圆的方程（第一课时）.doc

2.2.1 圆的方程（第一课时）教 材：江苏教育出版社单墫主编普通高中课程标准实验教科书数学2（必修）课 型：新授课内容分析：本课是在学生掌握圆的定义和了解赵州桥这一古老建筑的基础上，通过坐标法求出圆拱所在的圆的方程，进而推出圆的圆的标准方程.然后通过几个具体的例题的讲解，使学生更加深刻地体会到要求圆的标准方程，关键是如何求出圆心的坐标和圆的半径. 地位及作用：本课继续渗透坐标法及“曲线的方程”和“方程的曲线”的思想，在平面解析几何中对直线和圆锥曲线这两章起承上启下的作用.学情分析：授课对象：高一年级中等程度班级的学生.学生概况：学生具有一般的认知、分析、推理和解决能力，学生思维较活跃，但创新思维能力较弱。在学习过程中，大部分学生只重视定理的内容、公式的结论，而不重视其形成过程.教学目标：1、知识掌握目标：掌握圆的标准方程，并能根据方程写出圆心的坐标和圆的半径；会选择适当的坐标解决与圆有关的实际问题.2、基本技能和一般能力培养目标：培养学生观察、分析、抽象、概括的逻辑思维能力和运用数形结合思想解决实际问题的能力.3、创新素质和创新人格的培养目标：培养学生的创新意识和创新思维，培养学生的合作意识.4、德育目标：让学生感受“形”与“数”的对立和统一，渗透相互联系、相互转化的辩证唯物主义观点，通过对圆对称美的感知，激发学生对美好事物的追求，提高学生的数学素养.教学重点 、难点、关键：教学重点： 圆的标准方程及其运用 根据方程写出圆心的坐标和圆的半径教学难点： 求圆的标准方程的条件的确定 坐标法及“曲线的方程”和“方程的曲线”思想教学关键：通过创设赵州桥这个熟悉的情景，调动学生解决问题的兴趣，使用坐标法求桥的圆拱符合的方程，从而得到圆的标准方程，让学生对圆的标准方程从感性认识逐渐上升到理性认识，并能够准确把握其两个元素：圆心坐标和圆的半径.教学方法和手段：1、在介绍赵州桥和解决其圆拱所在的圆的方程时，让学生讨论并使用多媒体课件图示赵州桥；推导圆的标准方程和讲解例题时，需要严格作图设计意图：创设情景，充分调动学生的积极性！严格作图给学生一个示范，这样才能够要求学生认真画图2、在求赵州桥圆拱所在的圆的方程时，按照圆的定义和坐标法进行讲解和运算，将几何问题代数化；例题的讲解需要严格的分析和计算设计意图：帮助学生经历如下的过程：首先将几何问题代数化，用代数的语言描述几何要素及其关系，进而将几何问题转化为代数问题；处理代数问题，分析代数结果的几何含义，最终解决几何问题 普通高中数学课程标准（实验）3、教具准备：直尺、圆规、多媒体课件教学过程：一、创设情景，引入新课如果把直线放 在直角坐标系下，那么其对应的方程是二元一次方程.那么如果把一个圆放在坐标系下，其方程有什么特征？下面我们先看一个实例河北省赵县的赵州桥，是世界上历史最悠久的石拱桥.赵州桥的跨度约为37.4m,圆拱高约为7.2m，如何写出这个圆拱所在的圆的方程？设计意图：通过熟悉的图形调动学生解决问题的兴趣！要求圆的方程，需建立适当的直角坐标系，并求出圆上任意一点（，）所满足的关系式.第一步 以圆拱所对的弦所在的直线为轴，弦的垂直平分线为y轴建立直角坐标系.根据平面几何知识知道，圆拱所在圆的圆心1必在轴上，故可设1（0，）.第二步 设圆拱所在圆的半径为，那么圆上任意一点（，）应满足1=，得，即 . （*）因此，只需确定和的值，就能写出圆的方程.第三步 将点B（18.7，0），C（0，7.2）分别代入（*），得解得.故赵州桥圆拱所在的圆的方程为设计意图：严格的推导计算过程培养学生的缜密的数学素养！