直线与平面垂直——教案（定稿).doc

课 题：1.2.3 直线与平面垂直授课教师：南京外国语学校 郭佩华教 材：苏教版高中数学必修2【教学目标】知识与技能：让学生经历数学概念的过程，理解直线与平面垂直的定义。通过直观感知、操作确认，归纳出线面垂直的判定定理。通过创设情境，归纳并证明出线面垂直的性质定理。熟悉自然语言，图形语言和符号语言之间的转化，能够初步运用线面垂直的定义和判定、性质定理证明简单命题。过程与方法：在学生现有的空间观念的基础上，引导学生观察和联想实际生活情境，通过直观感知，操作确认的方法去探究空间中线面垂直的位置关系，概括出线面垂直的定义、判定定理和性质定理，把握 “从特殊到一般，从抽象到具体”的研究问题的一般方法和步骤，在过程中体会转化、正难则反等思想方法。情感态度价值观：通过创设问题情境，鼓励学生自己动手操作，让学生亲身经历探索的过程，提高数学学习的兴趣；鼓励学生尝试探索，在实践中提高自己的思辨能力并形成锲而不舍的钻研精神和科学态度。【教学重点】直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理。【教学难点】探究、归纳直线与平面垂直的定义，线面垂直性质定理的证明。【教学方法与教学手段】问题探究法，启发式教学，探究式学习，结合多媒体课件。【教学过程】一、 创设情境，启发定义1. 简单回顾直线和平面的三种位置关系，引出直线与平面相交时的特殊情况直线与平面垂直。师：我们知道，直线与平面有三种位置关系： 直线在平面内，直线与平面平行，直线与平面相交。我们已经学习过前两种情况，从今天开始，我们要学习第三种情况，对于“线面相交”，大家能不能利用手中的笔比划一下。问题1：直线和平面相交时，有没有哪种位置关系比较特殊？生：（学生利用手中的笔和桌面操作感知）。垂直。师：你能给我摆一个“线面垂直”的模型吗？生：（起立，并且动手演示操作）。师：此刻，如果把你看成一条直线，你和地面之间是什么位置关系？生：垂直。师：好，今天我们就先研究线面相交中的特殊情况：“直线与平面垂直”。（板书）2. 学生自由举例，列举教室中，生活中，几何体中线面垂直的例子。师：大家观察一下周围，请问教室里有没有线面垂直的例子？生：（自由举例）。师：教室里有，我们生活中有吗？生：（学生自由回答，列举生活中“线面垂直”的场景）。师：生活中的很多场景都给我们留下了“线面垂直”的感觉(展示PPT)。特别是大部分的建筑物与地面都是垂直的，那有没有与地面不垂直的建筑物呢？生：（自由回答）师：著名的比萨斜塔与地面是不垂直的。师：那我们生活中有，教室中有吗？生：（举例）。师：生活中有，教室中有，那我们刚学过的几何体中有吗？生：（学生较容易想到长方体的棱与底面之间）。师：多面体中有，旋转体中有吗？生：我们知道，圆锥（柱，台）是由直角三角形（长方形，直角梯形）绕着一条直角边旋转而成，因此圆锥（圆柱、圆台）的轴与底面之间也给我们留下“线面垂直”的直观感觉。3. 借助“比萨斜塔”的“斜”启发定义，通过验证圆锥的轴和底面所有直线的垂直形成定义。师：大量的实例都让我们直观感觉到了“线面垂直”，那回到“比萨斜塔”，为什么我们感觉它与地面不垂直呢？（学生可能出现的回答）生1：因为它叫“比萨斜塔”，它是斜的？师：斜在哪里？ 生1：它看起来就是斜的。师：哦！从这个方向看，这个斜塔和地面是斜的。那如果把斜塔抽象成一条直线，地面抽象成一个平面，那方向可以抽象成什么？生1：可以抽象成平面中的一条直线。师：也就说，之所以给大家留下斜塔“斜”的感觉，是因为斜塔和平面内的某些直线是不垂直的。生2：不成90度角？师：角？（停顿！） 如果把斜塔所在的直线看成一条边，那么角的另一条边在哪里？生2：另外一条就是平面内的一条直线？师：也就说，之所以给大家留下斜塔“斜”的感觉，是因为斜塔和平面内的某些直线是不垂直的。生3：要使得斜塔垂直于地面，从各个方向看都应该是正的。师：如果把斜塔抽象成一条直线，底面抽象成一个平面，那方向可以抽象成什么？生3：平面内的一条直线。