北京市东城区普通示范校高三数学下学期模拟试卷 文（含解析）.doc

北京市东城区普通示范校2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合a=xr|3x2，b=xr|x24x+30，则ab=( )a（3，1b（3，1）c1，2）d（，2）3，+）2已知复数z1=a+2i，z2=12i，若是纯虚数，则实数a的值为( )a2b1c2d43“”是“cos”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件4如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )ak11bk10ck9dk85已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是( )a4cm2b12cm2c8+4cm2d4+4+2cm26已知f（x）=2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为( )a3b2c1d07已知直线y=x2与圆x2+y24x+3=0及抛物线y2=8x的四个交点从上到下依次为a、b、c、d四点，则|ab|+|cd|=( )a12b14c16d188已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是( )a（，2）b（，0）c（0，2）d（2，0）二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9不等式组表示的平面区域的面积为_10设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则|2|=_11在等差数列an中，a1=3，a4=2，则a4+a7+a3n+1等于_12直线xy4=0被圆（x2）2+y2=4截得的弦长为_13已知0x，且sin2x=，则sin（x）的值为_14已知数集a=a1，a2，a3，a4，a5（0a1a2a3a4a5）具有性质p：对任意i，jz，其中1ij5，均有（ajai）a，若a5=60，则a3=_三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15设数列an的前n项和为sn，且sn=2an1（n=1，2，）（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn+1=an+bn（n=1，2，），b1=2，求数列bn的通项公式16在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，满足c=1，cosbsinc（asinb）cosc=0（1）求c的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角a，b的值17如图，将矩形abcd沿对角线bd把abd折起，使a点移到a1点，且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上（）求证：bca1d；（）求证：平面a1cd平面a1bc；（）若ab=10，bc=6，求三棱锥a1bcd的体积18设ar，已知函数f（x）=ax33x2（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意的x1，3，有f（x）+f（x）0恒成立，求实数a的取值范围19已知椭圆w：=1的左焦点为f（m，0），过点m（3，0）作一条斜率大于0的直线l与w交于不同的两点a、b，延长bf交w于点c（）求椭圆w的离心率；（）求证：点a与点c关于x轴对称20已知定义在（1，+）上的函数f（x）=xlnx2，g（x）=xlnx+x（1）求证：f（x）存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若kz，且g（x）k（x1）对任意的x1恒成立，求k的最大值北京市东城区普通示范校2015届高考数学模拟试卷（文科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项）1已知集合a=xr|3x2，b=xr|x24x+30，则ab=( )a（3，1b（3，1）c1，2）d（，2）3，+）考点：交集及其运算 专题：计算题分析：求解一元二次不等式化简集合b，然后直接利用交集运算求解解答：解：由x24x+30，得：x1或x3所以b=xr|x24x+30=xr|x1或x3，又a=xr|3x2，所以ab=xr|3x2xr|x1或x3=x|3x1故选a点评：本题考查了交集及其运算，考查了一元二次不等式的解法，是基础题2已知复数z1=a+2i，z2=12i，若是纯虚数，则实数a的值为( )a2b1c2d4考点：复数代数形式的乘除运算 