科研训练能带理论.doc

能带理论（Energy band theory ）是讨论晶体（包括金属、绝缘体和半导体的晶体）中电子的状态及其运动的一种重要的近似理论。它认为晶体中的电子是在整个晶体内运动的共有化电子，并且共有化电子是在晶体周期性的势场中运动；结果得到：共有化电子的本征态波函数是Bloch函数形式，能量是由准连续能级构成的许多能带。它把晶体中每个电子的运动看成是独立的在一个等效势场中的运动，即是单电子近似的理论；对于晶体中的价电子而言，等效势场包括原子实的势场、其他价电子的平均势场和考虑电子波函数反对称而带来的交换作用，是一种晶体周期性的势场。一、国内外研究进展及研究意义能带理论是用量子力学的方法研究固体内部电子运动的理论。是于20世纪初期，在量子力学确立以后发展起来的一种近似理论。它曾经定性地阐明了晶体中电子运动的普遍特点，并进而说明了导体与绝缘体、半导体的区别所在，解释了晶体中电子的平均自由程问题。1.1 国内外研究现状和发展动态能带理论是目前研究电子运动的一个主要理论基础。在上世纪二十年代末和三十年代初量子力学运动规律确立以后，能带理论就是用量子力学研究金属电导理论的过程中开始发展起来的。1928年，F.Bloch利用量子理论研究固体的电子运动，提出了Bloch定理，奠定了现代量子固体物理的基础；1928年，Sommerfeld引入Fermi-Dirac统计，解释电子的热容量等；1931年，A.L.Wilson依据能带理论，成功的解释了金属、半导体和绝缘体的差别（定性研究）。20世纪六十年代，电子计算机得到广泛应用以后，使用电子计算机依据第一原理做复杂能带结构计算成为可能。能带理论由定性发展为一门定量的精确科学。1964年，W.Kohn等建立密度泛函理论，借助计算机，能够定量计算高分子、纳米材料、介观器件等（精确计算）。1990年，Drude建立金属自由电子气体模型，解释金属的电导、热导。1.2 研究能带理论的意义能带理论是凝聚态物理中最重要的部分，它的意义在于：（1）固体的导电性质，主要由能带的结构决定，而不是由电子的多少决定的；（2）能带是分析新材料、设计新器件的基础（能带工程）；（3）能带的概念被推广到固体中光、声的传播（1987年光子晶体、声子晶体）。1.3 主要参考文献 1 黄昆.物理，1991，20：3213312Zhang S L,Yang C L,Hou Y T et al.Phys.Rev.,1995,B52:147714803Jin K J,Pan S H,Yang G Z.Phys.Rev.,1994,B50:858485884Shen D Z,Fan X W,Fan G H et al.J.Lumin.,1991,48&49:299302二、研究内容及方案2.1 研究内容2.1.1能带相关概念 分析能带理论，必须了解能级，能带，禁带，价带，导带等相关概念：（1）电子共有化运动：原子组成晶体后，由于电子壳层的交叠，电子不再完全局限在某一个原子上，可以由一个原于转移到相邻的原子的相同电子轨道上去，因而，电子将可以在整个晶体中运动。这种运动称为电子的共有化运动。原子中的电子在原子核的势场和其它电子的作用下，分列在不同的能级上，形成所谓电子壳层就是不同支壳层的电子分别用1s;2s,2p;3s,3p,3d;4s等符号表示，每一壳层对应于确定的能量。当原子相互接近形成晶体时，不同原子的内外各电子壳层之间就有了一定程度的交叠，相邻原子最外壳层交叠最多，内壳层交叠较少。（2）能级（Enegy Level）：在孤立原子中，原子核外的电子按照一定的壳层排列，每一壳层容纳一定数量的电子。每个壳层上的电子具有分立的能量值，也就是电子按能级分布。为简明起见，在表示能量高低的图上，用一条条高低不同的水平线表示电子的能级，此图称为电子能级图。 （3）能带（Enegy Band）：晶体中大量的原子集合在一起，而且原子之间距离很近，以硅为例，每立方厘米的体积内有51022个原子，原子之间的最短距离为0.235nm。致使离原子核较远的壳层发生交叠，壳层交叠使电子不再局限于某个原子上，有可能转移到相邻原子的相似壳层上去，也可能从相邻原子运动到更远的原子壳层上去，这种现象称为电子的共有化。从而使本来处于同一能量状态电子产生微小的能量差异，与此相对应的能级扩展为能带。（4）禁带（Forbidden Band）：允许被电子占据的能带称为允许带，允许带之间的范围是不允许电子占据的，此范围称为禁带。原子壳层中的内层允许带总是被电子先占满，然后再占据能量更高的外面一层的允许带。被电子占满的允许带称为满带，每一个能级上都没有电子的能带称为空带。（5）价带（Valence Band）：原子中最外层的电子称为价电子，与价电带。（6）导带（Conduction Band）：价带以上能量最低的允许带称为导带。