师：也就是说，斜塔和平面内的各条直线都是垂直的才能保证斜塔和地面垂直，但是斜塔和地面的某些直线不垂直。师：斜塔的“斜”告诉我们平面内只要有一条直线与斜塔不垂直，那么斜塔就不垂直于地面。那要使得斜塔与地面垂直，也就是“不歪不斜”，就是在平面内找不到一条直线与它不垂直。换句话说，斜塔应和面内所有的直线都是垂直的。师：也就是说，只有当线和面内的所有直线都垂直时，线才垂直于面。接下来我们以圆锥为例，来验证一下圆锥的轴是否与底面所有的直线都是垂直的？生：SO与所有半径是垂直的，即SO垂直于所有经过原点的直线。师：那如果直线不经过圆心呢？生：（此处学生讨论回答，）可以把直线平移到原点处。由异面直线的垂直可知，SO与不经过原点的直线也是垂直的。师：看来圆锥的轴与底面所有的直线都是垂直的。设计说明 让学生通过操作，联想，感知“线面垂直”是“线面相交”的一种特殊情况，并且生活中存在着大量的“线面垂直”的位置关系。在定义生成的过程中，如果从正面引入都会过多地留下“告诉”的痕迹，因此采用了比萨斜塔这个“不垂直”的例子为“线面垂直”定义的产生搭建平台，体会到“斜”是因为“斜塔”与平面内的一条直线不垂直，要“不斜”就是平面内找不到直线与它不垂直，即必须与平面内任意一条直线都垂直。从而让学生充分参与定义的形成过程，认识到这个定义不只是一个人为的规定，并充分挖掘其中所体现的数学思想对比、正难则反、线面关系到线线关系的“降维转化”等思想，让学生从“直观感知”层面深化到“理性思维抽象出数学定义”层面。二、 数学建构，认识定义1. 从直观感知入手，抓住线面“垂直”的特征是“不歪不斜”，也就是平面内找不到与它不垂直的直线，尝试给“线面垂直”下定义。师：从刚才的分析中，我们能否尝试给“线面垂直”下个定义呢？生：（尝试回答）师：根据刚才的讨论，我们知道如果一条直线a与一个平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线a与平面垂直.2. 辨析定义中的关键词“任意”。师：这里的“任意”一条表示全部在内，缺一不可，一条都不能少。师：我能不能把“任意”改成“所有”？生：可以。师：能不能把“任意”改成“无数”？大家不妨讨论一下。如果不行，能不能举个反例？生：（学生讨论回答，举出反例的模型）。3. 通过画图、写符号语言等多个环节进一步认识定义，体会定义中“双向叙述”的功能，并介绍垂线，垂面，垂足等概念。师：如何来进一步认识它？我们不妨先画个图。生：（自己操作练习）。师：（根据学生的操作适当总结），在画图时，把直线画成与横边垂直能体现出“线面垂直”的直观效果，在画法中，也体现了“线线垂直”。师：这里我们仍借助原来的符号，记作。借助这个图形，我们再介绍几个概念。当直线a与平面垂直时，把直线a叫做平面的垂线，平面叫做直线a的垂面，它们的交点称为“垂足”。师：借助这个图形，我们能否用符号表示一下，如何才能推得？生：师： a垂直于内的一条直线，能不能得到？有没有把定义中的所有关键词都表示出来？生：（回答）。师：所以要增加条件“m是内的任意一条直线”。 师：这是结论之一，那反过来，如果已经知道了线面垂直，那么线和面内一条直线是什么关系？生：垂直。师：你能用符号语言来表示一下吗？生：。师：这里我们可以看到，定义具备“双向叙述”的功能，定义中既体现了“由线面垂直推得线线垂直”即平面的垂线垂直于平面内的任意一条直线，同时也体现了“用线线垂直定义了线面垂直” 即要说明直线与平面内的“任意一条”直线垂直才能证明线面垂直。设计说明 在对定义分析的过程中，始终抓住“线线垂直”和“线面垂直”互相转化这条主线索，体会定义的“双向叙述”功能。三、 操作验证，感知判定1. 通过检验“旗杆与地面是否垂直”的问题激发学生寻求判定线面垂直的新方法。师：数学上我们给出了“线面垂直“严谨的定义，现在要检验操场上的旗杆是否垂直于地面，按照定义，就要验证地面上的所有直线都垂直于旗杆。能做到吗？生：不行。师：困难在哪里？生：任意一条，平面内的直线有无数多条。师：既然线很多，操作起来有困难，我们就要寻找新的判定办法，我们希望线能少一点，而且是越少越好。