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第9章解析几何学案45直线与方程导学目标： 1.在平面直角坐标系中，结合具体图形，确定直线位置的几何要素.2.理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式.3.掌握确定直线位置的几何要素，掌握直线方程的几种形式，了解斜截式与一次函数的关系自主梳理1直线的倾斜角与斜率(1)在平面直角坐标系中，对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按_方向旋转到和直线重合时所转过的_称为这条直线的倾斜角当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为_(2)倾斜角的范围为_(3)倾斜角与斜率的关系：90时，k_，倾斜角是90的直线斜率_(4)过两点的直线的斜率公式：经过两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1x2)的直线的斜率公式为k_.2直线方程的五种基本形式名称方程适用范围点斜式不含直线xx0斜截式不含垂直于x轴的直线两点式不含直线xx1 (x1x2)和直线yy1(y1y2)截距式不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式平面直角坐标系内的直线都适用自我检测1若A(2,3)，B(3，2)，C三点共线，则m的值为_2直线l与两条直线xy70，y1分别交于P、Q两点，线段PQ的中点为(1，1)，则直线l的斜率为_3下列四个命题中，假命题是_(填序号)经过定点P(x0，y0)的直线不一定都可以用方程yy0k(xx0)表示；经过两个不同的点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)的直线都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)来表示；与两条坐标轴都相交的直线不一定可以用方程1表示；经过点Q(0，b)的直线都可以表示为ykxb.4如果AC0，且BC0，那么直线AxByC0不通过第_象限5已知直线l的方向向量与向量a(1,2)垂直，且直线l过点A(1,1)，则直线l的方程为_探究点一倾斜角与斜率例1已知两点A(1，5)、B(3，2)，直线l的倾斜角是直线AB倾斜角的一半，求l的斜率变式迁移1直线xsin y10的倾斜角的变化范围是_探究点二直线的方程例2过点M(0,1)作直线，使它被两直线l1：x3y100，l2：2xy80所截得的线段恰好被M所平分，求此直线方程变式迁移2求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)经过点A(1，3)，倾斜角等于直线y3x的倾斜角的2倍探究点三直线方程的应用例3过点P(2,1)的直线l交x轴、y轴正半轴于A、B两点，求使：(1)AOB面积最小时l的方程；(2)PAPB最小时l的方程变式迁移3为了绿化城市，拟在矩形区域ABCD内建一个矩形草坪(如图)，另外EFA内部有一文物保护区不能占用，经测量AB100 m，BC80 m，AE30 m，AF20 m，应如何设计才能使草坪面积最大？数形结合思想例(14分)已知实数x，y满足yx22x2(1x1)试求的最大值与最小值【答题模板】解由的几何意义可知，它表示经过定点P(2，3)与曲线段AB上任一点(x，y)的直线的斜率k，4分由图可知：kPAkkPB，由已知可得：A(1,1)，B(1,5)，k8，10分故的最大值为8，最小值为.14分【突破思维障碍】解决这类问题的关键是弄清楚所求代数式的几何意义，借助数形结合，将求最值问题转化为求斜率取值范围问题，简化了运算过程，收到事半功倍的效果1要正确理解倾斜角的定义，明确倾斜角的范围为0180，熟记斜率公式k，该公式与两点顺序无关已知两点坐标(x1x2)，根据该公式可以求出经过两点的直线斜率，而x1x2，y1y2时，直线斜率不存在，此时直线的倾斜角为90.2当直线没有斜率(x1x2)或斜率为0(y1y2)时，不能用两点式求直线方程，但都可以写成(x2x1)(yy1)(y2y1)(xx1)的形式直线方程的点斜式、斜截式、两点式、截距式都可以化成一般式，但是有些直线的一般式方程不能化成点斜式、斜截式、两点式或截距式3使用直线方程时，一定要注意限制条件以免解题过程中丢解，如点斜式的使用条件是直线必须有斜率，截距式的使用条件是截距存在且不为零，两点式的使用条件是直线不与坐标轴垂直(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1已知直线l经过A(2,1)、B(1，m2) (mR)两点，那么直线l的倾斜角的取值范围是_2若直线l：ykx与直线2x3y60的