北京四中高考数学总复习 等差、等比数列前n项和知识梳理.doc

等差、等比数列的前n项和【考纲要求】1熟练掌握等差数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；2熟练掌握等比数列的求和公式以及公式特点，并能熟练应用；3掌握数列的通项an与前n项和sn之间的关系式。【知识网络】等差、等比数列的前n项和等比数列的求和公式等差数列的求和公式【考点梳理】【高清课堂：数列的求和问题 388559 知识要点】知识点一：数列的前项和的相关公式1.等差数列的前项和公式：（为常数）当时，sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a10），sn=na1是关于n的正比例式.2.等比数列的前项和公式：当时，当时，3.任意数列的第项与前项和之间的关系式：【典型例题】类型一：等差数列的前n项和公式及其性质例1.等差数列的前30项之和为50，前50项之和为30，求。【思路分析】根据等差数列前n项公式，整体代入，或者应用公式。【解析】法一: 为等差数列， , (2)-(1)有， 即 。法二: 为等差数列， , 即 (2)-(1)有： 即, , 。法三:为等差数列， ，, , 也为等差数列， , , .【总结升华】法一、二均可用方程思想求出a、b、d来，然后求未知，运算量则相对很大，此时要注意整体思想的运用。举一反三：【变式】设等差数列的前项和为，若，则（ ）a63b45c36d27 【解析】法一：依据已知有：即解得，所以。法二：依据等差数列的性质有：连续三项和也成等差数列、成等差数列，所以，有，故选b 例2.已知两等差数列、的前n项和分别为、，且，试求。【思路分析】需要把所求的等差数列的项的比值的问题转化为前n项和的比值的问题。【解析】法一：， 。法二：由题设，令, ， ,又， ， .【总结升华】由于等差数列中，所以已知等差数列、的前n项和分别为和，则(1) ，(2) 。举一反三：【变式1】等差数列中，若, 则_.【解析】由，得.【变式2】已知两等差数列、的前项和分别为、，且，则= .【解析】.类型二：等差数列求和公式的应用【高清课堂：等差数列382420 典型例题三】例3设为数列的前n项和，且.求证：数列为等差数列【思路分析】判断一个数列是否等差数列，可以参考考点梳理中罗列的方法。证明：由得，所以整理得，又得相减并整理得: 所以数列是个等差数列举一反三：【变式1】设an是等差数列,证明以bn=(nn*)为通项公式的数列bn是等差数列.证法一:设等差数列an的公差是d(常数),当n2时，=-= = = = (常数)bn是等差数列.证法二:等差数列an的前n项和, bn= bn是等差数列.【总结升华】判断或证明数列是等差数列的方法有: (1)定义法:an+1-an=d(常数)(nn*)an是等差数列; (2)中项公式法:2an+1=an+an+2(nn*)an是等差数列; (3)通项公式法:an=kn+b(k、b是常数)(nn*)an是等差数列; (4)前n项和公式法:sn=an2+bn(a、b是常数)(nn*)an是等差数列.【变式2】已知数列an，ann*，sn =，求证：an是等差数列；【答案】an+1 = sn+1sn,8an+1 =,，ann*，即，数列an是等差数列.例4等差数列的前n项和为 ,若,.（1）求公差d的取值范围；（2）n为何值时，sn最大，并说明理由。【解析】（1）由又由得代入不等式组， 解出（2）方法一：由（1）知：且 数列是递减数列，由得 即，中最后一个正数项是，开始为负数项当n=6时，最大.方法二：由（1）知：且 数列是递减数列，若要最大，需确定数列中最后一个非负数项是第几项.由 即, 由 ， , 即, , 中最后一个正数项是，开始为负数项 当n=6时，最大.方法三： d0, 当最小时有最大值，当时，当n=6时最小，即最大，方法四：是等差数列，故设，如图所示,，抛物线与x轴的另一个交点在n=12与n=13之间。对称轴l的位置在6与6.5之间，易知n=6对应的a点与对称轴的距离比n=7对应的点b与对称轴的距离要近，故a为最高点，最大。举一反三：【变式】在等差数列中，求当为何值时，最小。【解析】法一：，均为负数，而以及以后各项都为正数，当或时，有最小值为。法二：设数列的公差为，则由，得，即，当或时，有最小值为。类型三、等比数列的前n项和公式及其性质【高清课堂：数列的概念388518 典型例题二】例5.设为等比数列的前n项和，已知,则公比q()a3 b4 c5 d6答案：b解析：，两式相减：所以举一反三【变式】等比数列中，若,求.解析：是等比数列， 类型四：等比数列求和公式的应用例6已知数列an的前n项和sn满足：log5(sn+1)=n(nn+),求出数列an的通项公式，并判断an是何种数列？【思路分析】判断一个数列是什么类型的数列，应该从等差、等比数列的概念出发。解析：log5(sn+1)=n,sn+1=5n,sn=5n-1 (nn+), a1=s1=51-1=4,当n2时，an=sn-sn-1=(5n-1)-(5n-1-1)=5n-5n-1=5n-1(5-1)=45n-1而n=1时，45n-1=451-1=4=a1, nn+时，an=45n-1由上述通项公式，可知an为首项为4，公比为5的等比数列.举一反三：【变式1】已知数列cn，其中cn=2n+3n，且数列cn+1-pcn为等比数列，求常数p。解析：p=2或p=3；cn+1-pcn是等比数列，对任意nn且n2，有(cn+1-pcn)2=(cn+2-pcn+1)(cn-pcn-1)cn=2n+3n,(2n+1+3n+1)-p(2n+3n)2=(2n+2+3n+2)-p(2n+1+3n+1)(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)即(2-p)2n+(3-p)3n2=(2-p)2n+1+(3-p)3n+1(2-p)2n-1+(3-p)3n-1整理得：,解得：p=2或p=3,显然cn+1-pcn0，