北京市东城区高三数学一模试题 文（含解析）北师大版.doc

2013年北京市东城区高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析一、本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项1（5分）（2013东城区一模）已知全集u=1，2，3，4，集合a=1，2，那么集合ua为（）a3b3，4c1，2d2，3考点：补集及其运算专题：计算题分析：直接利用补集的定义，求出a的补集即可解答：解：因为全集u=1，2，3，4，集合a=1，2，那么集合ua=3，4故选b点评：本题考查补集的运算，补集的定义，考查基本知识的应用2（5分）（2013东城区一模）“a=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a+1）y+4=0平行”的（）a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：直线与圆分析：当a=1 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=1，故必要性也成立解答：解：当a=1 时，直线x+（a+1）y+4=0即x+2y+4=0，显然两直线平行，故充分性成立当直线x+2y=0与直线x+（a+1）y+4=0平行，由斜率相等得=，a=1，故由直线x+2y=0与直线x+（a+1）y+4=0平行，能推出a=1，故必要性成立综上，“aa=1”是“直线x+2y=0与直线x+（a+1）y+4=0平行”的充分必要条件，故选c点评：本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法3（5分）（2013东城区一模）已知abcd为平行四边形，若向量，则向量为（）ab+cd考点：平面向量的基本定理及其意义专题：平面向量及应用分析：如图所示，利用向量的减法法则即可得出解答：解：如图所示，由向量的减法法则可得：=故选c点评：熟练掌握向量的减法法则是解题的关键4（5分）（2013东城区一模）执行如图所示的程序框图，输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）an5？bn5？cn5？dn5？考点：程序框图专题：图表型分析：本循环结构是经过n次循环，计算s=+，由此能求出结果解答：解：经过n次循环，计算s=+=1=，程序框图输出的结果是 ，=，n=5n=6时，跳出循环故选a点评：本题考查循环结构的应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答5（5分）（2013东城区一模）已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），那么这个几何体的侧面积是（）abcd考点：由三视图求面积、体积专题：计算题分析：由题可知，图形是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱的三视图，求出表面积即可解答：解：由题可知，三视图复原的几何体是一个放倒的底面是直角梯形的四棱柱，所以几何体的侧面积s=4+ （cm2）故选c点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题6（5分）（2013东城区一模）已知点a（2，1），抛物线y2=4x的焦点是f，若抛物线上存在一点p，使得|pa|+|pf|最小，则p点的坐标为（）a（2，1）b（1，1）cd考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的定义，得|pa|+|pf|=|pa|+|pq|因此问题转化为求|pa|+|pq|取最小值时p点的坐标，再利用p、a、q三点共线时距离最小，即可求出满足条件的p点坐标解答：解：根据抛物线的定义，点p到焦点f的距离等于它到准线l的距离设点p到准线l：x=1的距离为pq，则所求的|pa|+|pf|最小值，即|pa|+|pq|的最小值；根据平面几何知识，可得当p、a、q三点共线时|pa|+|pq|最小，|pa|+|pq|的最小值为a到准线l的距离；此时p的纵坐标为1，代入抛物线方程得p的横坐标为，得p故选：d点评：本题的考点是抛物线的简单性质，主要考查抛物线的定义，考查距离最小问题，关键是利用抛物线的定义，将点p到焦点的距离转化为它到准线的距离7（5分）（2013东城区一模）对于函数y=f（x），部分x与y的对应关系如下表：x123456789y745813526数列xn满足x1=2，且对任意nn*，点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上，则x1+x2+x3+x4+x2012+x2013的值为（）a9394b9380c9396d9400考点：数列的求和专题：计算题分析：利用已知函数的关系求出数列的前几项，得到数