高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 第25课 利用导数研究函数的极值或最值（1）文（含解析） (2).doc

第25课 利用导数研究函数的极值或最值（1）1函数的极值（1）判断函数极值的方法如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值（2）若在处取得极值，则 ；反之，若，则不一定取得极值。例如：若，则，而 却不是的极值（想一想？）（3）求可导函数极值的步骤: 求的定义域 求导数求导数的根列表，判断在方程的根的左右值的符号，确定在这个根处是取极大值还是取极小值【例1】已知函数 (为自然对数的底数)（1）若曲线 在点 处的切线平行于轴，求的值；（2）求函数的极值【解析】（1）由，得.又曲线在点处的切线平行于轴，得 ，即，解得 .（2），当 时， ，为上的增函数，所以函数无极值当时，令，得 ，. ，； ，所以在上单调递减，在上单调递增，故在 处取得极小值，且极小值为，无极大值综上所述：当时，函数无极值；当时，在 处取得极小值，无极大值【变式】（2013全国高考）已知函数，曲线在点处的切线方程为.（1）求的值；（2）讨论的单调性，并求的极大值.【解析】（1）， ，.（2）由（1）知，令，解得或.当时，；当时，；在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增.时，函数取得极大值，极大值为.2函数的最值：求函数在上的最大值与最小值的步骤：求出在内的极值再将的各极值与、比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值【例2】已知函数，曲线在点处的切线为 ，若时，有极值（1）求， 的值；（2）求)在上的最大值和最小值【解】（1）由，得.当时，切线的斜率为3，可得 当时，则 ，可得 由，解得，.由于切点的横坐标为1，所以 .所以 .所以 .（2）由（1），可得，.令 ，解之，得 ，.当变化时，的取值及变化情况如下表所示：x(3，2)2(2，)(，1)f(x)00f(x)13所以在上的极大值为，极小值为又 ， 所以在上的最大值为，最小值为 【变式】（2012汕头质检）已知函数（1）求的最小值；（2）若对所有都有，求实数的取值范围【解析】（1）的定义域为， 令，解得；令，解得在单调递减，在单调递增 当时，取得最小值（2）对所有都有，对于恒成立，对于恒成立 令，则 而所以 当时，是上的增函数， 的最小值是， 即的取值范围是第25课 利用导数研究函数的极值或最值的课后作业（1）1函数的定义域为开区间，导函数在内的图象如图，则函数在开区间内有极值点的个数是（ ）a个 b个 c个 d个【答案】c2函数在处取到极值，则的值为（ ）a b c d【答案】b【解析】，由，得3设函数，则（ ）a为的极大值点 b为的极小值点c为的极大值点 d为的极小值点【答案】d【解析】，令，则，当时，当时，为的极小值点，故选d4函数的最小值是（ ）a b c d不存在【答案】c【解析】，；，函数在处取得极小值， 函数的最小值为5. (2013高考课标全国卷)已知函数，曲线在点处的切线方程为 .（1）求与 的值；（2）讨论的单调性，并求的极值【解析】（1） .由已知得，故，.从而 ，（2）由（1）知，令，得或 .当时， ；当 时， .当变化时，的取值及变化情况如下表所示：x2f(x)00f(x) 故在，上单调递增，在(2，ln 2)上单调递减.当时，函数取得极大值，极大值为 当时，函数取得极小值，极小值为 6. 已知函数(其中常数),是奇函数.（）求的表达式;（）讨论的单调性，并求在区间1,2上的最大值和最小值.解：（1）由题意得，又因为是奇函数所以，即对任意的实数有 从而有即， 因此的解析式为 （2）由（1）得，所以 ，令解得当或时，即在区间上是减函数； 当，即在区间上是增函数由前面讨论知，在区间上的最大值与最小值只能在处取得，而， ，因此在区间上的最大值为 ，最小值为 7. 一动圆圆内