众家赏识的一道中考压轴题.doc

众家赏识的一道中考压轴题再读“2008年北京市中考压轴题”江苏省海安县海南中学陈振华(226600)中小学数学初中版2009年第7、8期刊登了曹劲松老师的层层递进 不断超越（-北京市2008年中考压轴题赏析与拓展）一文，笔者读后，很有启发在这之前，我也曾读了数学教学2009年第3期登载了唐耀高老师所写的一道平面几何中考试题的拓展的文章在这篇文章中唐老师不但对该题做出了比较恰如其分的评析，而且也对该题做出了适当的拓展，同样也很有价值当时受唐唐老师的这篇文章的影响，就准备动一下笔谈一些自己的看法，如今又看到曹老师的这篇文章，几番思索，最终决定还是试一下，于是就写下了此稿投向贵刊【北京市2008中考压轴题】请阅读下列材料：问题：如图1，在菱形和菱形中，点，在同一条直线上，是线段的中点，连结，若，探究与的位置关系及的值小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决DABEFCPG图1DCGPABEF图2请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）你在（1）中得到的两个结论是否发生变化？写出你的猜想并加以证明（3）若图1中，将菱形绕点顺时针旋转任意角度，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）【答案】（1）线段与的位置关系是；（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化证明：如图，延长交于点，连结，是线段的中点，由题意可知，四边形是菱形，由，且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，可得四边形是菱形，即，（3） 曹老师在文中先对该题的第三问给出了解答之后，他提出可将原题中的“小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决”改成：“小聪同学的思路是：延长交的延长线于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决”并且在其后给出相关的解法，很有新意唐老师在文中对该题的条件和结论做了如下的变式1将条件“菱形和菱形”改为正方形，其它条件不变，当然有，若将条件“菱形和菱形 ”改为“长宽不相等的一般矩形矩形”，其它条件不变，试探求线段与的关系如图4、图5同时，唐老师也给出了较为详尽的解析即：当点、在同一直线时，有结论， 且需要补充的是：对于结论(3)，由于，仍成立笔者追踪北京市的这道压轴题的出处发现该题原来就是根据大连2005年中考第26题的改编而成【大连2005年中考第26题】如图6，操作：把正方形的对角线放在正方形的边的延长线上（），取线段的中点探究：线段、的关系，并加以证明说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列、中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明注意：选取完成证明得10分；选取完成证明得7分；选取完成证明得5分的延长线交于点，且；将正方形绕点逆时针旋转（如图），其他条件不变；在的条件下且附加题：将正方形绕点旋转任意角度后（如图），其他条件不变探究：线段、的关系，并加以证明可以看出：北京市的压轴题是由大连这道题经特殊到一般演变而成即将其正方形改变成了菱形与此同时也将思维层次的要求提高到了一个较高的要求即问题的第(3)问但对于第(3)问的求解过程的寻找，本题的第(2)问的设计可以说对第(3)问的解决还有一定程度的干扰由于第(2)问的设计的特殊性即“使菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上”，加上“”，致使在分析第(3)问时，就有了某种程度的心理倾向，即旋转角最好是这样可以保证和问题(2)相照应对于问题(3)究竟应该如何解决，标准答案并没有公布过程这一点现已在曹老师的文中能找到它的全解，这里就不再给出了不过为了排除问题(2)对问题(3)的干扰，本人认为在出现从第(2)问到第(3)问这个实质上的飞跃时，必须把梯度做适当的调整不妨就在第(2)问与第(3)问之间增加一步，即：若图1中，将菱形绕点顺时针旋转角，原问题中的其他条件不变，请你直接写出的值（用含的式子表示）这样由于与在同一条直线上，对于与全等的三角形的构造就显得要容易些只需将延长交边，设交点为则有进一步可得于是可得结论 对于大连的这道题相对于北京市的这道题我们仍有类似于上面北京市的这道题中的问题(3)，由于，仍有由于正方形既是特殊的菱形又是特殊的矩形同时还是特殊的平行四边形因而北京市的这道题着重是针对正方形是特殊的菱形而将大连的这道题进行变式辅之以适当的提升所构成而唐老师对试题的拓展部分,实际上运用的是正方形是特殊的矩形来建构的针对正方形是特殊的平行四边形，我们还可以将北京市的这道题去做类似的变式只需将两个菱形换成两个全等的平行四边形即：将条件“菱形和菱形 ”改为“一般的平行四边形平行四边形”，之外，将“”改换成“”其它条件不变，试探求线段与的关系可以析得：仍有结论， 对于结论(3)，在没有旋转时，由于，仍成立如图9对于旋转任意角度后，则只有如图10反思：一、在设计一个命题的多个结论的过程中，合理有效的梯度不但可以使学生学习数学的能力会有一个较为明显的区分，它还能让学生在解题过程中会不知不觉地体验到自己学习数学的乐趣二、数学题的变式方法很多，基于本题的特点，不论是2008年北京市数学中考命题人员、还是曹老师和唐老师的变式都很有个性笔者的追踪为的是让大家能够较为全面地去认识好这道题所涉及到的知识体系，以及怎样设法构造新的题型，并从它们的解法中进一步得到启示，从而起到以点带面、以面托点的效果二、数学情境的创设对学生在学习数学的过