数学物理方程5_3Laplace变换.pdf

0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 1 Laplace变换变换 一 一 Laplace变换的定义变换的定义 0 st L f tf sf t edt 1 1 2 j st j Lf sf tf s e ds j at cetf 0 0 ReRe s a t atatst cec L cece edtsa sasa 二 常用函数的 二 常用函数的Laplace变换变换 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 2 0 0 22 1 sinsin 2 111 Re0 2 stsjb tsjb t Lbtbtedteedt j b s jsjbsjbsb 22 111 cos Re0 2 s Lbts sjbsjbsb 11 0 0 11 Re0 stst L tt edtestd sts ss 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 3 Laplace变换的性质变换的性质 11221122 L a f ta fta L f ta L ft 1 2 延迟定理延迟定理 s L f teL f t 3 位移定理位移定理 0 Re at L e f tf sasa 4 相似定理 若 相似定理 若c为大于零的常数 则为大于零的常数 则 1 s L f ctf cc 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 4 5 微分定理微分定理 2 12 1 0 0 0 0 0 0 nnnnn L ftsL f tf L fts L f tsff Lfts Lf tsfsff 6 积分定理积分定理 0 1 t LfdL f t s 7 象函数的微分定理象函数的微分定理 n n n d F sLtf t ds 8 象函数的积分定理象函数的积分定理 s f t FdL t 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 5 9 卷积定理卷积定理 1212 L f tftL f tL ft 1 约当引理约当引理 2 展开定理展开定理 Res st k k f tL f t es 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 6 Jordan引理 设 引理 设L L为平行于虚轴的固定直线 为一族以原点为中心并 在 为平行于虚轴的固定直线 为一族以原点为中心并 在L L左边的圆弧 的半径随而趋于无穷 若在 上 满足 则对任一正数 左边的圆弧 的半径随而趋于无穷 若在 上 满足 则对任一正数x 均有 均有 n C n Cn C lim 0 n n s C g s lim e d0 n sx n C g ss s Rn y x C n l n Re s 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 7 例已知 求例已知 求 2 s F s ss 1 LF s 11 2 s LF sL ss 2 2 22 22 Res st k k stst ss p tt se s ss sese lim slims ssss t ee 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 8 例已知 求例已知 求 1 LF s 2 255 112 ss F s sss 例 已知 求例 已知 求 1 LF s 2 22 23 2225 ss F s ssss 3 00 322 0 0 t tt yyye yy 例 求解常微分方程 例 求解常微分方程 3 2 2 3 t L yy Le s 2 2 32 3 2 3 2 1 s ysyy s y sss 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 9 1 3 21 32 2 3 3 2 1 22 2 1 3 2 1 3 2 1 2 st s stst ss ttt e yLylim s sss ee lim slim s ssssss eee 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 10 Laplace变换解数理方程变换解数理方程 例 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题 在恒定表面浓度 扩散中 包围硅片的气体中含有大量杂质原子 它们源 源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散 由于气体中杂质 原子供应充分 硅片表面浓度得以保持某个常数 例 求解硅片的恒定表面浓度扩散问题 在恒定表面浓度 扩散中 包围硅片的气体中含有大量杂质原子 它们源 源不断穿过硅片表面向硅片内部扩散 由于气体中杂质 原子供应充分 硅片表面浓度得以保持某个常数N0 0 0 0 0 00 2 t x xxt u Nu txuau 解 这里所求的是半无限空间解 这里所求的是半无限空间x 0中的定解问题中的定解问题 2 2 2 00 0 x d u asu dx uNs 对自变量作对自变量作Laplace变换变换 0 8 1 0 6 0 4 0 2 0 x t 0 0 5 1 1 5 2 1 0 5 0 0 5 1 n 11 ss xx