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1 第第1章章 量子力学基础量子力学基础 宏观物体的运动状态用位置 运动的速度 动量 和加速度来描述 其运动 规律遵循牛顿三定律 微观粒子 简称粒子 的状态是否也可以用这些物理量来 描述 对于质量很小的物体 如分子 原子 电子等微观粒子 其运动有两个不 同于宏观物体的特点 量子化和波粒二象性 如果某一物理量是不连续的 而是以某一最小单位作跳跃式增减 则称这一 物理量是 量子化量子化 的 其最小变化单位叫做这一物理量的 量子 波粒二象波粒二象 性性是指微观粒子既有粒子的性质又有波动的性质 以牛顿三定律为主体的经典力 学无法反映微观粒子的这些特点 所以 经典力学不适用于微观粒子运动规律的 描述 二十世纪初 基于对微观粒子特点的认识 物理学家们建立了描述微观粒 子运动规律的科学 量子力学 1 2 这一章主要介绍利用量子力学原理进行模 拟计算所需要的最基本的量子力学知识 1 1 波函数与薛定谔方程波函数与薛定谔方程 1 1 1 波粒二象性波粒二象性 到十九世纪末 经典物理已经发展得十分完善 只有个别现象无法用经典物 理来解释 如黑体辐射 光电效应 原子的光谱线系及固体在低温下的比热等 这些现象揭示了经典物理的局限性 为了解释黑体辐射现象 德国物理学家普朗克 Max Planck 于 1900 年提 出量子的概念 假设黑体发射和吸收的能量不是连续的 而是一份一份的 每一 份的能量是 h 称为能量子能量子 其中 是辐射的频率 h 是普朗克常数 h 6 626x10 34 焦耳 秒 基于这个假设 普朗克从理论上推导出与实验结果符合得很好的黑体 辐射公式 从而解释了黑体辐射现象 1905 年爱因斯坦 Albert Einstein 用光 量子的观点成功地解释了光电效应 他认为电磁辐射不仅在被发射和吸收时以能 量为 h 的微粒形式出现 而且以这种形式在空间以光速运动 康普顿效应的发 现 进一步证实了光具有粒子性 因为光的波动理论早已被干涉 衍射等现象证 2 实 而光的粒子性并不否定光的波动性 所以 光具有微粒和波动的双重性质 这种性质称为光的波粒二象性光的波粒二象性 1923 年 法国物理学家德布罗意 L de Broglie 在光的波粒二象性的启发 下 提出了电子及其它实物粒子具有波动性的假说 即实物粒子也具有波粒二象 性 与运动的实物微粒相联系的波被称为德布罗意物质波德布罗意物质波 简称德德布罗意波布罗意波或物物 质波质波 其波长称为德布罗意波长德布罗意波长 德布罗意波长 频率 与粒子的动能 E 动量 p之间的关系为 hE 1 1 knp h 1 2 式中 表示角频率 34 1 0545x102 h 焦耳 秒 是量子力学中常用 的符号 n是沿动量方向的单位向量 nk 2 1 3 k称为波矢波矢 1 1 和 1 2 式被称为德布罗意关系式德布罗意关系式 德布罗意关系式将实物粒子 的波动性和粒子性联系起来 等式左边描述的是粒子性 能量和动量 等式右 边描述的是波动性 频率和波长 若微粒的质量为 m 运动速率为 v 由德布 罗意关系式 1 2 可求出与此微粒相联系的德布罗意波长 为 mv h p h 1 4 自由粒子的能量和动量都是常数 由德布罗意关系式可知 与自由粒子相联 系的德布罗意波的波矢和频率也是常数 这个波是一个平面波 其复数形式为 Et i ti AeAet rp rk r 1 5 由此可见 自由粒子的状态可用一个平面波 来描述 经典粒子最显著的特征是颗粒性 即在空间某局域出现 运动时有确切的轨 道 而不是弥散在空间中 经典波是某种物理量的空间分布作周期性变化 其显 著特征是干涉和衍射现象 即相干叠加性 在经典概念下 粒子与波难以统一到 一个客体上 然而 微观粒子的波粒二象性并非经典概念下的粒子性与波动性 这里粒子性是指微观粒子具有 颗粒性 而不是运动具有确切的轨道 波动性 是指微粒具有干涉 衍射现象 即 相干叠加性 而不是某物理量在空间分布 3 的周期性变化 1 1 2 波函数及其统计诠释波函数及其统计诠释 经典物理中 物体的运动状态用其坐标和动量来描述 给定了坐标和动量就 确定了物体的状态 也确定了其它力学量 如能量 