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角的取值范围是_3点P(x，y)在经过A(3,0)，B(1,1)两点的直线上，那么2x4y的最小值是_4(2011淮安期末)点A(ab，ab)在第一象限内，则直线bxayab0一定不经过第_象限5经过点P(2，1)，且在y轴上的截距等于它在x轴上的截距的2倍的直线l的方程为_6过两点A(m22，m23)，B(3mm2,2m)的直线l的倾斜角为45，则m_.7过点P(1,2)，且方向向量为a(1,2)的直线方程为_8设A、B是x轴上的两点，点P的横坐标为2，且PAPB，若直线PA的方程为xy10，则直线PB的方程是_二、解答题(共42分)9(14分)已知两点A(1,2)，B(m,3)，求：(1)直线AB的斜率k；(2)求直线AB的方程；(3)已知实数m，求直线AB的倾斜角的范围10(14分)已知线段PQ两端点的坐标分别为(1,1)、(2,2)，若直线l：xmym0与线段PQ有交点，求m的范围11(14分)已知直线l：kxy12k0 (kR)(1)证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；(3)若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，AOB的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程学案45直线与方程答案自主梳理1(1)逆时针最小正角0(2)00，0290，00，故直线l的斜率为.变式迁移1解析直线xsin y10的斜率是ksin ，又1sin 1，1k1.当0k1时，倾斜角的范围是，当1k2，b1)，由已知可得1.(1)2 1，ab8.SAOBab4.当且仅当，即a4，b2时，SAOB取最小值4，此时直线l的方程为1，即x2y40.(2)由1，得aba2b0，变形得(a2)(b1)2，PAPB.当且仅当a21，b12，即a3，b3时，PAPB取最小值4.此时直线l的方程为xy30.变式迁移3解如图所示建立直角坐标系，则E(30,0)，F(0,20)，线段EF的方程为1(0x30)在线段EF上取点P(m，n)，作PQBC于点Q，PRCD于点R，设矩形PQCR的面积为S，则SPQPR(100m)(80n)又1(0m30)，n20(1)S(100m)(8020m)(m5)2(0m30)当m5时，S有最大值，这时5.所以当矩形草坪的两边在BC、CD上，一个顶点在线段EF上，且这个顶点分EF成51时，草坪面积最大课后练习区1.2.3.44三解析由已知得即a0，b0.由bxayab0知yxb.该直线的斜率k0，故该直线一定不经过第三象限52xy30或x2y0解析当截距不等于零时，设l的方程1，点P在l上，1，则a.l的方程为2xy3.当截距等于零时，设l的方程为ykx，又点P在l上，k.x2y0.综上，所求直线l的方程为2xy3或x2y0.62解析由题意得：1，解得：m2或m1.又m223mm2，m1且m，m2.72xy0解析由已知方向向量得直线斜率k2，由点斜式方程得2xy0.8xy50解析易知A(1,0)，PAPB，P在AB的中垂线即x2上B(5,0)PA、PB关于直线x2对称，kPB1.lPBy0(x5)xy50.9解(1)当m1时，直线AB的斜率不存在；(1分)当m1时，k.(3分)(2)当m1时，AB的方程为x1，(5分)当m1时，AB的方程为y2(x1)，即y.(7分)直线AB的方程为x1或y.(8分)(3)当m1时，；(10分)当m1时，k(，.(13分)综合，知直线AB的倾斜角.(14分)10.解方法一直线xmym0恒过A(0，1)点(4分)kAP2，kAQ，(8分)则或2，m且m0.(12分)又m0时直线xmym0与线段PQ有交点，(13分)所求m的范围是m.(14分)方法二过P、Q两点的直线方程为y1(x1)(5分)即yx，代入xmym0，整理得：x，由已知12，(12分)解得：m.(14分)11(1)证明直线l的方程是：k(x2)(1y)0，令，解之得，无论k取何值，直线总经过定点(2,1)(4分)(2)解由方程知，当k0时直线在x轴上的截距为，在y轴上的截距为12k，要使直线不经过第四象限，则必须有，解之得k0；(7分)当k0时，直线为y1，符合题意，故k0.(9分)(3)解由l的方程，得A，B(0,12k)依题意得解得k0.(11分)SOAOB|12k|(224)4，“”成立的条件是k0且4k，即k，Smin4，此时l：x2y40.(14分)学案46直线与直线的位置关系导学目标： 1.能根据两条直线的斜率判定这两条直线平行或垂直.2.能用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.3.掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离自主梳理1两直线的位置关系平面上两条直线的位置关系包括平行、相交、重合三种情况(1)两直线平行对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2_.对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20(A2B2C20)，l1l2_.(2)两直线垂直对于直线l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2_.对于直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B2_.2两条直线的交点两条直线l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，如果两直线相交，则交点的坐标一定是这两个方程的_；反之，如果这两个二元一次方程只有一个公共解，那么以这个解为坐标的点必是l1和l2的_，因此，l1、l2是否有交点，就看l1、l2构成的方程组是否有_3有关距离(1)两点间的距离平面上两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)间的距离P1P2_.(2)点到直线的距离平面上一点P(x0，y0)到一条直线l：AxByC0的距离d_.(3)两平行线间的距离已知l1、l2是平行线，求l1、l2间距离的方法：求一条直线上一点到另一条直线的距离；设l1：AxByC10，l2：AxByC20，则l1与l2之间的距离d_.自我检测1(2010济宁模拟)若点P(a,3)到直线4x3y10的距离为4，且点P在不等式2xy32.综上可知，当a2，)时，直线(a2)y(3a1)x1不过第二象限(14分)学案47圆的方程导学目标： 1.掌握确定圆的几何要素.2.掌握圆的标准方程与一般方程.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想自主梳理1圆的定义在平面内，到_的距离等于_的点的_叫做圆2确定一个圆最基本的要素是_和_3圆的标准方程(xa)2(yb)2r2 (r0)，其中_为圆心，_为半径4圆的一般方程x2y2DxEyF0表示圆的充要条件是_，其中圆心为_，半径r_.5确定圆的方程的方法和步骤确定圆的方程主要方法是待定系数法，大致步骤为：(1)根据题意，选择标准方程或一般方程；(2)根据条件列出关于a，b，r或D、E、F的方程组；(3)解出a、b、r或D、E、F，代入标准方程或一般方程6点与圆的位置关系点和圆的位置关系有三种圆的标准方程(xa)2(yb)2r2，点M(x0，y0)，(1)点在圆上：(x0a)2(y0b)2_r2；(2)点在圆外：(x0a)2(y0b)2_r2；(3)点在圆内：(x0a)2(y0b)2_r2.自我检测1方程x2y24mx2y5m0表示圆时，m的取值范围为_2圆心在y轴上，半径为1，且过点(1,2)的圆的方程是_3点P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是_4已知点(0,0)在圆：x2y2axay2a2a10外，则a的取值范围是_5过圆x2y24外一点P(4,2)作圆的切线，切点为A、B，则APB的外接圆方程为_探究点一求圆的方程例1求经过点A(2，4)，且与直线l：x3y260相切于点B(8,6)的圆的方程变式迁移1根据下列条件，求圆的方程(1)与圆O：x2y24相外切于点P(1，)，且半径为4的圆的方程；(2)圆心在原点且圆周被直线3x4y150分成12两部分的圆的方程探究点二圆的几何性质的应用例2已知圆x2y2x6ym0和直线x2y30交于P，Q两点，且OPOQ (O为坐标原点)，求该圆的圆心坐标及半径变式迁移2如图，已知圆心坐标为(，1)的圆M与x轴及直线yx分别相切于A、B两点，另一圆N与圆M外切且与x轴及直线yx分别相切于C、D两点(1)求圆M和圆N的方程；(2)过点B作直线MN的平行线l，求直线l被圆N截得的弦的长度探究点三与圆有关的最值问题例3已知实数x、y满足方程x2y24x10.