高考数学 立体几何专题.doc

专题三 立体几何专题【命题趋向】高考对空间想象能力的考查集中体现在立体几何试题上，着重考查空间点、线、面的位置关系的判断及空间角等几何量的计算既有以选择题、填空题形式出现的试题，也有以解答题形式出现的试题选择题、填空题大多考查概念辨析、位置关系探究、空间几何量的简单计算求解，考查画图、识图、用图的能力；解答题一般以简单几何体为载体，考查直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系，以及空间几何量的求解问题，综合考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力试题在突出对空间想象能力考查的同时，关注对平行、垂直关系的探究，关注对条件或结论不完备情形下的开放性问题的探究【考点透析】立体几何主要考点是柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征、三视图、直观图，表面积体积的计算，空间点、直线、平面的位置关系判断与证明，空间向量在平行、垂直关系证明中的应用，空间向量在计算空间角中的应用等【例题解析】题型1 空间几何体的三视图以及面积和体积计算例1 某几何体的一条棱长为，在该几何体的正视图中，这条棱的投影是长为的线段，在该几何体的侧视图与俯视图中，这条棱的投影分别是长为和的线段，则的最大值为a b c 4d 分析：想像投影方式，将问题归结到一个具体的空间几何体中解决解析：结合长方体的对角线在三个面的投影来理解计算，如图设长方体的高宽高分别为，由题意得，所以，当且仅当时取等号点评：本题是高考中考查三视图的试题中难度最大的一个，我们通过移动三个试图把问题归结为长方体的一条体对角线在三个面上的射影，使问题获得了圆满的解决例2下图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是ab cd分析：想像、还原这个空间几何体的构成，利用有关的计算公式解答解析：这个空间几何体是由球和圆柱组成的，圆柱的底面半径是，母线长是，球的半径是，故其表面积是，答案d点评：由三视图还原空间几何体的真实形状时要注意“高平齐、宽相等、长对正”的规则例3 已知一个正三棱锥的主视图如图所示，若， ，则此正三棱锥的全面积为_ 分析：正三棱锥是顶点在底面上的射影是底面正三角形的中心的三棱锥，根据这个主试图知道，主试图的投影方向是面对着这个正三棱锥的一条侧棱，并且和底面三角形的一条边垂直，这样就知道了这个三棱锥的各个棱长解析：这个正三棱锥的底面边长是、高是，故底面正三角形的中心到一个顶点的距离是，故这个正三棱锥的侧棱长是，由此知道这个正三棱锥的侧面也是边长为的正三角形，故其全面积是，答案学点评：由空间几何体的一个视图再加上其他条件下给出的问题，对给出的这“一个视图”要仔细辨别投影方向，这是三视图问题的核心题型2 空间点、线、面位置关系的判断例4 已知是两条不同的直线，为两个不同的平面，有下列四个命题：若，则；若，则；若，则；若，则其中正确的命题是（填上所有正确命题的序号）_分析：根据空间线面位置关系的判定定理和性质定理逐个作出判断解析：我们借助于长方体模型解决中过直线作平面，可以得到平面所成的二面角为直二面角，如图（1），故正确；的反例如图（2）；的反例如图（3）；中由可得，过作平面可得与交线平行，由于，故答案点评：新课标的教材对立体几何处理的基本出发点之一就是使用长方体模型，本题就是通过这个模型中提供的空间线面位置关系解决的，在解答立体几何的选择题、填空题时合理地使用这个模型是很有帮助的例5 设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题正确的是a若，则 b若则c若，则 d若则分析：借助模型、根据线面位置关系的有关定理逐个进行分析判断解析：对于，结合则可推得答案c点评：从上面几个例子可以看出，这类空间线面位置关系的判断类试题虽然形式上各异，但本质上都是以空间想象、空间线面位置关系的判定和性质定理为目标设计的，主要是考查考生的空间想象能力和对线面位置关系的判定和性质定理掌握的程度题型3 空间平行与垂直关系的证明、空间几何体的有关计算（文科解答题的主要题型）例6 如图所示，在棱长为的正方体中，、分别为、的中点（1）求证：/平面；（2）求证：；（3）求三棱锥的体积分析：第一问就是找平行线，最明显的就是；第二问转化为线面垂直进行证明；第三问采用三棱锥的等积变换解决解析：（1）连结，如图，在中，、分别为，的中点，则平面（2）（3）平面，且， 