高考数学一轮复习 第四章 导数及其应用 第23课 利用导数来研究函数的单调性 文（含解析） (2).doc

第23课 利用导数来研究函数的单调性1函数的单调性：函数在某个区间内可导若，则为增函数；若，则为减函数；若恒成立，则为常值函数；若且不恒成立，则为增函数；若且不恒成立，则为减函数；若为增函数，则；若为减函数，则2.函数的增减性的快慢（1）若，且的值越来越大，则增加的越来越快；若，且的值越来越小，则增加的越来越慢（2）若，且的值越来越大，则减少的越来越快；若，且的值越来越小，则减少的越来越慢3.求可导函数单调区间的步骤求的定义域；求； 令，得递增区间；令，得递减区间4恒成立问题恒成立 恒成立应用1.利用导数判断函数图象【例1】如果函数的图象如图1所示，那么导函数的图象可能是 ( )图1第23课 利用导数来研究函数的单调性的课后作业【答案】axyo图2【变式】（2013广州二模）已知函数的图象如图2所示，则其导函数的图象可能是（ ） yxoaxobxocxodyyy 【答案】a【解析】时，单调递减，排除b、d；时，先增后减，再增，则为正、负、正，排除c应用2.判断函数的单调性【例2】已知函数 ， ，求证在区间内单调递减， 在区间 内单调递增【证明】(1)当 时 ，由于 ， ，而不恒成立所以函数 在区间 内单调递减(2) 当时，由于 所以当时， ；当 时， .从而函数 在区间 内单调递减，在区间 内单调递增综合(1)(2)，可知函数在区间 内单调递减，在区间 内单调递增【变式】已知（1）当 时，判断在 上的的单调性；（2）若在上是单调增函数，求实数的取值范围。【解析】（1）当 时，当时，所以在 上是增函数（2）在上恒成立，在恒成立，而，故实数的取值范围为.应用3.求函数的单调区间【例3】已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）当时，求函数的单调区间【解析】函数的定义域为，（1）当时，由于 ，所以 令，得 ；令，得即 当时，在上单调递减；当时， 在上单调递增函数的单调递增区间为，单调递减区间为。（2）当时，由于 ，所以 令，得 ；令，得即 当时，在上单调递减；当时， 在上单调递增函数的单调递增区间为，单调递减区间为。【变式】已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围【解析】（1）函数的定义域为 ，当时，由于 ，所以令，解得；令，解得的单调递增区间是；单调递减区间是（2），函数在上是减函数，在上恒成立，在上恒成立，设，在上为减函数，的取值范围是第23课 利用导数来研究函数的单调性的课后习题1.（2013广州调研）已知为自然对数的底数，函数的单调递增区间是（ ） a b c d【答案】a【解析】，令，解得2已知在上是单调增函数，则的最大值是()a b c d 【答案】d【解析】在上恒成立，在恒成立，而，故.3. (2012高考辽宁卷)函数 的单调递减区间为()a(1，1 b(0，1 c1，) d(0，)【答案】b【解析】选.yx(x0)令y0，得0x1，函数的单调递减区间为(0，14已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数 的图象如右图所示，则该函数的图象是() 【答案】b【解析】由的图象知，的图象为增函数，且在区间(1,0)上增长速度越来越快，而在区间(0,1)上增长速度越来越慢故选b.5.设、是上的可导函数，、分别为、的导函数，且，则当时，有（ ）a bc d【答案】c【解析】设，则， 在上是减函数，得， 6.a.下图是函数的导数的图象，请完成下列填空(1) 函数的单调增区间： ；（2）函数的单调减区区间： ；b.该图是函数的图象，请完成下列填空（1）不等式的解集为: ;（2）不等式的解集为: ;（3）不等式的解为: ;7.已知函数 （1）判断函数的奇偶性；（2）若在区间上是增函数，求实数的取值范围.【解析】（1）当时，所以是偶函数；当时，既不是奇函数也不是偶函数（2）由已知，得 要使在区间上是增函数，只需，即 ， 对于恒成立设 ，则 ，在上是增函数， 所以，即实数的取值范围为 8. 已知函数（1）当时，求函数的单调区间；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围【解析】（1）函数的定义域为 ，当时，由于 ，所以令，解得；令，解得的单调递增区间是；单调递减区间是（2），函数在上是减函数，在上恒成立，在上恒成立，设，在上为减函数，的取值范围是9. 已知函数，.(1)当时，求曲线在点处的切线方程；(2)若在区间上是减函数，求的取值范围【解】(1)当时，又，所以.又 ，所以所求切线方程为，即 .所以曲线在点处的切线方程