(1)求yx的最大值和最小值；(2)求x2y2的最大值和最小值变式迁移3如果实数x，y满足方程(x3)2(y3)26，求的最大值与最小值1求圆的标准方程就是求出圆心的坐标与圆的半径，借助弦心距、弦、半径之间的关系计算可大大简化计算的过程与难度2点与圆的位置关系有三种情形：点在圆内、点在圆上、点在圆外，其判断方法是看点到圆心的距离d与圆半径r的关系dr时，点在圆外3本节主要的数学思想方法有：数形结合思想、方程思想(满分：90分)一、填空题(每小题6分，共48分)1(2011重庆改编)在圆x2y22x6y0内，过点E(0,1)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为_2方程x2y2ax2ay2a2a10表示圆，则a的取值范围是_3圆x2y22x4y10关于直线2axby20 (a、bR)对称，则ab的取值范围是_4(2011苏州模拟)已知点P(2,1)在圆C：x2y2ax2yb0上，点P关于直线xy10的对称点也在圆C上，则实数a，b的值分别为_和_5已知两点A(2,0)，B(0,2)，点C是圆x2y22x0上任意一点，则ABC面积的最小值为_6(2010天津)已知圆C的圆心是直线xy10与x轴的交点，且圆C与直线xy30相切，则圆C的方程为_7圆心在直线2x3y10上的圆与x轴交于A(1,0)、B(3，0)两点，则圆的方程为_8设直线axy30与圆(x1)2(y2)24相交于A、B两点，且弦AB的长为2，则a_.二、解答题(共42分)9(14分)根据下列条件，求圆的方程：(1)经过A(6,5)、B(0,1)两点，并且圆心C在直线3x10y90上；(2)经过P(2,4)、Q(3，1)两点，并且在x轴上截得的弦长等于6.10(14分)(2011南京模拟)已知点(x，y)在圆(x2)2(y3)21上(1)求xy的最大值和最小值；(2)求的最大值和最小值；(3)求的最大值和最小值11(14分)如图是某圆拱桥的一孔圆拱的示意图，该圆拱跨度AB20米，拱高OP4米，每隔4米需用一支柱支撑，求支柱A2P2的高度(精确到0.01米)(28.72)学案47圆的方程答案自主梳理1定点定长集合2.圆心半径3.(a，b)r4D2E24F06(1)(2)(3)自我检测1m12.x2(y2)213.xy304(，1)(，)5(x2)2(y1)25课堂活动区例1解题导引(1)一可以利用圆的一般式方程，通过转化三个独立条件，得到有关三个待定字母的关系式求解；二可以利用圆的方程的标准形式，由条件确定圆心和半径(2)一般地，求圆的方程时，当条件中给出的是圆上若干点的坐标，较适合用一般式，通过解三元方程组求待定系数；当条件中给出的是圆心坐标或圆心在某直线上、圆的切线方程、圆的弦长等条件，适合用标准式解方法一设圆心为C，所求圆的方程为x2y2DxEyF0，则圆心C.kCB.由kCBkl1，1.又有(2)2(4)22D4EF0，又82628D6EF0.解，可得D11，E3，F30.所求圆的方程为x2y211x3y300.方法二设圆的圆心为C，则CBl，从而可得CB所在直线的方程为y63(x8)，即3xy180.由A(2，4)，B(8,6)，得AB的中点坐标为(3,1)又kAB1，AB的垂直平分线的方程为y1(x3)，即xy40.由联立后，解得即圆心坐标为.所求圆的半径r.所求圆的方程为22.变式迁移1解(1)设所求圆的圆心Q的坐标为(a，b)，圆Q的方程为(xa)2(yb)242，又OQ6，联立方程，解得a3，b3，所以所求圆的方程为(x3)2(y3)216.(2)如图，因为圆周被直线3x4y150分成12两部分，所以AOB120，而圆心(0,0)到直线3x4y150的距离d3，在AOB中，可求得OA6.所以所求圆的方程为x2y236.例2解题导引(1)在解决与圆有关的问题中，借助于圆的几何性质，往往会使得思路简捷明了，简化思路，简便运算(2)本题利用方程思想求m值，即“列出m的方程”求m值解方法一将x32y，代入方程x2y2x6ym0，得5y220y12m0.设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则y1、y2满足条件：y1y24，y1y2.OPOQ，x1x2y1y20.而x132y1，x232y2.x1x296(y1y2)4y1y2.96(y1y2)5y1y20，96450，m3，此时136340，圆心坐标为，半径r.方法二如图所示，设弦PQ中点为M，O1MPQ，kO1M2.又圆心坐标为，O1M的方程为y32，即y2x4.由方程组解得M的坐标为(1,2)则以PQ为直径的圆可设为(x1)2(y2)2r2.OPOQ，点O在以PQ为直径的圆上(01)2(02)2r2，即r25，MQ2r2.在RtO1MQ中，O1M2MQ2O1Q2.2(32)25.m3.半径为，圆心为.变式迁移2解(1)M的坐标为(，1)，M到x轴的距离为1，即圆M的半径为1，则圆M的方程为(x)2(y1)21.设圆N的半径为r，连结MA，NC，OM，则MAx轴，NCx轴，由题意知：M，N点都在COD的平分线上，O，M，N三点共线由RtOAMRtOCN可知，OMONMANC，即r3，则OC3，则圆N的方程为(x3)2(y3)29.(2)由对称性可知，所求的弦长等于过A点与MN平行的直线被圆N截得的弦的长度，此弦的方程是y(x)，即xy0，圆心N到该直线的距离d，则弦长为2.例3解题导引与圆有关的最值问题，常见的有以下几种类型：(1)形如形式的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；(2)形如taxby形式的最值问题，可转化为