高考数学一轮复习 第八章 立体几何 第54课 直线与平面垂直的判定和性质 文（含解析） (2).doc

第54课 直线与平面垂直的判定和性质1.直线与平面垂直（1）定义：如果直线与平面内的 任意一条 直线都垂直，那么就说直线与平面互相垂直记作 （2）直线与平面垂直的判定类别语言表述图示字母表示作用判定（1）若一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直用于证明直线与平面垂直（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面用于证明直线与平面垂直例1. (2013广东卷)如图1，在边长为1的等边三角形abc中，d，e分别是ab，ac边上的点，adae，f是bc的中点，af与de交于点g，将abf沿af折起，得到如图2所示的三棱锥abcf，其中bc.(1)证明：de/平面bcf；(2)证明：cf平面abf；(3)当ad时，求三棱锥fdeg的体积vfdeg.(1)证明：在等边三角形abc中，adae.，在折叠后的三棱锥abcf中也成立，debc，de平面bcf, bc平面bcf，de平面bcf.(2)证明：在等边三角形abc中，f是bc的中点，所以afbc，bfcf. 在三棱锥abcf中，bc，bc2bf2cf2，cfbf， bfcff，cf平面abf.(3)解析：由(1)可知gecf，结合(2)可得ge平面dfg. vfdegvedfgdgfgge.练习：如图，是圆的直径，垂直于圆所在的平面，是圆上的点 （1）求证:平面； （2）设为的中点，为的重心，求证：平面平面【解析】（1）证明：是圆的直径， 平面，平面，平面（2）连结并延长交于，连结，为的重心，为的中点，为的中点，平面，平面平面为的中点，为的中点，平面，平面平面，而平面，平面，平面，平面平面，即平面平面（3）直线与平面垂直的性质类别语言表述图示字母表示作用性质（1）若一条直线与一个平面垂直，则这条直线垂直于平面内的任意一条 直线证两条直线垂直（2）如果两条直线同垂直于一个平面，那么这两条直线平行证两条直线平行例2. 如图，三棱柱abca1b1c1中，cacb，abaa1，baa160.(1)证明：aba1c；(2)若abcb2，a1c，求三棱柱abca1b1c1的体积【解】(1)证明：取ab的中点o，连接oc，oa1，a1b.因为cacb，所以ocab.由于abaa1，baa160，故aa1b为等边三角形，所以oa1ab.因为ocoa1o，所以ab平面oa1c.又a1c平面oa1c，故aba1c.(2)由题设知abc与aa1b都是边长为2的等边三角形，所以ocoa1.又a1c，则a1c2oc2oa，故oa1oc.因为ocabo，所以oa1平面abc，oa1为三棱柱abca1b1c1的高又abc的面积sabc，故三棱柱abca1b1c1的体积vsabcoa13.练习：如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，平面. 求证：； 证明:平面，平面， . ， . .，平面，平面， 平面. 平面， . 2.直线与平面所成的角（1）一个平面的斜线和它在这个平面内的射影所成的角，叫做斜线和这个平面所成的角.（2）直线与平面所成的角的范围是 （3）如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角练习：若四棱锥的所有棱长均为2，则侧棱与底面所成的角为 ，斜高与底面底面所成的角的正切值为 第54课 直线与平面垂直的判定和性质作业题1一条直线与一个平面垂直的条件是 ( ) a. 垂直于平面内的一条直线 b. 垂直于平面内的两条直线c. 垂直于平面内的无数条直线 d. 垂直于平面内的两条相交直线解析：d2. 如果平面外的一条直线a与内两条直线垂直，那么 ( ) a. a b. a c. a与斜交 d. 