专题：数系的扩充和复数分析：利用复数的运算法则、纯虚数的定义即可得出解答：解：=是纯虚数，则，解得a=4故选：d点评：本题考查了复数的运算法则、纯虚数的定义，属于基础题3“”是“cos”的( )a充分不必要条件b必要不充分条件c充要条件d既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题：计算题；三角函数的求值分析：本题研究充分条件与必要条件的判断，利用充分条件与必要条件的定义结合三角的知识作出判断选出正确选项解答：解：由题意“”成立时，一定有“cos”成立，故“”是“cos”充分条件；又“cos”时，可得=2k，kz，故“”不是“cos”的必要条件综上“”是“cos”的充分不必要条件故选a点评：本题考查充要条件的判断，解题的关键是理解充要条件的定义，对所研究命题的原命题的真假性与逆命题的真假性作出判断，熟练掌握命题中相关的知识对做对此类题也是很关键的，此类题可涉及的知识较多，需要对高中所学的知识有着全盘的了解，做充分条件必要条件这方面的题才少遇到困难4如图是一算法的程序框图，若此程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是( )ak11bk10ck9dk8考点：程序框图 专题：图表型；算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的s，k的值，当s=55时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是k10解答：解：模拟执行程序框图，可得k=2，s=1满足条件，s=3，k=3满足条件，s=6，k=4满足条件，s=10，k=5满足条件，s=15，k=6满足条件，s=21，k=7满足条件，s=28，k=8满足条件，s=36，k=9满足条件，s=45，k=10满足条件，s=55，k=11此时，由题意，应该不满足条件，退出循环，输出程序运行结果为s=55，则在判断框中应填入关于k的判断条件是k10故选：b点评：本题主要考查了循环结构的程序框图，当s=55时退出循环，输出程序运行结果为s=55，得到退出循环的条件是解题的关键，属于基本知识的考查5已知一个棱锥的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm），可得这个棱锥的侧面积是( )a4cm2b12cm2c8+4cm2d4+4+2cm2考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：由已知的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，计算出各个侧面的面积，相加可得答案解答：解：由已知的三视图可得：该几何体直观图如下：其中pa底面abcd，pa=ab=ad=2cm，bc=4cm，底面abcd是以ab为直角角的直角梯形，故spab=spad=22=2cm2，pb=pd=cd=2cm，ac=2cm，pc=cm，故pbbc，spbc=4=4cm2，等腰pcd底边pc上的高为：=cm，故spcd=2cm2，故棱锥的侧面积s=22+4+2=4+4+2cm2，故选：d点评：本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状6已知f（x）=2|x|+x2+a有唯一的零点，则实数a的值为( )a3b2c1d0考点：函数的零点 专题：函数的性质及应用分析：构造g（x）=2|x|+x2，根据性质，画出函数图象，转化为g（x）与y=a有唯一的交点，求解即可解答：解：设g（x）=2|x|+x2，g（x）=g（x），g（x）是偶函数，当x0时，g（x）=2x+x2，单调递增函数，当x0时，g（x）=（）x+x2，单调递减函数，g（x）g（0）=1，f（x）=2|x|+x2+a有唯一的零点，g（x）与y=a有唯一的交点，即a=1，故选：c点评：本题考查了函数的零点，运函数图象的交点问题求解，构造容易判断性质，转化为函数图象的函数7已知直线y=x2与圆x2+y24x+3=0及抛物线y2=8x的四个交点从上到下依次为a、b、c、d四点，则|ab|+|cd|=( )a12b14c16d18考点：圆与圆锥曲线的综合 专题：计算题分析：由已知圆的方程为（x2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x2过（2，0）点，则|ab|+|cd|=|ad|2，因为，有x212x+4=0，由此能够推导出|ab|+|cd|=162=14解答：解：由已知圆的方程为（x2）2+y2=1，抛物线y2=8x的焦点为（2，0），直线y=x2过（2，0）点，则|ab|+|cd|=|ad|2，因为，有x212x+4=0，设a（x1，y1），d（x2，y2），则x1+x2=12，则有|ad|=（x1+x2）+4=16，故|ab|+|cd|=162=14，故选b点评：本题考查圆锥曲线和直线 的综合运用，解题时要注意合理地进行等价转化8已知f（x）=，不等式f（x+a）f（2ax）在a，a+1上恒成立，则实数a的取值范围是( )a（，2）b（，0）c（0，2）d（2，0）考点：函数单调性的性质 