北京市东城区高三数学上学期期末考试 理 新人教A版.doc

1 东城区东城区 2013 20142013 2014 学年第一学期期末教学统一检测学年第一学期期末教学统一检测 高三数学高三数学 理科 理科 学校学校 班级班级 姓名姓名 考号考号 本试卷共 5 页 共 150 分 考试时长 120 分钟 考生务必将答案答在答题卡上 在试 卷上作答无效 考试结束后 将本试卷和答题卡一并交回 第一部分第一部分 选择题 共 40 分 一 选择题共一 选择题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目分 在每小题列出的四个选项中 选出符合题目 要求的一项 要求的一项 1 已知集合 则 02 axx 1 1 0 bxxx ab a b 0 1 1 2 c d 1 0 1 1 2 在复平面内 复数 的对应点位于 2i i a 第一象限 b 第二象限 c 第三象限 d 第四象限 3 设 则 是 直线与直线平行 的a r1a 10axy 50 xay a 充分而不必要条件 b 必要而不充分条件 c 充分必要条件 d 既不充分也不必要条件 4 执行右图所示的程序框图 输出的a的值为 a b 35 c d 79 5 在 中 则abc15a 10b 60a cosb a b 1 3 3 3 c d 6 3 2 2 3 a a 2 否 开始 s 1 是 a 3 s s a s 100 输出a 结束 2 主视图 侧视图 俯视图 1 2 1 1 6 已知直线3ykx 与圆 22 2 3 4xy 相交于 两点 若mn 则的取值范围为2 3mn k a b 33 33 1 1 3 3 c d 3 3 3 3 7 在直角梯形中 点在线段abcd90a 30b 2 3ab 2bc e 上 若 则 的取值范围是cdaeadab a b c d 0 1 0 3 1 0 2 1 2 2 8 定义设实数满足约束条件则 max a ab a b b ab x y 2 2 x y 的取值范围是max 4 3 zxyxy a b c d 6 10 7 10 6 8 7 8 第二部分第二部分 非选择题 共 110 分 二 填空题共二 填空题共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 若函数为奇函数 当时 则的值为 f x0 x 2 f xxx 2 f 10 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体 的体积为 11 若点为抛物线上一点 则抛物线焦点坐标为 点到抛 4 4 p 2 2ypx p 物线的准线的距离为 12 函数的最大值为 1yxx 3 x y a o p 13 如图 已知点 点在曲线 1 0 4 a 000 0 p xyx 2 yx 上 若阴影部分面积与 面积相等时 则 oap 0 x 14 设等差数列满足 公差 且中任意两项之和也是该数列 n a d n n a n n a 中的一项 若 则 若 则的所有可能取值之和为 1 1a d 5 1 2a d 三 解答题共三 解答题共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 分 解答应写出文字说明 演算步骤或证明过程 15 本小题共 13 分 已知函数 2 2 3sin cos2sin1f xxxx 求的值 12 f 求在区间上的最大值和最小值 f x 0 2 16 本小题共 13 分 已知是一个公差大于 0 的等差数列 且满足 n a 35 45a a 26 14aa 求数列的通项公式 n a 若数列满足 求数列的前项和 n b 12 2 1 222 n n n bbb a n n n bn 17 本小题共 14 分 如图 在三棱柱中 平面 111 abcabc 1 b b 111 abc 1 2accbcc 分别是 的中点 90acb de 11 ab 1 cc 求证 平面 1 c d 1 abe 求证 平面平面 1 abe 11 aab b 求直线与平面所成角的正弦值 1 bc 1 abe b a c a a d a e a a1 b1 2a c1 4 18 本小题共 13 分 已知 函数 a r 1 lnf xxax x 当时 求的最小值 0a f x 若在区间 2 上是单调函数 求的取值范围 f xa 19 本小题共 13 分 已知椭圆上的点到其两焦点距离之和为 且过点 22 22 1 xy ab 0 ab 4 0 1 求椭圆方程 为坐标原点 斜率为的直线过椭圆的右焦点 且与椭圆交于点 ok 11 a x y 若 求 的面积 22 b xy 1212 22 0 x xy y ab aob 20 本小题共 14 分 若无穷数列满足 对任意 存在常数 对任 n a n n 2 1 2 nn n aa a m 意 则称数列为 数列 n n n am n at 若数列的通项为 证明 数列为 数列 n a82n n a n n n at 若数列的各项均为正整数 且数列为 数列 证明 对任意 n a n at n n 1nn aa 若数列的各项均为正整数 且数列为 数列 证明 存在 n a n at 数列为等差数列 0 n n 0 nn a 5 东城区东城区 2013 20142013 2014 学年第一学期期末教学统一检测学年第一学期期末教学统一检测 高三数学参考答案及评分标准高三数学参考答案及评分标准 理科 理科 一 选择题 共一 选择题 共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 分 1 c 