角动量等 微观粒子具有波 粒二象性 无法用经典方法来描述 为了体现微观粒子的波动性 微观粒子的状 态用描述其德布罗意波的函数来描述 记为 tr 称为波函数波函数或状态函数状态函数 波函数的物理意义是什么 波恩 M Born 于 1926 年提出了波函数的统计波函数的统计 解释解释 波函数在空间某一点的强度 模的平方 和在该点找到粒子的几率成正比 按照这种解释 描述粒子的波是一种几率波 如果已知描述粒子的波函数 由波 函数的模的平方就可以得到在空间任意一点找到粒子的几率 以后我们将看到 由波函数可以得出微观体系的各种性质 因此 量子力学用波函数描述微观体系 的量子状态 简称状态 对于波函数为 tzyx 的微观粒子 于时刻 t 在区间 x x dx y y dy z z dz 内找到粒子的个数 zyxtzyxtzyx kN ddd d 1 6 则粒子总数为 Nd 1 7 粒子于时刻 t 在微体积 d 内出现的几率 dW 为 k k N N W d d d dd d 1 8 令 1d 1 9 这一条件称为归一化条件归一化条件 满足 1 9 式的波函数称为归一化波函数归一化波函数 对于归一化 的单粒子波函数 Wdd 1 10 则 4 2 d d W 1 11 式中 是在 x y z 点附近单位体积 d 内发现粒子的几率 称为几率密度几率密度 这正 是玻恩提出的波函数的统计诠释 如果波函数不满足 1 9 式 只需把原来的波函数乘以一个常数 C 使 C 满 足归一化条件 即 1d CC d 1 2 2 C 1 12 C 称为归一化常数归一化常数 这个将波函数归一化的过程称为归一化归一化 不难发现 归一化 波函数可以含有任意相因子 ei 由 1 8 式可知 和 C 描述的是同一量子态 C 是不为零的常数 即波函数乘以一个常数后 所描述的粒子状态不变 由于 2 是粒子出现的几率密度 波函数在变量变化的全部区域内通常 应满足三个条件 有限性 连续性和单值性 这三个条件称为波函数的标准条件波函数的标准条件 除了标准条件 一般地 波函数还应满足边界条件和归一化条件 1 1 3 态叠加原理态叠加原理 微观粒子的状态不能用经典力学的方法来描述 而需用波函数来描述 这源 于微观粒子的波粒二象性 波函数的统计解释是波粒二象性的一个体现 微观粒 子的波粒二象性还体现在量子力学中关于状态的基本原理 态叠加原理中 如果 和 是体系可能的状态 那么 它们的线性叠加 2211 CC C1 C2是复数 1 13 也是这个体系的一个可能的状态 这就是量子力学中的态叠加原理态叠加原理 这一原理可 以扩展为体系的多个状态的叠加 正是由于波函数满足态叠加原理 我们才可以 采用波函数线性组合的方法构建新的波函数 量子力学的态叠加原理与经典物理中波动的叠加原理不同 在经典物理中 两个波动过程 和 线性叠加的结果 a b 也是一个可能的波动过程 这种 叠加是实在物理量的叠加 如机械波的质点位移 电磁波的电场强度和磁场强 5 度 在量子力学中 当粒子处于态 1和态 2的线性叠加态 时 粒子既可以处 在态 1又可以处在态 2 测量时将会发现 粒子分别以一定几率处在态 1和态 2 1 1 4 薛定谔方程薛定谔方程 量子力学的基本方程量子力学的基本方程 微观粒子的状态用波函数来描述 那么 微观粒子的状态随时间的变化遵循 什么规律呢 1926 年奥地利物理学家薛定谔 A Schr dinger 提出了在势场 rV中运动的微观粒子的波函数 所满足的微分方程 t iV 2 2 2 r 1 14 其中 是粒子的质量 方程 1 14 称为薛定谔方程薛定谔方程 或称波动方程波动方程 它描述了微观 粒子的运动规律 它在量子力学中的地位相当于牛顿方程在经典力学中的地位 薛定谔方程不是经过严格推导得到的 而是量子力学的一个基本假设 其正确性 已由各种情况下用此方程得出的结论与实验结果相符而得到了验证 1 1 5 定态薛定谔方程定态薛定谔方程 如果作用于微观体系的势场与时间无关 薛定谔方程 1 14 可用分离变量法 进行求解 令 tftrr 1 15 代入方程 1 14 得 t f f i V d d 2 1 2 2 r 1 16 上式的左边只与坐标r有关 而右边只与时间 t 有关 r和 t 