列是周期数列，然后求出通过周期数列的和，即可求解本题解答：解：因为数列xn满足x1=2，且对任意nn*，点（xn，xn+1）都在函数y=f（x）的图象上，xn+1=f（xn）所以x1=2，x2=4，x3=8，x4=2，x5=4，x6=8，x7=2，x8=4所以数列是周期数列，周期为3，一个周期内的和为14，所以x1+x2+x3+x4+x2012+x2013=671（x1+x2+x3）=9394故选a点评：本题考查函数与数列的关系，周期数列求和问题，判断数列是周期数列是解题的关键8（5分）（2013菏泽二模）已知定义在r上的函数f（x）的对称轴为x=3，且当x3时，f（x）=2x3若函数f（x）在区间（k1，k）（kz）上有零点，则k的值为（）a2或7b2或8c1或7d1或8考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：先作出当x3时函数f（x）=2x3的图象，观察图象的交点所在区间，再根据对称性得出另一个交点所在区间即可解答：解：作出当x3时函数f（x）=2x3的图象，观察图象的交点所在区间在（1，2）f（1）=213=10，f（2）=223=10，f（1）f（2）0，有零点的区间是（1，2），因定义在r上的函数f（x）的对称轴为x=3，故另一个零点的区间是（8，7），则k的值为2或7故选a点评：本题主要考查了根的存在性及根的个数判断二分法是求方程根的一种基本算法，其理论依据是零点存在定理：一般地，若函数y=f（x）在区间a，b上的图象是一条不间断的曲线，且f（a）f（b）0，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9（5分）（2013东城区一模）已知i是虚数单位，那么i（1+i）等于1+i考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数的运算法则即可得出解答：解：i（1+i）=i1=1+i故答案为1+i点评：熟练掌握复数的运算法则和i2=1是解题的关键10（5分）（2013东城区一模）如图是甲、乙两名同学进入高中以来5次体育测试成绩的茎叶图，则甲5次测试成绩的平均数是84，乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是2考点：茎叶图；众数、中位数、平均数专题：图表型分析：先从茎叶图中分析出甲、乙两人的成绩数据，再根据中位数和平均数的求法进行运算即得解答：解：由图可知，甲，乙两人共有5次测试成绩，分别是：甲：76、83、84、87、90乙：79、80、82、88、91则甲、乙两人5次体育测试成绩的中位数分别为84、82，平均数分别为 =84，=84故乙5次测试成绩的平均数与中位数之差是 2故答案为：84，2点评：茎叶图的茎是高位，叶是低位，所以本题中“茎是十位”，叶是个位，从图中分析出参与运算的数据，代入相应公式即可解答从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问题的关键11（5分）（2013东城区一模）不等式组表示的平面区域为d，则区域d的面积为2，z=x+y的最大值为2考点：简单线性规划专题：不等式的解法及应用分析：先画出可行域，再利用三角形面积公式求第一问；第二问需由z=x+y，再变形为y=x+z，则过点b时z最大解答：解：不等式组所表示的平面区域如图所示解得a（2，2）、b（2，0）、c（0，0），所以sabc=22=2；由z=x+y，则y=x+z，所以直线经过点b时x+y取得最大值，最大值为2+0=2故答案为：2，2点评：本类题是解决线性规划问题，本类题常用的步骤有两种：一是：由约束条件画出可行域，求出可行域各个角点的坐标，将坐标逐一代入目标函数，验证，求出最优解二是：画出可行域，标明函数几何意义，确定最优解12（5分）（2013东城区一模）从1，3，5，7这四个数中随机地取两个数组成一个两位数，则组成的两位数是5的倍数的概率为考点：古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：根据所抽取的数据拼成两位数，得出总数及是5的倍数的数，求概率解答：解：如下表，任意抽取两个不同数字组成一个两位数，共12种情况，其中是5的倍数的有15，35，75三种，组成两位数能被3整除的概率为=13571131517331353755153577717375故答案为：点评：本题考查了求概率的方法：列表法和树状图法关键是通过画表格（图）求出组成两位数的所有可能情况及符合条件的几种可能情况13（5分）（2013东城区一模）函数的图象为c，有如下结论：图象c关于直线对称；图象c关于点对称；函数f（x）在区间内是增函数，其中正确的结论序号是（写出所有正确结论的序号）考点：命题的真假判断与应用专题：计算题分析：由题意可解出该函数的所有对称轴，对称区间和单调递增区间，取整数k的特殊值，比较选项即可得答案解答：解：由=k+，可得x=k+，kz，当k=0时，可得其中一条对称轴为