北京市高考数学 二模试题解析分类汇编系列六 9 圆锥曲线 文.doc

【解析分类汇编系列六：北京2013（二模）数学文】9：圆锥曲线一、选择题 （2013北京海淀二模数学文科试题及答案）双曲线的左右焦点分别为,且恰为抛物线的焦点.设双曲线与该抛物线的一个交点为,若是以为底边的等腰三角形,则双曲线的离心率为（）abcdb抛物线的焦点为，即,所以双曲线中。双曲线与该抛物线的一个交点为，（不妨设在第一象限）若是以为底边的等腰三角形，则抛物线的准线过双曲线的左焦点。所以,所以,即，所以,解得，即.又在双曲线上，所以,即，所以，即双曲线的离心率。选b. （2013北京西城区二模数学文科试题及答案）若双曲线的离心率是，则实数（a）（b）（c）（d）b双曲线的方程为，即，所以.又，所以，解得，选b. （2013北京朝阳区二模数学文科试题及答案）若双曲线的渐近线与抛物线相切，则此双曲线的离心率等于 a b c d b双曲线的渐近线为，不妨取，代入抛物线得，即，要使渐近线与抛物线相切，则，即，又，所以，所以。所以此双曲线的离心率是3，选b. （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）双曲线的离心率为（）abcdc由双曲线的方程可知，所以，即离心率，选c.二、填空题（2013北京昌平二模数学文科试题及答案）双曲线的一条渐近线方程为,则_.双曲线的渐近线方程为，即。（2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知双曲线的离心率为,顶点与椭圆的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为_;渐近线方程为_.，椭圆的焦点坐标为，所以双曲线的顶点为，即，又，所以，解得，所以。所以双曲线的焦点坐标为。双曲线的渐近线方程为。（2013北京东城高三二模数学文科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于_.4抛物线的焦点（1，0），准线为：，设ab的中点为 e，过a、e、b 分别作准线的垂线，垂足分别为 c、f、d，ef交纵轴于点h，如图所示：则由ef为直角梯形的中位线知，所以,即则b的中点到y轴的距离等于4. （2013北京房山二模数学文科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为_,若点在抛物线上运动,点在直线上运动,则的最小值等于_.，因为抛物线的焦点坐标为，所以。所以抛物线的方程为。设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，与抛物线联立得，即。当判别式时，解得，即切线方程为。所以两平行线的距离为。所以的最小值等于。三、解答题（2013北京海淀二模数学文科试题及答案）(本小题满分丨4分)已知椭圆c:的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为的菱形的四个顶点.(i)求椭圆c的方程;(ii)若直线交椭圆c于a,b两点,在直线上存在点p,使得 pab为等边三角形,求的值.解:(i)因为椭圆的四个顶点恰好是一边长为2,一内角为 的菱形的四个顶点, 所以,椭圆的方程为 (ii)设则 当直线的斜率为时,的垂直平分线就是轴, 轴与直线的交点为, 又因为,所以, 所以是等边三角形,所以直线的方程为 当直线的斜率存在且不为时,设的方程为 所以,化简得 所以 ,则 设的垂直平分线为,它与直线的交点记为 所以,解得,则 因为为等边三角形, 所以应有 代入得到,解得(舍), 此时直线的方程为 综上,直线的方程为或 （2013北京丰台二模数学文科试题及答案）已知椭圆c:,其短轴的端点分别为a,b(如图),直线am,bm分别与椭圆c交于e,f两点,其中点m (m,) 满足,且.()求椭圆c的离心率e; ()用m表示点e,f的坐标;()证明直线ef与y轴交点的位置与m无关.解:()依题意知,; (),m (m,),且, 直线am的斜率为k1=,直线bm斜率为k2=, 直线am的方程为y= ,直线bm的方程为y= , 由得, 由得, ; ()据已知, 直线ef的斜率 直线ef的方程为 , 令x=0,得 ef与y轴交点的位置与m无关 （2013北京顺义二模数学文科试题及答案）已知椭圆的离心率为,为椭圆的两个焦点,点在椭圆上,且的周长为.()求椭圆的方程()设直线与椭圆相交于、两点,若(为坐标原点),求证:直线与圆相切.解()由已知得,且 解得 又所以椭圆的方程为 ()证明:有题意可知,直线不过坐标原点,设的坐标分别为 ()当直线轴时,直线的方程为且 则 解得故直线的方程为 因此,点到直线的距离为 又圆的圆心为,半径 所以直线与圆相切 ()当直线不垂直于轴时,设直线的方程为 由 得 故 即 又圆的圆心为,半径 圆心到直线的距离为 将式带入式得 吗 所以 因此,直线与圆相切 （2013北京昌平二模数学文科试题及答案）已知椭圆的离心率为且过点.(i)求此椭圆的方程;(ii)已知定点,直线与此椭圆交于、两点.是否存在实数,使得以线段为直径的圆过点.如果存在,求出的值;如果不存在,请说明理由.解:(1)根据题意, 所以椭圆方程为 (ii)将代入椭圆方程,得,由直线与椭圆有两个交点,所以,解得. 设、,则,若以为直径的圆过点,则,即, 而=,所以 , 解得,满足. 所以存在使得以线段为直径的圆过点 （2013北京朝阳二模数学文科试题）已知椭圆的右焦点,长轴的左、右端点分别为,且.()求椭圆的方程;()过焦点斜率为的直线交椭圆于两点,弦的垂直平分线与轴相交于点. 试问椭圆上是否存在点使得四边形为菱形?若存在,试求点到轴的距离;若不存在,请说明理由.解:()依题设,则,. 由,解得,所以.所以椭圆的方程为 ()依题直线的方程为. 由得. 设,弦的中点为, 则,所以. 直线的方程为, 令,得,则. 若四边形为菱形,则,.所以. 若点在椭圆上,则. 整理得,解得.所以椭圆上存在点使得四边形为菱形. 此时点到的距离为 （2013北京东城高三二模数学文科）已知椭圆:的离心率,原点到过点,的直线的距离是. ()求椭圆的方程; ()若直线交椭圆于不同的两点,且,都在以为圆心的圆上,求的值. (共13分)解() 因为,所以 . 因为原点到直线:的距离,解得,. 故所求椭圆的方程为. () 由题意消去 ,整理得 . 可知. 设,的中点是, 则,. 所以. 所以. 即 . 又因为, 所以.所以 （2013北京房山二模数学文科试题及答案）已知椭圆()的焦点坐标为,离心率为.直线交椭圆于,两点.()求椭圆的方程; ()是否存在实数,使得以为直径的圆过点?若存在,求出的值;若不存在,请说明理由. ()由, 得, 所以椭圆方程是: ()设, 则, 将代入,整理得(*) 则 以pq为直径的圆过,则,即 解得,此时(*)方程,所以 存在,使得以为直径的圆过点 （2013北京西城高三二模数学文科）如图,椭圆的左顶点为,是椭圆上异于点的任意一点,点与点关于点对称.()若点的坐标为,求的值;()