均为独立变量 所以 只有两边同时等于某一常数时 等式才被满足 令这个常数为 E 上式分解为两 个方程 6 Ef t f i d d 1 17 EV 2 2 2 r 1 18 方程 1 17 的解为 t iE Cetf C 为任意常数 1 19 将这一结果代入 1 15 式 把常数 C 并入 r 中 就得到薛定谔方程 1 14 的特 解 t iE et rr 1 20 这个波函数与时间的关系是正弦的 它的角频率 E 按照德布罗意关系 常数 E 正是体系处于这个波函数所描述的状态时的能量 这种能量具有确定值的 状态称为定态定态 相应地 1 20 所表示的波函数 tr 称为定态波函数定态波函数 方程 1 18 称为定态薛定谔方程定态薛定谔方程 从定态波函数的表达式不难看出 在定态中几率密度与时 间无关 1 2 算符与力学量算符与力学量 1 2 1 算符算符 量子力学中经常用到算符的概念 所谓算符算符就是作用在一个函数上得到另一 个函数的数学运算符号 例如 xxF 其中 x 和 x 是函数 x 代表所有变量 F 代表某种运算符号 称为算符 算符的加法算符的加法 是任意函数 算符F 与G 的和GF 满足 GFGF 1 21 算符的乘法算符的乘法 是任意函数 算符F 与G 的积GF 满足 7 GFGF 1 22 若算符F 作用于波函数 tq q 代表描述体系的坐标 等于某一常数 乘 以 tq 即 tqtqF 1 23 则称 1 23 式为算符F 的本征方程本征方程 称为算符F 的本征值本征值 tq 为属于本征 值 的本征函数本征函数 算符F 的本征函数所描述的状态称为F 的本征状态本征状态 本征值是 与体系所处的本征状态相对应的 算符全部本征值的集合 称为本征值谱本征值谱 本征 值谱可以是离散的 也可以是连续的 或者两者兼而有之 对于任意函数 和 若算符F 满足 F F F 1 24 则称F 为线性算符线性算符 对于任意函数 和 若算符F 满足 xFxFd d 1 25 则称F 为厄密算符厄密算符 1 25 式中x代表所有的变量 积分范围是所有变量变化 的整个区域 厄密算符的基本性质 1 厄密算符的本征值是实数 若 是厄密算符F 的本征值 即存在函数 x x 代表所有的变量 使得 xxF 1 26 则 2 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交 若 k l是厄密算符F 的本征值 k 和 l 是相应的本征函数 即 8 kkk F 1 27 lll F 1 28 且 lk 则 0d lk 1 29 这一性质称为算符本征函数的正交性本征函数的正交性 若厄密算符F 的本征函数均已归一化 即 1d kk 1 30 则 0 1 d lk lk kllk 1 31 1 31 式称为厄密算符本征函数的正交归一性关系正交归一性关系 适用于F 的本征值谱为离散 谱的情况 若厄密算符F 的本征值谱是连续的 则本征函数 可归一化为 函数 与 1 31 式对应的正交归一关系为 d 1 32 满足 1 31 式或 1 32 式的函数系 k 或 称为正交归一函数系正交归一函数系 正交归一系正交归一系 3 厄密算符的本征函数组成完全系 数学上已经证明了一个完全性定理完全性定理 满足一定条件的厄密算符的全体本征函 数构成完备的正交归一函数系 x n 使得任意函数 x 可以用它展开成傅立叶 级数 xCx n n n 1 33 式中 Cn与 x 无关 由 x n 的正交归一性 可得 xxxC nn d 1 34 厄密算符本征函数的这一性质 称为本征函数的本征函数的完全性完全性 或完备性完备性 上面给出的是本征值谱为离散谱的情况 若本征值谱是连续的 则与 1 33 式和 1 34 式对应的关系分别为 9 d xCx 1 35 xxxCd 1 36 1 2 2 力学量的表示力学量的表示 量子力量子力学基本假设学基本假设 如果用算符F 表示力学量 F 那么当体系处于F 的本征 态 时 力学量 F 有确定值 这个值就是F 在状态 中的本征值 表示力学量的算符的本征值是这个力学量的可能值 而力学量的数值都是实 数 所以表示力学量的算符的本征值必须是实数 上面介绍的厄密算符具有本征 值为实数的性质 另外 