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文档简介

不等式的解法【考纲要求】1.通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系,2.会解一元二次不等式,对给定的一元二次不等式,会设计求解的程序框图,3.掌握一次不等式、分式不等式、高次、指对不等式等的解法,4.培养数形结合的能力,培养分类讨论的思想方法,培养抽象概括能力和逻辑思维能力。【知识网络】不等式的解法一次、分式、高次、指对等不等式函数不等式解法一元二次不等式解法【考点梳理】要点一、一元二次不等式的解法一元二次不等式ax2+bx+c0 (或0的解,图象在x轴下方部分对应的x值为不等式ax2+bx+c0(其中x1, x2, ,xn是互不相等的实常数)叫做一元n次不等式(nn).要点诠释:作出相应函数的图象草图.具体步骤如下:(a)明确标出曲线与x轴的交点,(b)分析在每一个开区间上函数的那段曲线是在x轴的上方还是下方(除此之外,对草图不必做更细致的要求).然后根据图象草图,写出满足不等式的解集.要点三、无理不等式的解法无理不等式:如果函数f(x)是关于x的无理式,那么f(x)0或f(x) (2)g(x) 或 或 (3) 0,a1).当0a1时,f(x)1时,f(x)g(x). (2)m(ax)2+n(ax)+k0.令ax=t(t0),转化为mt2+nt+k0,先求t的取值范围,再确定x的集合. (3)logaf(x)logag(x) (a0, a1). 当0a1时, (4) . 令logaf(x)=t(tr),转化为mt2+nt+k0,先求t的取值范围,再确定x的集合.【典型例题】类型一:一元二次不等式例1. 不等式的解集为,求关于的不等式的解集。【解析】由题意可知方程的两根为和由韦达定理有,化为,即,解得,故不等式的解集为.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点,也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根,我们可以利用韦达定理,找到不等式的解集与其系数之间的关系,这一点是解此类题的关键。举一反三:【变式1】已知的解为,试求、,并解不等式.【解析】由韦达定理有:,,.代入不等式得,即,解得,故不等式的解集为:.【变式2】已知关于的不等式的解集为,求关于的不等式的解集.【解析】由韦达定理有:,解得, 代入不等式得,即,解得或.的解集为:.例2已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+30对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围。【解析】(1)当m2+4m-5=0时,m=1或m=-5若m=1,则不等式化为30, 对一切实数x成立,符合题意。若m=-5,则不等式为24x+30,不满足对一切实数x均成立,所以m=-5舍去。(2)当m2+4m-50即 m1且m-5时,由此一元二次不等式的解集为r知,抛物线y=(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3开口向上,且与x轴无交点,所以, 即, 1m19。 综上所述,实数m的取值范围是m|1m0;(2)(x2-5x-6)(1-x)0.【解析】(1)做出函数y=(x-2)(x+2)(x-1)(x+1)的图象的草图(图1). 所以不等式的解集为(-,-2)(-1,1)(2,+). (2)先把原不等式化成与它等价的:(x+1)(x-6)(x-1)0.【解析】此例中y=(x+2)(x+1)2(x-1)3(x-3)出现了重因式,当x值从大于-1变化到小于-1时(不含-1),y值符号没有发生变化,而x值从大于1到小于1时(不含1),y值符号发生了变化,如图3, 故解集为(-2,-1)(-1,1)(3,+).【总结升华】本题可以先对不等式化简再解。原不等式等价于类型三:无理不等式例4解不等式x-2.解法一: 即 ,所以x5.所以原不等式的解集为5,+).解法二:设=t (t0). 则x=.所以原不等式化为t-2, 所以t2-2t-30, 即t-1或t3.因为 t0, 所以 t3, 所以 x5.解法3:令y1=, y2=x-2, 从而原不等式的解集就是使函数y1y2的x的取值范围.在同一坐标系中分别作出两个函数的图象(图4).设它们交点的横坐标是x0, 则=x0-20.解之,得x0=5或x0=1(舍).所以原不等式解集为5,+).【总结升华】解法1是通法,要求必须熟练掌握,解法2是换元法,由于不等式两边次数恰是倍数关系,故换元后变为二次不等式,但最终还要解x的方程.解法3是数形结合法,用图象解题,一般比较简捷、形象、直观,但要注意作图的正确和表达的清晰和完整.举一反三:【变式】解不等式【解析】或 x1或x=1或x=-2. 所以原不等式的解集是1,+-2.类型四:指对不等式例5解不等式 .【解析】,所以 x2-2x-33-3x,所以 x2+x-60, 所以 -3x0), 则t2-12t-640. 所以 -4t16, 因为t0.所以 0t16, 故02x16, 从而x4. 所以原不等式的解集是(-,4.例6解不等式【解析】原不等式可化为: 所以 所以 所以 1x5. 所以原不

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