x=，故正确；由=k，可得x=k+，kz，当k=1时，可得其中一个对称点的横坐标为x=，故正确；由2k2k+得2kx2k+，kz，当k=0时，可得其中一个单调递增区间为，因为真包含于，所以函数在上单调递增，故正确故答案为：点评：本题考查命题真假的判断，涉及三角函数的对称性和单调性，属基础题14（5分）（2013东城区一模）数列an的各项排成如图所示的三角形形状，其中每一行比上一行增加两项，若（a0），则位于第10行的第8列的项等于a89，a2013在图中位于第45行的第77列（填第几行的第几列）考点：数列的函数特性；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：由于每行的所有数的个数形成等差数列，故可得到前9行的数的个数，从而得出答案；由可知前k行所有ai的个数为b1+b2+bk=1+3+（2k1）=k2解出（k1）22013即可得出答案解答：解：设每行的数的个数为数列bn，则此数列为首项为1，公差为2的等差数列，bn=1+（n1）2=2n1于是前9行所有an的个数为b1+b2+b9=81位于第10行的第8列的项等于a81+8=由可知：前k行所有ai的个数为b1+b2+bk=1+3+（2k1）=k2由（k1）22013，解得，而4422013452，k1+44=45前44行的所有数ai的个数为442=1936而1936+77=2013，a2013在图中位于第45行的第77 列故答案分别为a89，第45行的第77 列点评：正确理解每行的所有数的个数形成等差数列，利用等差数列的通项公式和前可知前k行所有ai的个数为b1+b2+bk=1+3+（2k1）=k2是解题的关键三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程15（13分）（2013东城区一模）在abc中，三个内角a，b，c的对边分别为a，b，c，且（）求角b；（）若，求ac的最大值考点：正弦定理；余弦定理专题：解三角形分析：（）因为，由正弦定理求得，从而求得b的值（）由余弦定理求得12=a2+c2ac，再利用基本不等式求得ac的最大值解答：解：（）因为，由正弦定理可得因为在abc中，sina0，所以又0b，所以（）由余弦定理 b2=a2+c22accosb，因为，所以12=a2+c2ac因为a2+c22ac，所以ac12当且仅当时，ac取得最大值12点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理以及基本不等式的应用，属于中档题16（14分）（2013东城区一模）如图，已知ad平面abc，ce平面abc，f为bc的中点，若（）求证：af平面bde；（）求证：平面bde平面bce考点：平面与平面垂直的判定；直线与平面平行的判定专题：空间位置关系与距离分析：（i）取be的中点g，连接gf，gd利用三角形的中位线定理即可得到gfec，由ad平面abc，ce平面abc，利用线面垂直的性质定理即可得到adec，进而即可判断四边形afgd 为平行四边形，得到afdg，再利用线面平行的判定定理即可证明；（ii）利用等腰三角形的性质即可得到afbc，再利用线面垂直的性质得到gfaf，利用线面垂直的判定定理即可证明af平面bec，而dgaf，得到dg平面bec，利用面面垂直的定理即可证明结论解答：证明：（）取be的中点g，连接gf，gdf是bc的中点，则gf为bce的中位线gfec，ad平面abc，ce平面abc，gfecad又，gf=ad四边形gfad为平行四边形afdgdg平面bde，af平面bde，af平面bde（）ab=ac，f为bc的中点，afbcecgf，ec平面abc，gf平面abc又af平面abc，gfafgfbc=f，af平面bceafdg，dg平面bce又dg平面bde，平面bde平面bce点评：熟练掌握三角形的中位线定理、线面垂直的判定定理和性质定理、等腰三角形的性质、平行四边形的判定和性质、面面垂直的判定定理是解题的关键17（13分）（2013东城区一模）为了解高三学生综合素质测评情况，对2000名高三学生的测评结果进行了统计，其中优秀、良好、合格三个等级的男、女学生人数如下表：优秀良好合格男生人数x380373女生人数y370377（）若按优秀、良好、合格三个等级分层，在这2000份综合素质测评结果中随机抽取80份进行比较分析，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的多少份？