为了满足态叠加原理的要求 应采用线性算符来表示力 学量 因此 在量子力学中 表示力学量的算符必须是线性厄密算符 即体系的 每一个可观测量都有一个线性厄密算符与之对应 坐标 动量 能量的算符对应 如下 坐标 rrr 1 37a 动量 ipp 1 37b 动能 22 2 22 p TT 1 37c 能量 EEi t 1 37d 量子力学基本假设 量子力学基本假设 如果量子力学中的力学量 F 在经典力学中有对应的力 学量 将其经典表示式 pr F中的pr 分别换成算符p r 即可得到力学量 F 的算 符F 即 iFFF rprpr 1 38 使用算符可将薛定谔方程写成 t iH 1 39 式中 10 rrV VTH 2 2 2 1 40 由于经典力学中将体系的动能函数与势能函数之和称为哈密顿 Hamilton 函数 故称H 为哈密顿算符哈密顿算符 又称为能量算符能量算符 定态薛定谔方程 1 18 就是哈密 顿算符的本征方程 哈密顿算符的本征值就是体系的能量E 满足该方程的波函 数 是哈密顿算符的本征函数 即体系处于状态 时 具有确定的能量 如果所讨论的体系不只含一个粒子 而是含有 N 个粒子 N 1 则称这个 体系为多粒子体系多粒子体系 以 N rrr 21 表示这 N 个粒子的坐标 描述体系状态的波 函数则是 N rrr 21 的函数 记为 21N rrr 体系的能量为 2 21 1 2 N N i i i VErrr P 1 41 式中 i是第 i 个粒子的质量 i P是第 i 个粒子的动量 21N Vrrr 是体系的 势能 它包括体系在外场中的势能和粒子间的相互作用能 根据量子力学中关于力学量算符的假设 可得多粒子体系的哈密顿算符 2 21 1 2 2 N N i i i V Hrrr 1 42 i 是对第 i 个粒子坐标微商的梯度算符 在直角坐标系中 iii i zyx kji 将多粒子体系的哈密顿算符代入 39 式 得到 V t i N i i i 1 2 2 2 1 43 这就是多粒子体系的薛定谔方程多粒子体系的薛定谔方程 1 2 3 力学量的取值力学量的取值 经典力学中 物体在任意状态下的力学量都是确定的 可用力学量对物体的 状态做完全的描述 对于微观粒子 只有当它处于某力学量算符的本征态时 该 11 力学量才有确定值 这个值就是该本征态下算符的本征值 当粒子处于任意波函 数描述的状态时 力学量的取值不是确定的 而是存在着统计分布 这是微观粒 子的运动规律 用量子力学描述 与经典力学描述的运动规律的一个本质区别 设粒子处于任意波函数 x 描述的状态 现在考察力学量 F 的取值 由厄密 算符的性质可知 与力学量 F 对应的厄密算符F 的本征函数系 x n 是正交归 一完全系 x n 满足 xxF nnn 2 1in 根据前面介绍的完全性定理 任意波函数 x 可按F 的本征函数系 x n 展开 见 1 33 式 由此可见 用F 的本征函数的线性叠加可以表示任意状态 x x n 相当于一个多维空间的基矢 单位轴向量 x 相当于这个多维空间中的一个 向量 Cn相当于 x 在 x n 轴上的投影 若 x 是F 的某个本征态 即 xx i 则 1 33 式中的系数除 Ci 1 外 均为零 这相当于 x 位于 x i 轴上 根据算符表示力学量的假设 这时力学 量 F 的取值就是F 的本征值 i 测量 F 得到 i的几率为 1 得到其它值的几率为 零 现在 x 是 x n 的线性叠加 可以推论 在 x 态中测量力学量 F 得到的 值一定是F 的本征值谱 n 中的一个值 不可能是 n 之外的值 那么 测量 F 得到 i的几率是多少 如果状态函数 x 已归一化 利用 1 33 式和 x n 的正交归一性 可得 2 d 1 n n Cxxx 1 44 当 xx i 时 Ci 1 Cn 0 in F 的取值必为 i 由这个特例和 1 44 式可知 2 n C具有几率的意义 它表示在 x 态中测量力学量 F 得到F 的本征值 n的几率 基于这个原因 Cn常被称为几率振幅几率振幅 1 44 式说明总的几率等于 1 归纳上面的讨论 我们引进量子力学中关于力学量与算符的关系的一个基本关于力学量与算符的关系的一个基本 12 假设 假设 