2 d 3 a 4 c 5 c 6 a 7 c 8 b 二 填空题 共二 填空题 共 6 6 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 3030 分 分 9 6 10 11 3 2 1 0 5 12 13 14 2 6 4 1 63 三 解答题 共三 解答题 共 6 6 小题 共小题 共 8080 分 分 15 共 13 分 解 由 2 2 3sin cos2sin1f xxxx 3sin2 coscos2xxx 得 2sin 2 6 f xx 所以 8 分 2sin3 123 f 因为0 2 x 所以 2 666 x 当 即时 2 62 x 6 x 函数 f x在区间 0 2 上的最大值为 2 当 即时 2 66 x 2 x 函数 f x在 0 2 上的最小值为 13 分1 16 共 13 分 解 设等差数列 n a的公差为d 则依题设0d 由 可得 26 14aa 4 7a 由 得 可得2d 35 45a a 7 7 45dd 6 所以 1 731ad 可得21 n an 6 分 设 2 n n n b c 则 12 1 nn ccca 即 12 2 n cccn 可得 1 2c 且 121 2 1 nn ccccn 所以 1 2 n c 可知2 n c n n 所以 1 2n n b 所以数列 n b是首项为4 公比为2的等比数列 所以前n项和 2 4 1 2 24 1 2 n n n s 13 分 17 共 14 分 证明 取ab的中点f 连结df 交 1 ab于点m 可知m为df中点 连结em 易知四边形 1 c dme为平行四边形 所以 1 c d em 又 1 c d 平面 1 abe em 平面 1 abe 所以 1 c d 平面 1 abe 4 分 证明 因为 1111 acc b 且d是 11 ab的中点 所以 111 c dab 因为 1 bb 平面 111 abc 所以 11 bbc d 所以 1 c d 平面 11 aab b 又 1 c d 所以平面 11 aab b emem 又平面 em 1 abe 7 所以平面 1 abe 平面 11 aab b 分 解 如图建立空间直角坐标系cxyz 则 0 2 0 b 1 0 0 2 c 0 0 1 e 1 2 0 2 a 1 0 2 2 bc 1 2 0 1 ea 0 2 1 eb 设平面 1 abe的法向量为 x y z n 则 1 0 0 ea eb n n 所以 20 20 xz yz 令1x 则 1 1 2 n 设向量n与 1 bc 的夹角为 则 1 1 3 cos 6 bc bc n n 所以直线 1 bc与平面 1 abe所成角的正弦值为 14 分 3 6 18 共 13 分 解 当0a 时 1 lnf xx x 0 x 22 111 x fx xxx 所以 当01x 时 0fx 当1x 时 0fx 所以 当1x 时 函数有最小值 1 1f 分 2 22 111 axx fxa xxx 当0a 时 1 2 xax在 2 x 上恒大于零 即0 x f 符合要求 当0a 时 要使 f x在区间 2 上是单调函数 当且仅当 2 x 时 2 10axx 恒成立 b a c a a d a e a a1 b1 2a c1 f a m a x a y a z a 8 即 2 1x a x 恒成立 设 2 1 x g x x 则 3 2 x g x x 又 2 x 所以 0g x 即 g x在区间 2 上为增函数 g x的最小值为 1 2 4 g 所以 1 4 a 综上 a的取值范围是 1 4 a 或0a 13 分 19 共 13 分 解 依题意有 1b 2a 故椭圆方程为 2 2 1 4 x y 分 因为直线ab过右焦点 3 0 设直线ab的方程为 3 yk x 联立方程组 2 2 1 4 3 x y yk x 消去y并整理得 2222 41 8 31240kxk xk 故 2 12 2 8 3 41 k xx k 2 12 2 124 41 k x x k 2 1212 2 3 3 41 k y yk xk x k 又 1212 22 0 x xy y ab 即 12 12 0 4 x x y y 所以 22 22 31 0 4141 kk kk 可得 即 2 2 k 2 1 2 k 方程 可化为 2 34 320 xx 由 2 12 1abkxx 可得 2ab 原点o到直线ab的距离 2 3 1 1 k d k 9 所以 13 分 1 1 2 aob sab d 20 共 14 分 证明 由 可得 82n n a 2 2 82n n a 1 1 82n n a 所以 21 21 282822 82 20 nnnn nnn aaa 所以对任意 n n 2 1 2 nn n aa a 又数列为递减数列 所以对任意 n a n n 1 6 n aa 所以数列为 数列 5 分 n at 证明 假设存在正整数 使得 k 1kk aa 由数列的各项均为正整数 可得 n a 1 1 kk aa 由 可得 2 1 2 kk k aa a 21 22 1 2 kkkkkk aaaaaa 且 21111 22 kkkkkk aaaaaa 同理 31 23 kkk aaa 依此类推 可得 对任意 有 n n k nk aan 因为为正整数 设 则 k a k am m n 在中 设 则 k nk aan nm 0 k n a 与数列的各项均为正整数矛盾 n a 所以 对任意 10 分 n n 1nn aa 因为数列为 数列 n at 所以 存在常数 对任意 m n n n am 设 m n 由 可知 对