（）若x245，y245，求优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率考点：列举法计算基本事件数及事件发生的概率；分层抽样方法专题：计算题；概率与统计分析：（i）根据样本容量为2000，运用减法算出优秀等级的学生人数为500，再由分层抽样的公式即可算出应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数；（ii）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件a，分别列举出（x，y）的所有可能情况和满足xy的数组（x，y）的情况，再用随机事件的概率公式即可算出优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率解答：解：（）由表可知，优秀等级的学生人数为x+y=2000（380+373+370+377）=500因此，应抽取综合素质测评结果是优秀等级的份数为，即在优秀等级的学生中应抽取20份（）设“优秀等级的学生中男生人数比女生人数多”为事件ax+y=500，x245，y245，且x，y为正整数，数组（x，y）的可能取值为：（245，255），（246，254），（247，253），（255，245），共11个其中满足xy的数组（x，y）的所有可能取值为：（255，245），（254，246），（253，247），（252，248），（251，249）共5个，即事件a包含的基本事件数为5因此，所求概率为答：（i）应抽取综合素质测评结果是优秀等级的20份；（ii）优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率为点评：本题给出学生成绩统计的表格，求抽取综合素质测评结果是优秀生的份数和优秀等级的学生中男生人数比女生人数多的概率，着重考查了随机事件的概率和分层抽样计算公式等知识，属于基础题18（14分）（2013东城区一模）已知函数f（x）=mlnx+（m1）x（mr）（）当m=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程；（）讨论f（x）的单调性；（ iii）若f（x）存在最大值m，且m0，求m的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程专题：综合题；分类讨论；导数的综合应用分析：（）当m=2时求出导数f（x），则切线斜率k=f（1），f（1）=1，利用点斜式即可求得切线方程；（）先求出函数定义域，在定义域内分m0，m1，0m1三种情况解不等式f（x）0，f（x）0即可；（ iii）分情况进行讨论：当m0或m1时f（x）单调，最值情况易判断；当0m1时，由单调性易求得其最大值，令其大于0，解出即可；解答：解：（）当m=2时，f（x）=2lnx+x所以f（1）=3又f（1）=1，所以曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线方程是y1=3（x1），即3xy2=0（）函数f（x）的定义域为（0，+），当m0时，由x0知恒成立，此时f（x）在区间（0，+）上单调递减当m1时，由x0知恒成立，此时f（x）在区间（0，+）上单调递增当0m1时，由f（x）0，得，由f（x）0，得，此时f（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减（ iii）由（）知函数f（x）的定义域为（0，+），当m0或m1时，f（x）在区间（0，+）上单调，此时函数f（x）无最大值当0m1时，f（x）在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以当0m1时函数f（x）有最大值，最大值因为m0，所以有，解之得所以m的取值范围是点评：本题考查利用导数研究函数的单调性、最值及切线问题，考查分类讨论思想，考查学生分析解决问题的能力，属中档题19（13分）（2013东城区一模）已知椭圆c：（ab0）的两个焦点分别为f1，f2，离心率为，且过点（）求椭圆c的标准方程；（）m，n，p，q是椭圆c上的四个不同的点，两条都不和x轴垂直的直线mn和pq分别过点f1，f2，且这两条直线互相垂直，求证：为定值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由离心率为，即可得a2=2b2，从而c：，再把点代入椭圆方程即可求得b2，进而得到a2（）由（）写出焦点f1，f2的坐标，设直线mn的方程为y=k（x+2），由直线mn与直线pq互相垂直得直线pq的方程为，设m（x1，y1），n（x2，y2）联立直线mn与椭圆方程消掉y得x的二次方程，由韦达定理及弦长公式可用k表示|mn|，同理可表示出|pq|，计算即可得到为定值解答：（）解：由已知，得所以a2=2b2所以c：，即x2+2y2=2b2因为椭圆c过点，所以，得b2=4，a2=8所以椭圆c的方程为（）证明：由（）知椭圆c的焦点坐标为f1（2，0），f2（2，0）根据题意，可设直线mn的方程为y=k（x+2），由于直线mn与直线pq互相垂直，则直线pq的方程为设m（x1，y1），n（x2，y2）由方程组消y得（2k2+1）x2+8k2x+8k28=0则 ，所以|mn|=同理可得|pq|=所以=点评：本题考查直线与圆锥曲线的综合问题及椭圆方程的求解，韦达定理及弦长公式是解决该类题目的基础，应熟练掌握20（13分）（201