高考数学一轮复习 第六章 三角函数 第38课 正弦定理、余弦定理学案 文.doc

1 第第 3838 课课 正弦定理 余弦定理正弦定理 余弦定理 1 1 正弦定理 正弦定理 为为外接圆的半径 外接圆的半径 sin a a sin b bsin c c 2r rabc 1 正弦定理的变形 正弦定理的变形 a 2 sinrab 2sinrbc 2sinrc sin a 2 a r sin b 2 b r sinc 2 c r a b c sin sin sinabc 例 1 2013 陕西高考 在中 角 的对边分别为 若abc abcabc 则的形状为 coscossinbccbaa abc a 直角三角形 b 锐角三角形 c 钝角三角形 d 不确定 答案答案 a a 解析 coscossinbccbaa 2 sincossincossinbccba 2 sin sinbca 2 sinsinaa 0a sin0a sin1a 2 a 2 已知已知和和解三角形时 解的情况如下解三角形时 解的情况如下 a ba 为锐角为锐角a为钝角或直角为钝角或直角a 图形图形 关系关系 式式 sinaba sinaba sinbaab ab ab ab 解的解的 个数个数 无解无解一解一解两解两解一解一解一解一解无解无解 例 2 1 在中 求角 和边 abc 3 245abb acc 2 在中 求边和 abc 8 6075abc bc 解析 1 由正弦定理得 sinsin ab ab 3 sin 2 a 或 abab 60a 120a 当时 60a 180456075c sin62 sin2 bc c b 2 当时 120a 1804512015c sin62 sin2 bc c b 综上 或 60a 75c 62 2 c 120a 15c 62 2 c 2 6075bc 45a 由正弦定理 得 sinsinsin abc abc sin 4 6 sin ab b a sin 4 34 sin ac c a 4 6b 4 34c 2 2 余弦定理 余弦定理 2 a 22 2cosbcbca 2 b 22 2cosacacb 2 c 22 2cosababc 余弦定理的变形 余弦定理的变形 cos a 222 2 bca bc cosb 222 2 acb ac cosc 222 2 abc ab 例 3 20132013 福建高考 如图福建高考 如图abc 中中 已知点已知点在在边上边上 dbcadac 则 则 2 2 sin 3 bac 3 2ab 3ad bd 答案答案 3 解析 adac 90badbacdacbac 2 2 coscos 90 sin 3 badbacbac 222 2cosbdabadab adbad 22 2 2 3 2 32 3 233 3 3bd 例 4 2013 东城一模 在中 角 的对边分别为 且abc abcabc sin3 cosbaab 1 求角 2 若 求的最大值 b2 3b ac 解析 1 由正弦定理可得 sin3 cosbaab sinsin3sincosbaab b a d c 3 在中 又 abc sin0a tan3b 0b 3 b 2 由余弦定理 222 2cosbacacb 3 b 2 3b 22 12acac 22 122acacac 12ac 当且仅当时 取得最大值 2 3ac ac12 3 3 三角形中常用角的变换 三角形中常用角的变换 sin sinabc cos cosabc sincos 22 abc cossin 22 bca 4 4 三角形的面积公式 三角形的面积公式 1 1 表示边表示边上的高上的高 2 2 s 1 2 a a h a ha 1 2 sabc sin 1 sin 2 bca 1 sin 2 acb 3 3 为内切圆半径为内切圆半径 s 1 2 r abc r 例例 5 5 2014 浙江 在中 内角 a b c 所对的边分别为角角 的对边分的对边分abc abc 别为别为 已知 abc ab 3c 22 coscos3sincos3sincosabaabb 1 求角的大小 2 若 求的面积 c 4 sin 5 a abc 解析 1 由题意得 1 cos21 cos233 sin2sin2 2222 ab ab 即 3131 sin2cos2sin2cos2 2222 aabb sin 2 sin 2 66 ab 由 得 又 得 ab ab 0 ab 22 66 ab 即 所以 2 3 ab 3 c 2 由 得 3c 4 sin 5 a sinsin ac ac 8 5 a 由 得 从而 ac ac 3 cos 5 a 故 43 3 sinsinsincoscossin 1 0 bacacac 所以 的面积为 abc 18 318 sin 225 sacb 4 第 38 课 正弦定理 余弦定理的课后练习 1 1 在 在中 若中 若 则 则 abc 60a 45b 3 2bc ac a a b b c c d d 4 32 33 3 2 答案答案 b b 解析解析 sinsin bcac ab 2 3 2 sin 2 2 3 sin3 2 bcb ac a 2 2 在 在中 中 则 则 abc 15a 10b 60a cosb a a b b c c d d 6 3 3 33 11 3 答案答案 a a 解析解析 sinsin ab ab 1510 sin60sin b 3 sin 3 b ab 0 2 b 2 6 cos1 sin 3 bb 3 3 在 在中 若中 若 那么角 那么角等于 等于 abc 4a 4 