即，=点评：空间线面位置关系证明的基本思想是转化，根据线面平行、垂直关系的判定和性质，进行相互之间的转化，如本题第二问是证明线线垂直，但问题不能只局限在线上，要把相关的线归结到某个平面上（或是把与这些线平行的直线归结到某个平面上，通过证明线面的垂直达到证明线线垂直的目的，但证明线面垂直又得借助于线线垂直，在不断的相互转化中达到最终目的立体几何中的三棱柱类似于平面几何中的三角形，可以通过“换顶点”实行等体积变换，这也是求点面距离的基本方法之一例7在四棱锥中，平面，为的中点，（1）求四棱锥的体积；（2）若为的中点，求证平面；（3）求证平面分析：第一问只要求出底面积和高即可；第二问的线面垂直通过线线垂直进行证明；第三问的线面平行即可以通过证明线线平行、利用线面平行的判定定理解决，也可以通过证明面面平行解决，即通过证明直线所在的一个平面和平面的平行解决解析：（1）在中，在中，则 （2），为的中点， 平面，平面， 为中点，为中点，则，平面（3）证法一：取中点，连则， 平面， 平面，平面 在中，而， 平面， 平面，平面 ，平面平面平面，平面 证法二：延长，设它们交于点，连，为的中点 为中点， 平面， 平面，平面 点评：新课标高考对立体几何与大纲的高考有了诸多的变化一个方面增加了空间几何体的三视图、表面积和体积计算，拓展了命题空间；另一方面删除了三垂线定理、删除了凸多面体的概念、正多面体的概念与性质、球的性质与球面距离，删除了空间向量，这就给立体几何的试题加了诸多的枷锁，由于这个原因课标高考文科的立体几何解答题一般就是空间几何体的体积和表面积的计算、空间线面位置关系的证明（主要是平行与垂直）题型4 空间向量在立体几何中的应用例8如图，在棱长为的正方体中，分别为和的中点（1）求证：平面；（2）求异面直线与所成的角的余弦值；（3）在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为?若存在，求出的长；若不存在，请说明理由【解析】解法一：如图分别以所在的直线为 轴、轴、轴建立空间直角坐标系，由已知得、 （1）取中点，则，又，由，与共线从而，平面， 平面，平面 （2），异面直线与所成角的余弦值为（3）假设满足条件的点存在，可设点（），平面的一个法向量为， 则 ，取易知平面的一个法向量，依题意知， 或，即，解得，在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为解法二：（1）同解法一知 ， ，、共面又平面，平面 （2）、（3）同解法一解法三：易知平面的一个法向量是又，由，而平面，平面（2）、（3）同解法一点评：本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系、二面角的概念等基础知识；考查空间想像能力、推理论证能力和探索问题、解决问题的能力利用空间向量证明线面平行的方法基本上就是本题给出的三种，一是证明直线的方向向量和平面内的一条直线的方向向量共线，二是证明直线的方向向量和平面内的两个不共线的向量共面、根据共面向量定理作出结论；三是证明直线的方向向量与平面的一个法向量垂直例9 已知几何体的三视图如图所示，其中俯视图和侧视图都是腰长为的等腰直角三角形，正视图为直角梯形（1）求异面直线与所成角的余弦值；（2）求二面角的正弦值； （3）求此几何体的体积的大小【解析】（1）取的中点是，连结，则，或其补角即为异面直线与所成的角在中，异面直线与所成的角的余弦值为（2）平面，过作交于，连结可得平面，从而,为二面角的平面角在中， ,二面角的的正弦值为（3），几何体的体积为方法二：（坐标法）（1）以为原点，以所在直线为轴建立空间直角坐标系则， ，异面直线与所成的角的余弦值为 （2）平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为， 从而,令，则, 二面角的的正弦值为 （3），几何体的体积为 点评：本题考查异面直线所成角的求法、考查二面角的求法和多面体体积的求法空间向量对解决三类角（异面直线角、线面角、面面角）的计算有一定的优势对理科考生来说除了要在空间向量解决立体几何问题上达到非常熟练的程度外，不要忽视了传统的方法，有些试题开始部分的证明就没有办法使用空间向量题型5 距离（点到平面，线与线、线与面、面与面）求点到平面的距离就是求点到平面的垂线段的长度，其关键在于确定点在平面内的垂足，当然别忘了转化法与等体积法的应用.典型例题例10如图，正三棱柱的所有棱长都为，为中点abcd（）求证：平面；（）求二面角的三角函数值；（）求点到平面的距离考查目的：本小题主要考查直线与平面的位置关系，二面角的大小，点到平面的距离等知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力 解答过程：解法一：（）取中点，连结abcdof为正三角形，正三棱柱中，平面平面，平面连结，在正方形中，分别为的中点， ， 在正方形中， 平面（）设与交于点，在平面中，作于，连结，由（）得平面， 为二面角的平面角在中，由等面积法可求得，又， 所以二面角的正弦值为（）中，在正三棱柱中，到平面的距离为设点到平面的距离为由，得，点到平面的距离为解法二：（）取中点，连结为正三角形，在正三棱柱中，平面平面，平面xzabcdofy取中点，以为原点，的方向为轴的正方向建立空间直角坐标系，则，平面（）设平面的法向量为， ，令得为平面的一个法向量由（）知平面，为平面的法向量，二面角的大小为（）由（），为平面法向量，点到平面的距离小结：本例中（）采用了两种方法求点到平面的距离.