2. 直观感知，猜想判定操作确认，验证判定思辨论证，归纳判定几何画板，确认判定理性思维，认识判定，通过以上几步，归纳出判定定理。【第一步：直观感知，猜想判定】师：最理想的状态就是一条，那一条行吗？生：不行。师：为什么？大家利用手边的文具来摆摆看？生：（动手操作）师：（同步展示教具和PPT），你看，和桌面内的这条直线垂直的直线可以有无数条，我们用几何画板动态演示一下，可以发现，它可以是这个平面内的任意一条，不一定垂直于桌面。那两条可以吗？生：不行。师：举个例子。生：（动手操作）。师：一条直线与平面内两条平行线垂直不能推出线面垂直，即使无数条直线，只要是平行的，都不行。那怎么办？生：相交。师：两条相交直线。生活中，我们见过这样的例子吗？生：（学生自由回答）。师：比如长方体中，只要使这条棱垂直于底面的长和宽，就能保证它垂直于地面。生活中，只要保证跨栏的立杆，衣帽架垂直于地面的两条相交直线，就能使它们垂直于地面。要使书本的书脊垂直于桌面，只要使得它垂直于这两条相交直线。（展示PPT）【第二步：操作确认，验证判定】师：生活中看到很多这样的例子，我们自己也不妨动手操作一下。大家利用手中的讲义纸，中间随意折一下，把底边靠在桌面上，折痕和桌面不一定垂直。怎样才能使这条折痕垂直于桌面呢？大家不妨自己动手试试看。生：（学生动手操作，演示。）师：很多同学的折痕已经立在了桌子上。请一个同学来告诉我们他操作的步骤。生：（学生描述操作步骤）。师：好。我们来分解一下你的操作步骤。是第一步，对折纸片。这样做的目的是什么？生：使得折痕垂直于长方形的一边。（把一个平角分成两个直角。）师：使得折痕垂直于一边，那我不对折也行，只要使得折痕垂直于底边即可。第二步，把底边紧贴桌面，使得原来的底边成为桌面的两条相交直线。那纸的两部分张开多少的角度有没有关系？生：没太大关系，锐角也行，直角，钝角也行。师：那平铺开来行不行？生：不行。平铺开来就变成了一条直线，而垂直于一条直线是不能保证折痕垂直于桌面的。【第三步：思辨论证，归纳判定】师：很好，现在就这样的一个模型，大家能不能提炼出其中关键的，我们所需要的元素，把图形画一画。生：（动手操作）。师：好，大家画的时候，这两条相交直线都是经过折痕与桌面的交点，那不经过交点行不行？生：（学生讨论）不一定，若不经过交点，可通过平移解决。师：既然行，那我们这样画就更能表示一般情况。根据这个图形，大家能不能用文字语言叙述一下。生：如果一条直线和一个平面内的两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。【第四步：几何画板，确认判定】师：好，对于大家刚才得到的结论，我也来演示一下。再增加一条直线，我们可以看到钢管可以在这个平面中任意取，要同时和这两条直线垂直，钢管只能在两个平面的交线处。通过我们的试验，操作验证，这个结论肯定是正确的。因此，我们又获得了一个判断直线和平面垂直的方法，我们把它称为“线面垂直的判定定理”，在后续的学习中，我们会给出它的严谨证明。【第五步：理性思维，认识判定】师：在解题时，我们更多用到的是符号语言，请同学们来提炼一下：生：师：五个条件推一个结论，条件缺一不可。这个判定定理依旧是由线线垂直推得线面垂直，与定义所不同的是，定义中是任意一条直线，判定中是两条相交直线，看来“线不在多，相交则行”。师：这样，除了定以外，我们就又增加了一个判定“线面垂直”的方法。在这里，我们把“线面垂直的问题转化为线线垂直”来解决，充分体现了“降维转化”的思想。这样的方法你们熟悉吗？在哪儿见过？生：之前我们用线线平行来判定线面平行。师：看来都是我们的“老”朋友了。设计说明 由于“直线和平面垂直的判定定理”不需要证明，只需要通过生活中的实例，直观感知并操作确认。线面垂直判定定理的证明是以往教材中的一个教学难点，新教材通过直观感知和操作确认，再归纳得到线面垂直的判定定理，这种处理方式，使教学过程更加流畅，学生更容易接受如何在不加证明的情况下，让学生心悦诚服的接受“判定定理”呢？