专题：函数的性质及应用分析：根据二次函数的单调性容易判断出函数f（x）在r上单调递减，所以根据题意得到x+a2ax，即2xa在a，a+1上恒成立，所以只需满足2（a+1）a，解该不等式即得实数a的取值范围解答：解：二次函数x24x+3的对称轴是x=2；该函数在（，0上单调递减；x24x+33；同样可知函数x22x+3在（0，+）上单调递减；x22x+33；f（x）在r上单调递减；由f（x+a）f（2ax）得到x+a2ax；即2xa；2xa在a，a+1上恒成立；2（a+1）a；a2；实数a的取值范围是（，2）故选：a点评：考查二次函数的对称轴，二次函数的单调性，以及分段函数单调性的判断方法，函数单调性定义的运用，以及一次函数的单调性二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）9不等式组表示的平面区域的面积为1考点：二元一次不等式（组）与平面区域 专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用分析：作出平面区域，从而由三角形面积公式求解即可解答：解：不等式组表示的平面区域如下，在agh中，ag=2，点h到直线ag的距离为1，故s=12=1，故答案为：1点评：本题考查了平面区域的作法与应用，属于基础题10设平面向量=（1，2），=（2，y），若，则|2|=5考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：由向量垂直的条件：数量积为0，可得y=1，再由向量的模的公式和向量的模的平方即为向量的平方，计算即可得到解答：解：平面向量=（1，2），=（2，y），若，则=0，即有2+2y=0，解得y=1，即有|=，|=，则|2|2=（2）2=44+=4540+5=25，则|2|=5故答案为：5点评：本题考查向量的数量积的坐标表示和性质，主要考查向量的平方即为模的平方，以及向量垂直的条件，属于基础题11在等差数列an中，a1=3，a4=2，则a4+a7+a3n+1等于考点：等差数列的前n项和 专题：等差数列与等比数列分析：利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可得出解答：解：设等差数列an的公差为d，a1=3，a4=2，3+（41）d=2，解得d=a3n+1=3na4+a7+a3n+1=（31）+（32）+（3n）=故答案为点评：熟练掌握等差数列的通项公式和前n项和公式是解题的关键12直线xy4=0被圆（x2）2+y2=4截得的弦长为2考点：直线与圆相交的性质 专题：直线与圆分析：根据圆的方程可得圆心和半径，再利用点到直线的距离公式求得弦心距，利用弦长公式求得弦长解答：解：圆（x2）2+y2=4的半径为2，圆心（2，0）到直线xy4=0的距离d=1，故弦长为2=2=2，故答案为：点评：本题主要考查直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题13已知0x，且sin2x=，则sin（x）的值为考点：两角和与差的正弦函数；二倍角的正弦 专题：三角函数的求值分析：由条件利用诱导公式，二倍角公式求得 的值，再根据x为钝角，可得sin（x）0，从而求得sin（x）的值解答：解：由于sin2x=cos（2x+）=12=12，=再根据0x，且sin2x=2sinxcosx，可得x为钝角，x（，），sin（x）0，sin（x）=，故答案为：点评：本题主要考查诱导公式，二倍角公式的应用，三角函数在各个象限中的符号，属于基础题14已知数集a=a1，a2，a3，a4，a5（0a1a2a3a4a5）具有性质p：对任意i，jz，其中1ij5，均有（ajai）a，若a5=60，则a3=30或36考点：数列的函数特性 专题：等差数列与等比数列分析：对a1分类讨论，利用性质p：对任意i，jz，其中1ij5，均有（ajai）a，及其a5=60，即可得出解答：解：当a1=0时，则a2a1=a2a，a20，则a3a2=a2，a3=2a2，同理可得a4=3a2，a5=4a2；由4a2=60，解得a2=15，即a=0，15，30，45，60a5=60，a3=30 当a10时，同理可得a=12，24，36，48，60，a3=36点评：本题考查了满足某种性质的数列、集合的求法，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题三、解答题（本大题共6小题，共80分解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程）15设数列an的前n项和为sn，且sn=2an1（n=1，2，）（）求数列an的通项公式；（）若数列bn满足bn+1=an+bn（n=1，2，），b1=2，求数列bn的通项公式考点：数列递推式 