一般地，设点是以C为圆心，为半径的圆上的任意一点，则.由两点间的距离公式得即 （1）反过来，若点的坐标是方程（1）的解，则即有这说明在以C为圆心，为半径的圆上.设计意图：说清“曲线的方程”和“方程的曲线”.方程（0）叫做以为圆心，为半径的圆的标准方程.特别地，当圆心为原点时，圆的方程为设计意图：归纳圆的标准方程时，讲透要表示圆的标准方程，必须将圆心坐标和圆的半径算出来.二、强化结论，例题讲解例1 求圆心是，且经过原点的圆的方程.解 因为圆经过坐标原点，所以圆的半径是因此，所求圆的方程是例2 已知隧道的截面是半径为4m的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为2.7m，高为3m的货车能不能驶入这个隧道？解 以某一截面半圆的圆心为坐标原点，半圆的直径AB所在的直线为轴，建立直角坐标系，那么半圆的方程为将代入，得3.即在离中心线2.7m处，隧道的高度低于货车的高度.因此，货车不能驶入这个隧道.思考：假设货车的最大宽度为a米，那么货车要驶入该隧道，限高为多少？设计意图：例1强化要得到的圆的标准方程的两个条件；例2设计一个应用型问题，增加学生解决问题的兴趣.例3 求过两点A（0，4）、B（4，6），且圆心在直线上的圆的标准方程.分析一 由圆的标准方程知，要确定圆的标准方程，只需确定a,b,r三个量，可用待定系数法.解法一 设圆心坐标为，圆半径为.则圆方程为，圆心在直线上， 又圆过两点A（0，4）、B（4，6）， 且 由得圆方程为.分析二 由垂径定理知圆心在弦AB的垂直平分线上，又由已知条件知圆心在直线上，因此，圆心是这两条直线的交点. 解法二 线段AB的中点坐标为（2，5），直线AB的斜率为，线段AB的垂直平分线方程为，即.解方程组得圆心的坐标为（4，1）.半径圆方程为例4 已知两点A（4，9）、B（6，3），求以AB为直径的圆的方程，并且判断点M（6，9）、N（3，3）、Q（5，3）是在圆上，在圆内，还是在圆外？分析 线段AB的中点即为圆心，AB长即为直径.判断点与圆的位置关系只需判断点到圆心的距离与半径的大小关系.解 线段AB中点为（5，6），即为圆心，圆半径为以AB为直径的圆的方程为点M在圆上，点N在圆外，点P在圆内。三、及时巩固，课堂练习1、写出下列各圆的方程：（1） 圆心在原点，半径为6；（2） 经过点P(6,3)，圆心为C(2,-2)设计意图：练习要得到的圆的标准方程的两个条件.2、求以点C（-1，-5）为圆心，并且和y轴相切的圆的方程.设计意图：通过一些特定的条件快速地得到某些圆的标准方程的条件.四、归纳概括，课堂小结通过本节学习，我们掌握了圆的标准方程，了解了待定系数法，进一步熟悉了求曲线方程的一般步骤，并能解决一些简单的与圆有关的实际问题.其中通过圆的标准方程，我们可以知道圆心坐标和圆的半径长，也就是说，要求圆的标准方程，关键是找到圆心坐标和算出半径长，计算中可以通过初中时学的垂径定理和解直角三角形来解决.作业布置、加强练习： 感受理解1、 求满足下列条件的圆的方程：（1） 过点（，），圆心是（3，0）；（2） 圆心在直线2x-3y+5=0上，且与两坐标轴均相切；（3） 经过点A（3，5）和B（-3，7），且圆心在x轴上.2、 已知圆的内接正方形相对的两个顶点的坐标分别是A（5，6），C（3，-4），求这个圆的方程.3、 已知圆过点P（-4，3），圆心在直线2x-y+1=0上，且半径为5，求这个圆的方程. 思考运用1、 若点