，假设在线段上存在一点，使得平面平面，设， 设平面的法向量为 ， ， 令 设平面的法向量为 令 ，解得 线段上存在点，且当时，使得平面平面. 13分解：（1）由该几何体的三视图知面,且ec=bc=ac=4 ，bd=1，即该几何体的体积v为-4分（2）以c为原点，以ca，cb，ce所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系则a（4，0，0），b（0，4，0），d（0，4，1），e（0，0，4）， 异面直线de与ab所成的角的余弦值为-4分（3） 点q在棱de上，存在使得同理,即，满足题设的点q存在，dq的长为1 -14分解：（）连结，则.由已知平面，因为fabcdenmyxz，所以平面.2分又因为平面，所以.4分（）与交于，连结.由已知可得四边形是平行四边形，所以是的中点.因为是的中点，所以.7分又平面，平面，所以平面. 9分（）由于四边形是菱形，是的中点，可得.如图建立空间直角坐标系，则，, ，.，.10分设平面的法向量为.则 所以 令.所以.12分又平面的法向量，所以.所以二面角的大小是60. 14分 （） , 点e为的中点,连接。的中位线 / 2分又 4分（ii） 正方形中, 由已知可得：， .6分, .7分 .8分（）由题意可得：,以点d为原点，da,dc,dd1所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，9分 设 10分设平面的法向量为则 得 11分取是平面的一个法向量，而平面的一个法向量为 12分要使二面角的大小为 而 解得：当=时，二面角的大小为 13分 （）证明：连接与相交于点，连结因为四边形为正方形，所以为中点因为 为棱中点 所以 3分因为 平面，平面， 所以直线/平面 4分 （）证明：因为平面，所以 5分因为四边形为正方形，所以， 所以平面 7分 所以平面平面 8分 （）解法一：在平面内过作直线因为平面平面，所以平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分解法二：取中点，中点，连结，因为为正方形，所以由（）可得平面因为，所以由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分设，则 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 11分 易知平面的法向量为 12分 所以 13分由图可知二面角的平面角是钝角， 所以二面角的余弦值为 14分证明：（）因为三棱柱abc-a1b1c1中cc1平面abc，所以 cc1bc 1分因为ac=bc=2， 所以由勾股定理的逆定理知bcac 2分又因为accc1=c，所以bc平面acc1a1 3分因为am平面acc1a1，所以bcam 4分 （）过n作npbb1交ab1于p，连结mp ，则npcc1，且 5分于是有 由已知，有因为bb1=cc1所以np=cm所以四边形mcnp是平行四边形 6分所以cn/mp 7分因为cn平面ab1m，mp平面ab1m， 8分所以cn /平面ab1 m 9分（）因为 bcac，且cc1平面abc，所以 以c为原点，ca，cb，cc1分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系c-xyz10分因为 ，所以c(0,0,0)，a(2,0,0)，b1(0,2,4)， 11分设平面的法向量，则，即 令，则，即 12分又平面mb1c的一个法向量是， 所以 13分由图可知二面角a-mb1-c为锐角，所以 二面角a-mb1-c的大小为 14分解：（） d、e分别为ab、ac中点，_e_d_b_c_a_p de/bc de平面pbc，bc平面pbc，de/平面pbc 4分（）连结pd，pa=pb， pd ab .5分，bc ab， de ab . .6分又 ，ab平面pde.8分pe平面pde，abpe .9分（）平面pab平面abc，平面pab平面abc=ab，pd ab， pd平面abc.10分如图,以d为原点建立空间直角坐标系_e_d_b_c_a_pzyx b(1,0,0)，p(0,0,)，e(0,0) ,=(1,0, )，=(0, , ） 设平面pbe的法向量，令得 .11分de平面pab，平面pab的法向量为.12分设二面角的大小为，由图知，所以即二面角的大小为 .14分解：（i）连接. 由是正方形可知,点为中点. 又为的中点，所以.2分又 所以平面.4分(ii) 证明：