（1） 让学生体会到用定义去判定的难度，因为要做到对每条直线一一检验，有时并不方便，因而有必要寻找一个便捷的判定方法，从而激发学生去思考解决问题。（2） 直观感知，猜想判定发现垂直于一条直线不行，从而猜想“垂直于两条相交直线就能保证直线垂直于平面”，并通过生活中的现象验证其可行性。操作确认，验证判定操作确认，通过折纸试验验证猜想。思辨论证，归纳判定思辨论证，根据试验模型画出图形，抽象归纳出判定定理；通过画图环节来辨析“两条相交直线不一定要要通过线面的交点”，从而深化认识判定定理。几何画板，确认判定通过几何画板的动态演示，再次验证结论的正确性，从而得到线面垂直的判定定理。可以告诉学生，在后续的学习中，我们不难运用向量工具完成判定定理的证明。理性思维，认识判定提炼出符号语言和其中所蕴含的的数学思想。四、 例题讲解，巩固新知1. 尝试用定义和判定定理证明一些简单命题。例1：求证：如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面。师：这是一个用自然语言叙述的命题，如何表述更有利于我们去思考和表达？生：（学生尝试把自然语言翻译成符号语言）。我们首先应该先画图，根据图像，用符号语言写出已知，求证。师：现在我们要证明线面垂直，我们可以采用什么方法？请同学们自己动笔做一下？生：（此处学生练习，教师有针对性地选出两种方法：一种是用定义去证明，另一种是用判定定理证明。请两个同学上黑板板演，再请两个同学加以点评。）师：你来点评一下他们这样做，依据分别是什么？生：一个同学是用定义去证明，另一个同学是用判定定理证明。师：有什么需要完善的地方吗？生：（自由回答）。师：（适当总结）如果用定义证明，必须强调是任意一条直线；如果用判定定理证明，必须强调是两条相交直线。2. 对例题的再认识，把握问题的本质与内涵。师：回头再看例1，它告诉我们什么呢？生：（思考）！师：如果一条直线垂直于桌面，那么与它平行的直线也垂直于桌面，也就是说。平移不改变它与平面之间的垂直关系。设计说明 书本上的例1是放在定义之后，判定之前，此处调整为放在判定定理之后，证明的多样化，有助于发展学生思维，提高学生能力。解题时，让学生板演和评价，使学生得到充分的训练和表达，同时对证明格式提出规范性要求。证明之后，再对此题重新深刻理解，使学生认识到平移不改变垂直。从直观的判断变为理性的思考，符合学生的认知规律。五、 尝试探索，归纳性质1. 由例1出发，转换条件和结论，得到新命题并尝试证明。师：那反过来，如果一条直线垂直于桌面，那么与它平行的直线也垂直于桌面，也就是说。平移不改变它与平面之间的垂直关系。那反过来，如果两条直线都和平面是垂直的，这两条直线什么关系？生：平行。师：把例1的条件之一和结论交换一下位置，我们得到一个新命题。已知：aa, b a，则ab.这个命题成立吗？你能尝试证明一下吗？同学之间也可以讨论一下！生：（此处让学生大胆尝试，在尝试中提高学生的思辨能力。）生1：（连接两交点，得到直线c，因为，所以）师：这样做有问题吗？这样做有个前提，那就是先要保证a和b共面，你能保证吗？师：要证明平行，我们常用的方法是借助“内错角，同位角，同旁内角”等等，但这些方法只适用于在一个平面中。师：看来最大的难度在于我们无法说明这两条直线共面，这就导致直接证明有难度。那我们之前学过什么样的两条直线才共面呢？生：两条相交直线或者两条平行直线是共面的。师：那既然我们无法直接说明直线a与直线b共面，我们就不妨先假设a与b不共面，由刚才的例1，平移不改变线面的垂直关系，设b与平面的交点为O点，我们不妨把直线a平移到O点处，即过点O作a的平行线b，这样，我们引进直线b，使得b与a和b都是共面的。从而解决了不共面的“困难”。师：两条相交直线可以确定一个平面，我们设这个平面为，这样，我们就把“空间的问题”转化为“平面的问题”。我们把目光放在平面内，这里除了经过O的两条相交直线外，还有一条直线很重要，那就是平面和平面的交线，我们记为c，大家来研究一下，这两条相交直线与直线c是什么关系？生：（思考！）师：也就是说在平面内，过点O可以作两条直线与c垂直，这显然是不可能的