解法二采用了平面向量的计算方法，把不易直接求的b点到平面的距离转化为容易求的点k到平面的距离的计算方法，这是数学解题中常用的方法；解法一采用了等体积法，这种方法可以避免复杂的几何作图，显得更简单些，因此可优先考虑使用这一种方法.例2. 如图,已知两个正四棱锥p-abcd与q-abcd的高分别为1和2,ab=4.()证明pq平面abcd；()求点p到平面qad的距离.命题目的：本题主要考查直线与平面的位置关系及点到平面的距离基本知识，考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力.qbcpadom过程指引：方法一关键是用恰当的方法找到所求的空间距离和角；方法二关键是掌握利用空间向量求空间距离和角的一般方法.解答过程：方法一（）取ad的中点，连结pm，qm.因为pabcd与qabcd都是正四棱锥，所以adpm，adqm. 从而ad平面pqm.又平面pqm，所以pqad.同理pqab，所以pq平面abcd. (ii)连结om，则所以mqp45.qbcpadzyxo由（）知ad平面pmq，所以平面pmq平面qad. 过p作phqm于h，ph平面qad.从而ph的长是点p到平面qad的距离.又.即点p到平面qad的距离是.方法二（）连结ac、bd，设.由pabcd与qabcd都是正四棱锥，所以po平面abcd，qo平面abcd.从而p、o、q三点在一条直线上，所以pq平面abcd.（）点d的坐标是（0，0），设是平面qad的一个法向量，由得.取x=1，得.所以点p到平面qad的距离.题型6 割补法：割补法主要是针对平面图形或空间图形所采用的一种几何变换，其主要思想是把不规则问题转化为规则问题，这个方法常常用来求不规则平面图形的面积或不规则空间几何体的体积例61若三棱锥的三条侧棱两两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 分析：将其补成一个正方体解析：这样的三棱锥实际上是正方体被一个平面所截下来的，我们考虑在原来的正方体中解决这个问题设原来的正方体的棱长为，则本题中的三棱锥和原来的正方体具有同一个外接球，这个球的直径就是正方体的体对角线，长度为，即球的半径是，故这个球的表面积是点评：三条侧棱两两垂直的三棱锥习惯上称为“直角三棱锥”，它就隐含在正方体之中，在解题中把它看作正方体的一个部分，在整个正方体中考虑问题，往往能化难为易，起到意想不到的作用例62如图，已知多面体中，两两互相垂直，平面平面，平面平面，则该多面体的体积为分析：这个几何体即可以看作两个三棱柱拼合而成的，也可以看作是从一个正方体割下来的解析一（割）：如图，过点作于，连结，这样就把多面体分割成一个直三棱柱和一个斜三棱柱于是所求几何体的体积为解析二（补）：如图，将多面体补成棱长为2的正方体，那么显然所求的多面体的体积即为该正方体体积的一半于是所求几何体的体积为点评：割补法是我们解决不规则空间几何体体积的最主要的技巧，其基本思想是利用割补将其转化为规则空间几何体加以解决【专题训练与高考预测】一、选择题1如图为一个几何体的三视图，尺寸如图所示，则该几何体的表面积为（不考虑接触点）（ ）a b c d 2某几何体的三视图如图所示，根据图中数据，可得该几何体的体积是（ ）a b cd 3已知一个几何体的主视图及左视图均是边长为的正三角形，俯视图是直径为的圆，则此几何体的外接球的表面积为（ ）ab c d4一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底长均为的等腰梯形，则这个平面图形的面积是 （ ）a b c d5 一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个容器盛水，则最多可盛原来水的（ ）a b c d6 点在直径为的球面上，过作两两垂直的三条弦，若其中一条弦长是另一条弦长的倍，则这三条弦长之和为最大值是 （ ）a b c d 7正方体中，的中点为，的中点为，异面直线 与 所成的角是（ ）a b c d8已知异面直线和所成的角为，为空间一定点，则过点且与所成角都是 的直线有且仅有（ ） a 1条 b 2条 c 3条 d 4条9如图所示，四边形中，将沿折起，使平面平面，构成三棱锥，则在三棱锥中，下列命题正确的是（ ）a平面平面 b平面平面 c平面平面 d平面平面10设、是空间不同的直线或平面，对下列四种情形： 、均为直线； 、是直线，是平面； 是直线，、是平面； 、均为平面其中使“且”为真命题的是 （ ）a b c d 11已知三条不重合的直线、两个不重合的平面、，有下列命题若，则；若，且，则； 若，则； 若，则中正确的命题个数是（ ）ab cd12直线与直二面角的两个面分别交于两点，且都不在棱上，设直线与平面所成的角分别为，则的取值范围是 （ ）a b c d二、填空题13 在三棱锥中，一只蚂蚁从点出发沿三棱锥的侧面绕一周，再回到点，则蚂蚁经过的最短路程是 14四面体的一条棱长为，其它各棱长为，若把四面体的体积表示成的函数，则的增区间为 ，减区间为 15 如图，是正方体平面展开图，在这个正方体中： 与平行； 与是异面直线； 与成角； 与垂直 以上四个说法中，正确说法的序号依次是 16 已知棱长为的正方体中，是的中点，则直线与平面所成的角的正弦值是 三、解答题17已知，如图是一个空间几何体的三视图 （1）该空间几何体是如何构成的； （2）画出该几何体的直观图； （3）求该几何体的表面积和体积18如图，已知等腰直角三角形，其中，点分别是,的中点，现将沿着边折起到位置，使，连结、 （1）求证：； （2）求二面角的平面角的余弦值19如下图，在正四棱柱中，点分别为的中点，过点三点的平面交于点 （1）求证：平面； （2）求二面角的正切值； （3）设截面把该正四棱柱截成的两个几何体的体积分别为（），求的值20 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，垂直于底面，分别为的中点 （1）求证：；（2）求与平面所成的角；（3）求截面的面积21如图，正方形所在的平面与平面垂直，是和的交点，且 （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的大小； （3）求二面角的大小 22已知斜三棱柱，在底面上的射影恰为的中点，又知 （1）求证：平面； （2）求到平面的距离； （3）求二面角的一个三角函数值【参考答案】1解析：c 该几何体是正三棱柱上叠放一个球故其表面积为2解析：b 这个空间几何体的是一个底面边长为的正方形、高为的四棱柱，上半部分是一个底面边长为的正方形、高为的四棱锥，故其体积为3解析：c 由三视图知该几何体是底面半径为，高为的圆锥，其外接球的直径为4解析：d 如图设直观图为，建立如图所示的坐标系，按照斜二测画法的规则，在原来的平面图形中，且，故其面积为5解析：d 当平面处于水平位置时，容器盛水最多最多可盛原来水得6解析：a 设三边长为，则，令7解析：b 如图，取的中点，连结，在正方形中易证8解析：b 过点作，若，则取为，若，则取为这时，相交于点，它们的两组对顶角分别为和 记，所确定的平面为，那么在平面内，不存在与，都成的直线 过点与，都成角的直线必在平面外，这直线在平面的射影是，所成对顶角的平分线其中射影是对顶角平分线的直线有两条和，射影是对顶角平分线的直线不存在故答案选b9解析：d 如图，在平面图形中，折起后仍然这样，由于平面平面，故平面，又，故平面，所以平面平面10解析：c 、均为直线，显然不行；由于垂直于同一个平面的两条直线平行，故，可以使“且”为真命题；又由于垂直于同一条直线的两个平面平行，故可以使“且”为真命题；当、均为平面时，也不能使“且”为真命题11解析：b 中有的可能；且，可得，又，故，正确；中当时，结论不成立；就是面面垂直的性质定理，正确故两个正确的12解析：b 如图，在中，而，即，故，即，而当时，13解析： 将如图三棱锥，沿棱展开得图，蚂蚁经过的最短路程应是，又，=14解析： ， ，利用不等式或导数即可判断15解析： 如图，逐个判断即可16解析： 取的中点，连接交平面于，连由已知正方体，易知平面，所以为所求在中，所以直线与平面所成的角的正弦值为17解析：（1）这个空间几何体的下半部分是一个底面边长为的正方形高为的长方体，上半部分是一个底面边长为的正方形高为的四棱锥 （2）按照斜二测的规则得到其直观图，如图 （3）由题意可知，该几何体是由长方体与正四棱锥构成的简单几何体由图易得：，取中点，连接，从而，所以该几何体表面积体积18解析：（1）点、分别是、的中点， , , ,平面 平面, （2）取的中点，连结、 , ,平面平面, 平面平面,是二面角的平面角 在中, ，在中, ， 二面角的平面角的余弦值是 19解析：（1）设的中点为，连结为的中点，又，四边形为平行四边形平面，平面，平面（2）作于，连结，平面，为二面角的平面角平面，平面，平面平面 ，又，又，四边形是平行四边形设，则，在中，sina1nd1=在中，在中， （3）延长与交于，则平面，且平面又平面平面 ，即直线交于一点