以上三种均有可能解析：d3. 已知两条不同的直线m、n，两个不同的平面a、，则下列命题中的真命题是（）a若ma，n，a，则mnb若ma，n，a，则mnc若ma，n，a，则mnd若ma，n，a，则mn【答案】a【解析】试题分析：在正方体abcd-a1b1c1d1中记abcd为平面a，cdc1d1为平面，直线aa1为m，直线bb1为n，则mn，因此选项b为假；同理选项d也为假，取平面ra，则平面内的任意一条直线都可以为直线m,n，因此选项c为假，答案选a.考点：空间几何中直线与直线的位置关系4. 如图，bc是rtabc的斜边，ap平面abc，连结pb、pc，作pdbc于d，连结ad，则图中共有直角三角形_个。解：8个。因为ap平面abc，pdbc，ad是pd的射影，由三垂线定理，得adbc。从而pab、pac、pad、abc、abd、acd、pbd、pdc都是直角三角形。5如图，已知pao所在的平面，ab是o的直径，c是异于a、b的o上任意一点，过a作aepc于e，求证：（1）bc平面pac（2）ae平面pbc证明：pa平面abc，pabc，又ab是o的直径，bcac而paaca，bc平面pac又ae平面pac，bcaepcae且pcbcc，ae平面pbc6 如图，已知abcd是空间四边形，abad，cbcd，求证：bdac证明：设bd的中点为k，连结ak、ck，abad，k为bd中点akbd同理ckbd，且akkckbd平面akcbd垂直于平面akc内的所有直线bdac 7在正方体abcda1b1c1d1中，p为dd1中点，o为底面abcd中心，求证：b1o平面pac证明：如图：连结ab1，cb1，设ab1ab1cb1，aoco，b1oac，连结pb1， ，b1opo，b1o平面pac。8如图，在三棱柱中，底面，e、f分别是棱的中点.（）求证：ab平面aa1 c1c；（）若线段上的点满足平面/平面，试确定点的位置，并说明理由；【答案】见解析【解析】（i）底面， 3分，面. 6分（ii）面/面，面面，面面，/， 10分在中是棱的中点，是线段的中点. 12分【考点定位】本题主要考查立体几何平行、垂直关系等基础知识，意在考查逻辑思维能力、空间想象能力和推理论证能力9在直三棱柱abc-a1b1c1中，已知ab=5，ac=4，bc=3，aa1=4，点d在棱ab上 (1)求证：acb1c；（2）若d是ab中点，求证：ac1平面b1cd.【答案】(1)详见解析；（2）详见解析【解析】试题分析：（1）要证明acb1c，根据线面垂直的判定定理，只要转化证明ac平面bb1c1c即可；（2）要证明ac1平面b1cd，根据线面的判定定理，只要转换证明de/ac1即可.试题解析：(1)证明：在abc中，因为ab=5，ac=4，bc=3，所以ac2+bc2=ab2，所以acbc因为直三棱柱abc-a1b1c1，所以cc1ac，因为bcac=c，所以ac平面bb1c1c所以acb1c 6分（2）连结bc1，交b1c于e，连接de因为直三棱柱abc-a1b1c1，d是ab中点，所以侧面bb1c1c为矩形，de为abc1的中位线，所以de/ac1因为de平面b1cd，ac1平面b1cd，所以ac1平面b1cd 12分考点：空间位置关系的证明.10. 如图，三棱柱中，侧面为菱形，的中点为，且平面.（1）证明：（2）若,求三棱柱的高.【答案】（1）详见解析;（2）三棱柱的高为.【解析】试题分析：（1）根据题意欲证明线线垂直通常可转化为证明线面垂直，又由题中四边形是菱形，故可想到连结，则o为与的交点，又因为侧面为菱形，对角线相互垂直;又平面，所以，根据线面垂直的判定定理可得：平面abo，结合线面垂直的性质：由于平面abo，故;（2）要求三菱柱的高，根据题中已知条件可转化为先求点o到平面abc的距离，即：作，垂足为d，连结ad，作，垂足为h，则由线面垂直的判定定理可得平面abc，再根据三角形面积相等：，可求出的长度，最后由三棱柱的高为此距离的