北京市高三数学一轮复习 试题选编23 抛物线 理 新人教A版.doc

北京市2014届高三理科数学一轮复习试题选编23：抛物线一、选择题 （北京市通州区2013届高三上学期期末考试理科数学试题 ）已知直线和直线，抛物线上一动点到直线 和直线的距离之和的最小值是（）abcd【答案】b【 解析】因为抛物线的方程为，所以焦点坐标,准线方程为。所以设到准线的距离为,则。到直线的距离为，所以,其中为焦点到直线的距离，所以，所以距离之和最小值是2，选b （2013北京东城高三二模数学理科）过抛物线焦点的直线交抛物线于,两点,若,则的中点到轴的距离等于（）abcd【答案】d （2013北京西城高三二模数学理科）已知正六边形的边长是,一条抛物线恰好经过该六边形的四个顶点,则抛物线的焦点到准线的距离是（）abcd 【答案】 b; （北京市朝阳区2013届高三第一次综合练习理科数学）抛物线()的焦点为,已知点,为抛物线上的两个动点,且满足.过弦的中点作抛物线准线的垂线,垂足为,则的最大值为（）ab1cd2【答案】a （北京市石景山区2013届高三一模数学理试题）对于直线l:y=k (x+1)与抛物线c:y2= 4x,k=1是直线l与抛物线c有唯一交点的( )条件（）a充分不必要b必要不充分c充要条件d既不充分也不必要【答案】a （2013届北京海滨一模理科）抛物线的焦点为，点为该抛物线上的动点，又点，则的最小值是（）abcd【答案】b二、填空题 （北京市顺义区2013届高三第一次统练数学理科试卷（解析）在平面直角坐标系中,设抛物线的焦点为,准线为为抛物线上一点,为垂足.如果直线的倾斜角为,那么_.【答案】答案4抛物线的焦点坐标为,准线方程为.因为直线的倾斜角为,所以,又,所以.因为,所以,代入,得,所以. （2013北京房山二模数学理科试题及答案）抛物线的焦点坐标为,则抛物线的方程为_,若点在抛物线上运动,点在直线上运动,则的最小值等于_.【答案】 （北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）直线与抛物线相切于点. 若的横坐标为整数,那么的最小值为_.【答案】 1 （2013届北京西城区一模理科）在直角坐标系中，点与点关于原点对称点在抛物线上，且直线与的斜率之积等于，则_【答案】； 三、解答题（北京市昌平区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）（本小题满分13分）已知椭圆的对称轴为坐标轴, 离心率为且抛物线的焦点是椭圆的一个焦点（）求椭圆的方程；（）设直线与椭圆相交于a、b两点，以线段为邻边作平行四边形oapb，其中点p在椭圆上，为坐标原点. 求点到直线的距离的最小值【答案】解：（i）由已知抛物线的焦点为,故设椭圆方程为， 则所以椭圆的方程为5分（ii）当直线斜率存在时，设直线方程为，则由 消去得， 6分， 7分设点的坐标分别为，则：，8分由于点在椭圆上，所以 . 9分从而，化简得，经检验满足式. 10分又点到直线的距离为： 11分 当且仅当时等号成立 12分当直线无斜率时，由对称性知，点一定在轴上，从而点的坐标为，直线的方程为，所以点到直线的距离为1 . 所以点到直线的距离最小值为 . 13分（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）如图,已知,两点分别在轴和轴上运动,并且满足,. ()求动点的轨迹方程;()若正方形的三个顶点在点的轨迹上,求正方形面积的最小值.【答案】解:(i) 由已知则 ()如图,不妨设正方形在抛物线上的三个顶点中在轴的下方(包括轴), 记的坐标分别为,其中 并设直线的斜率为 bacdoyx 则有 又因为在抛物线上,故有 代入式得 因为 即 所以 所以将代入可得: 即, 得 正方形的边长为 易知, 所以 所以正方形abcd面积的最小值为. （北京市西城区2013届高三上学期期末考试数学理科试题）如图，已知抛物线的焦点为过点的直线交抛物线于，两点，直线，分别与抛物线交于点，（）求的值；（）记直线的斜率为，直线的斜率为.证明：为定值【答案】（）解：依题意，设直线的方程为 1分将其代入，消去，整理得 4分从而 5分（）证明：设， 则 7分设直线的方程为，将其代入，消去，整理得 9分所以 10分同理可得 11分故 13分由（）得 ，为定值 14分（北京市海淀区2013届高三5月查缺补漏数学（理）动圆过点且在轴上截得的线段长为,记动圆圆心轨迹为曲线.()求曲线的方程;()已知是曲线上的两点,且,过两点分别作曲线的切线,设两条切线交于点,求面积的最大值.【答案】解:()设圆心坐标为,那么,化简得 ()解法一:设 设直线pq的方程为,代入曲线c的方程得, 所以 因为,所以 所以, 过p、q两点曲线c的切线方程分别为 两式相减,得 , 代入过p点曲线c的切线方程得, , 即两条切线的交点m的坐标为(),所以点m到直线pq的距离为 当时, ,此时的面积的取最大值 解法二: 设,则过p、q两点曲线c的切线方程分别为 两式相减得, , 代入过p点曲线c的切线方程得, , 即两条切线的交点m的坐标为(,) 设pq中点为c,则c的坐标为(,),所以mc平行于y轴,所以 设点m到直线pq的距离为d,那么(当且仅当时等号成立) . 又因为,所以, 即,. 所以 (当且仅当时等号成立) . 因此, 所以的面积的最大值为. （北京市海淀区2013届高三上学期期末考试数学理试题 ）已知是抛物线上一点，经过点的直线与抛物线交于两点（不同于点），直线分别交直线于点.（）求抛物线方程及其焦点坐标；（）已知为原点，求证：为定值.【答案】解：（）将代入，得所以抛物线方程为，焦点坐标为 3分（）设，法一：因为直线不经过点，所以直线一定有斜率设直线方程为与抛物线方程联立得到 ，消去，得：则由韦达定理得： 6分直线的方程为：，即，