导带的底能级表示为Ec，价带的顶能级表示为Ev，Ec与Ev之间的能量间隔称为禁带Eg。（7）共有化状态数：每一个能带包含的能级数。与孤立原子的简并度有关。s能级分裂为N个能级（N个共有化状态）；p能级本身是三度简并，分裂为3N 能级（3N个共有化状态）。2.1.2研究能带理论的内容能带理论是一种近似理论。它主要研究的是研究固体中电子运动规律的，其中包括了能量本征值的计算，能带的形成过程，即E(k)k关系；电子有效质量和平均速度的计算；利用能带理论对导体、绝缘体半导体电导性进行解释。2.2 研究方案2.2.1研究能带理论的方法研究能带的理论方法有下列几种：（1）有效质量理论：它研究在价带顶或导带底附近能带的行为，配合回旋共振实验, 它可以确定半导体能带的有效质量参数。（2）经验紧束缚方法或原子轨道线性组合方法：它取原子外层价电子的s 轨道和p轨道作为基函数, 计算相邻原子轨道之间的相互作用或者取一定的假设值, 计算晶体的能带，这种方法比较直观, 但不够精确。（3）经验鹰势和自洽鹰势方法：对半导体来说, 大部分物理现象只与原子的价电子有关,原子的内层电子在组成晶体时变化较小，因此，赝势方法假定：（a）原子的内层电子和原子核组成的原子实的势是固定的。（b）原子的价电子主要分布在原子的外层, 受原子实势的影响较小，因此, 将在原子实区域发散的原子势（c）用一个平滑的赝势代替。赝势方法使计算量大大减小, 只需要计算价电子。自洽赝势方法在七十年代取得了很大的成功, 它能计算从金属半导体到绝缘体的许多元素和化合物的能带, 精度很高, 与实验也符合得很好。进一步它又能计算晶体的总能量, 从而得到晶体的弹性系数等基本物理量, 解释了许多物理现象。（4）第一原理计算方法：它将组成晶体的原子的所有电子都一起考虑在内, 又称为全电子的计算。由于是自洽计算, 所以计算量很大，大部分用作“ 定标”计算, 将它作为一种标准计算, 然后将其它为法与它作比较, 以确定其它方法的计算精度。这种方法基本都采用muffintin近似, 也就是在晶体中假设有许多原子球,球内势是球对称的, 主要是原子势；球外势是平缓的, 主要是晶体势整个势具有平移对称性。势和波函数都在球面上平滑地衔接。这种方法包括了线性增强平面波法（LAPW）等。2.2.2研究能带理论的方案能带理论是研究固体中电子运动规律的一种近似理论。固体由原子组成，原子又包括原子核和最外层电子，它们均处于不断的运动状态。为使问题简化，首先假定固体中的原子实固定不动，并按一定规律作周期性排列，然后进一步认为每个电子都是在固定的原子实周期势场及其他电子的平均势场中运动，这就把整个问题简化成单电子问题。能带理论就属这种单电子近似理论，它首先由F.布洛赫和L.-N.布里渊在解决金属的导电性问题时提出。具体的计算方法有自由电子近似法、紧束缚近似法、正交化平面波法和原胞法等。前两种方法以量子力学的微扰理论作为基础，只分别适用于原子实对电子的束缚很弱和很强的两种极端情形；后两种方法则适用于较一般的情形，应用较广。2.2.3能带计算的一般步骤：1.选取某个适当的具有Block函数形式的函数集（函数集的选取决定于所取的近似）将电子波函数在此集合中展开.2. 将电子波函数（展开后的）代入薛定谔方程得到一组各展开系数所满足的久期方程.3.由各系数不全为0的有解条件（久期方程的系数行列式为0），求出能量本征值.4.依据能量本征值，求出波函数展开系数.三、研究计划1、第一到第三周，通过上网，书籍等方式整理能带理论的发展过程及能带理论的相关概念；2、第四到第五周，根据相关概念，计算出能量本征值、电子有效质量和平均速度，并思考能带的形成成因及其对电子运动的影响；3、第六到第七周，和老师同学讨论并总结出能带的成因，能带对导体、绝缘体半导体电导性的影响；4、第八到第十一周，撰写论文；5、第十一周到十三周，整理手中相关材料，并通过老师指导对论文进行修改。四、预期研究结果1、得到能量本征值E(k)k关系，电子的平均速度，有效质量； 2、能带的成因和能带宽度对电子有效质量和速度的影响；3、能带对导体、绝缘体半导体电导性的影响：（1）金属晶体可以有不同的能带。金属中或由于其价电子能带是半满的，或价电子能带虽满，但与上面的一个空带部分重叠，等于形成了一个半满的导带。导带中的电子在外电场作用下，可在整个晶体范围内运动而形成电流。因此，金属是电、热的良导体。 （2）在半导体和绝缘体中，满带与导带之间还隔有一段空隙，被称为禁带或禁区。禁带的宽度随物质的不同而有区别。禁带较窄时，电子容易获得能量从满带越过禁带而跃入导带。如果禁带较宽，这种跃迁就很困难。半导体的禁带能量宽度小于4.810-19J(3eV)，而绝缘体的能带宽度通常大于8.010-19J(5eV) 绝缘体不能导电。因为它们的电子都在满带中，而禁带又太