专题：等差数列与等比数列分析：（i）通过sn=2an1，推出an=2an1，然后求解（ii）利用体积推出，利用累加求出通项公式解答：（共13分）解：（i）因为sn=2an1（n=1，2，），则sn1=2an11（n=2，3，），所以当n2时，an=snsn1=2an2an1，整理得an=2an1，由sn=2an1，令n=1，得a1=2a11，解得a1=1所以an是首项为1，公比为2的等比数列，可得（ii）因为，由bn+1=an+bn（n=1，2，），得，由累加得bn=b1+（b2b1）+（b3b2）+（bnbn1）=，当n=1时也满足，所以点评：本题考查数列求和，累加法的应用，考查计算能力16在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边，满足c=1，cosbsinc（asinb）cosc=0（1）求c的大小；（2）求a2+b2的最大值，并求取得最大值时角a，b的值考点：余弦定理；正弦定理 专题：三角函数的求值；解三角形；不等式的解法及应用分析：（1）利用两角和的正弦函数和诱导公式化简，结合正弦定理和同角的商数关系，即可求得c；（2）由余弦定理以及基本不等式求解，最值即可求得解答：解：（1）cosbsinc（asinb）cosc=0，即有sinbcosc+cosbsinc=acosc，即sin（b+c）=acosc，即sina=acosc由正弦定理可知：=，由于c=1，则sinc=cosc，即tanc=1，c是三角形内角，c=（2）由余弦定理可知：c2=a2+b22abcosc，得1=a2+b2ab，又ab，（1）（a2+b2）1，即a2+b22+当且仅当a=b即a=b=时，a2+b2取到最大值为2+点评：本题考查三角形的最值，余弦定理的应用，正弦定理的应用，考查计算能力17如图，将矩形abcd沿对角线bd把abd折起，使a点移到a1点，且a1在平面bcd上的射影o恰好在cd上（）求证：bca1d；（）求证：平面a1cd平面a1bc；（）若ab=10，bc=6，求三棱锥a1bcd的体积考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的性质；平面与平面垂直的判定 专题：空间位置关系与距离分析：（i）证明bca1o推出bc平面a1cd通过直线与平面垂直的性质定理证明bca1d（ii）证明a1da1b推出a1d平面a1bc然后证明平面a1bc平面a1cd（iii）利用，求出底面面积与高，即可求出几何体的体积解答：（共14分）解：（i）因为a1在平面bcd上的射影o在cd上，所以a1o平面bcd又bc平面bcd，所以bca1o又bcco，coa1o=o，co平面a1cd，a1o平面a1cd，所以bc平面a1cd又a1d平面a1cd，所以bca1d（ii）因为矩形abcd，所以a1da1b由（i）知bca1d又bca1b=b，bc平面a1bc，a1b平面a1bc，所以a1d平面a1bc又a1d平面a1cd，所以平面a1bc平面a1cd（iii）因为a1d平面a1bc，所以a1da1c因为cd=10，a1d=6，所以a1c=8所以点评：本题考查直线与平面垂直的判定与性质吗，平面与平面垂直的判定定理的应用，几何体的体积的求法，考查逻辑推理以及计算能力18设ar，已知函数f（x）=ax33x2（）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；（）若对任意的x1，3，有f（x）+f（x）0恒成立，求实数a的取值范围考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性 专题：导数的综合应用分析：（i）当a=1时，f（x）=x33x2，求出函数的导数，求解函数的单调区间（ii）题目转化为对x1，3恒成立构造函数利用导数求解函数的最小值，即可得到实数a的取值范围解答：（共13分）解：（i）当a=1时，f（x）=x33x2，则f（x）=3x26x，由f（x）0，得x0，或x2，由f（x）0，得0x2，所以f（x）的单调递增区间为（，0），（2，+），单调递减区间为（0，2）（ii）依题意，对x1，3，ax33x2+3ax26x0，这等价于，不等式对x1，3恒成立令，则，所以h（x）在区间1，3上是减函数，所以h（x）的最小值为所以，即实数a的取值范围为点评：本题考查函数的导数的应用，函数的最值的求法，考查转化思想以及计算能力19已知椭圆w：=1的左焦点为f（m，0），过点m（3，0）作一条斜率大于0的直线l与w交于不同的两点a、b，延长bf交w于点c（）求椭圆w的离心率；（）求证：点a与点c关于x轴对称考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的简单性质 专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（i）利用已知条件求出m值得到椭圆的方程求出离心率（ii）设直线l的方程为y=k（x+3）联立利用判别式求出k的范围，设点a，b的坐标分别为（x1，y1），（x2，y2），结合韦达定理求出设点a关于x轴的对称点为c，则c