3b 30a b a a b b 或或c c d d 或或60 60 120 30 30 150 答案答案 b b 解析解析 sinsin ab ab 44 3 sin30sin b 3 sin 2 b 或或 0180b b 60 120 4 4 在中 那么等于 abc 60c 3ab 2bc a a b c d 135 105 45 75 答案答案 c c 解析解析 由正弦定理知 即 所以 又由题知 sinsin bcab ac 23 sinsin60a 2 sin 2 a bcab 45a 5 5 若若的三个内角满足的三个内角满足 则 则 abc sin sin sin5 11 13abc abc a a 一定是锐角三角形 一定是锐角三角形 b b 一定是直角三角形 一定是直角三角形 c c 一定是钝角三角形 一定是钝角三角形 d d 可能是锐角或直角三角形 可能是锐角或直角三角形 答案答案 c c 解析解析 sin sin sin5 11 13abc 5 11 13a b c 角角为钝角 为钝角 222 51113 cos0 2 5 11 c c 6 20132013 全国高考 在全国高考 在中 角中 角 的对边分别为的对边分别为 已知 已知abc abcabc 则则的面积为 的面积为 2 64 bbc abc a a b b c c d d 2 32 31 2 32 31 答案答案 b b 解析 sinsin cb cb 2sin in 4 2 2 sin sin 6 bc c b sinsin sin 64 abc 26 sincossincos 64644 1126 sin2 2 213 224 abc sbca 7 7 在中 角成等差数列 则边上的高等于 abc 7ac 2bc a b cbc a b c d 3 2 3 3 2 3 6 2 3 39 4 答案答案 b b 解析 设 边上的高为 角成等差数列 abc bch a b c 又 2acb 180abc 60b 由余弦定理 得 即 222 2cos 60accbcbc c 即 负值舍去 2 744 cos 60cc 2 230cc 3c 又 故选 b 33 3 sin603 22 hc 8 2013 湖南高考 在锐角中 角所对的边长分别为 若abc a b a b 6 2 sin3abb 则 a 答案答案 3 解析 2 sin3abb 2sinsin3sinabb 0 2 b sin0b 3 sin 2 a 0 2 a 3 a 9 已知的三边长成公比为的等比数列 则其最大角的余弦值为 abc 2 答案答案 2 4 解析 依题意得 的三边长分别为 则最大边 所对的abc 2 2 0 aaa a 2a 角的余弦值为 222 2 2 2 422 aaa aa 10 在中 且 所对的边满足 则实数rt abc 90c abc a b cabcx 的取值范围是 x 答案答案 1 2 解析 又 sinsin sincos2sin sin4 abab xaaa cc 0 2 a 即 3 444 a 2sin 1 4 a 1 2 x 10 10 2015 年全国新课标 i 卷 已知分别是内角的对边 a b cabc a b c 2 sin2sinsinbac i 若 求 ii 若 且 求的面积 ab cos b90b 2 a abc 解析 i 由题设及正弦定理可得 2 2bac 又 可得 ab 2bc 2ac 由余弦定理可得 222 1 cos 24 acb b ac ii 由 1 知 2 2bac 因为90 由勾股定理得 b 222 acb 7 故 得 22 2acac 2ca 所以abc 的面积为 1 d 11 11 20132013 四川高考 在四川高考 在中中 角角的对边分别为的对边分别为 且且abc a b c a b c 3 cos cossin sin 5 abbabac 1 1 求 求的值 的值 sin a 2 2 若 若 求求边的长和向量边的长和向量在在方向上的投影方向上的投影 4 2a 5b cba bc 解析 1 3 cos cossin sin 5 abbabac 5 3 sin sin cos cos bbabba 即 5 3 cos bba 5 3 cos a 又 a0 5 4 sin a 2 b b a a sinsin 2 2sin sin a ab b 故 ba ba 4 b 222 2cosabcbca 解得 或 舍去 5 3 525 24 222 cc1 c7 c 向量在方向上的投影为 ba bc 2 cos 2 bab 12 在中 分别为角 的对边 且abc a b cabc 2 sin2si 2s i nnaabcbcbc 1 求角的大小 2 若 试判断的形状 asinsin3bc abc 解析 1 由 2 sin2si 2s i nnaabcbcbc 得 即 2 2 22 abc bcb c 222 bcbca 222 1 cos 22 bca a bc 0180a 60a 2 180abc 18060120bc 由 得 sinsin3bc sinsin 120 3bb 8 sinsin120 coscos120 sin3bbb 即 sincos3bb sin31 0b 0120b 3030150b 为等边三角形 3090b 60b 60abc abc 13 13 20142014 年辽宁卷 年辽宁卷 在中 内角 a b c 的对边 且 已知abc abcac 求 2ba bc 1 cos 3 b 3b 1 和的值 2 的值accos bc 解析解析 由 1 2cos2 cos6 3