量子力学中表示力学量的算符都是线性厄密算符 它们的本征函数组成完 全系 当微观体系处于任意波函数 x 所描述的状态时 xCx n n n 其 中 x n 满足本征方程 xxF nnn 测量力学量 F 所得的数值 必定是其 对应算符F 的本征值 n 之一 测得 n的几率是 2 n C x 是归一化的 这个假设的正确性 如薛定谔方程一样 已由整个理论与实验结果的符合而 得到验证 根据这个假设 力学量在一般的状态中有一系列可能值 这些可能值 就是表示这个力学量的算符的本征值 每个可能值以一定的几率出现 其几率与 体系所处的状态有关 按照由几率求平均值的法则 可以求得力学量 F 在 x 态中的平均值F 2 n nnC F 1 45 这个式子可以改写为 xxFxFd 1 46 1 46 式是求力学量平均值的一般公式 式中 x 是归一化的波函数 对于没有 归一化的波函数 乘以归一化因子后 1 46 式改写为 xxx xxFx F d d 1 47 用 1 46 式和 1 47 式可以直接用表示力学量的算符和体系所处的状态计算出力 学量在这个状态中的平均值 上面只讨论了F 的本征值组成离散谱的情况 对于F 的本征值组成连续谱 的情况 可以进行同样的讨论 其结果是 d 2 n CF 1 48 并且 1 46 式和 1 47 式也适用于本征值组成连续谱的情况 13 1 3 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 1 3 1 角动量算符角动量算符 经典力学中角动量PrL 根据力学量的算符表示的基本假设 可得到 量子力学中角动量算符的表达式 PrL 1 49 在直角坐标系中 角动量的三个分量为 zyx LLL 角动量的平方算符为 2222 zyx LLLL 1 50 为了求解角动量算符的本征方程 我们把这些算符用球极坐标来表示 cos sin ctg iLx 1 51a sin cos ctg iLy 1 51b iLz 1 51c L 2 2 22 sin 1 sin sin 1 1 52 由 1 52 式可知 2 L的本征函数应是 的函数 数学物理方法中给出了 2 L的本 征方程的解 角动量算符 2 L的本征值为 2 1 ll 3 2 1 0l 相应的本 征函数是球谐函数 Ylm im m llm mm lm e PN Ycos 1 2 lm l 2 1 0 2 1 0 1 53 式中 m l P是缔合勒让德 Legendre 多项式 Nlm是归一化常数 由 Ylm 的归 一化条件 1ddsin 0 2 0 Y Y lm lm 1 54 可以得到 Nlm 因此 2 L的本征方程为 14 Yll YL lmlm 1 22 1 55 用 1 51c 式表达的角动量算符 z L 作用于 Ylm 有 Ym YL lmlmz 1 56 即体系处于 Ylm 态时 角动量在 z 轴方向的投影 mLz 由 1 55 式和 1 56 式可见 Ylm 是角动量算符 2 L和 z L 共同的本征函数 l 取不同值时 2 L的本征值 2 1 ll不同 m 取不同值时 z L 的本征值 m不同 根据厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交的性质 球谐函数 Ylm 组 成正交归一系 0 2 0 ddsin mmllmllm YY 1 57 因为 l 表征角动量的大小 所以 称 l 为角量子数角量子数 m 表征角动量在 z 方向 投影的大小 而磁相互作用与角动量的投影成正比 故称 m 为磁量子数磁量子数 由 1 53 式可知 对应于一个 l 值 m 可以取 2l 1 个值 因而对应于 2 L的一个本征值 2 1 ll 有1 2l 个不同的本征函数 Ylm 我们把对应于一个本征值有一 个以上的本征函数的情况称为简并简并 把对应于同一本征值的不同本征函数的数目 称为简并度简并度 2 L的本征值是 2l 1 重简并的 一般 3 2 1 0l的状态依次称为 s p d f 态 处于这些状态的电子 依次简称为 s p d f 电子电子 1 3 2 电子在库仑场中的运动电子在库仑场中的运动 如果电子在中心力场中运动 其势能函数 rVV r 原子核产生的库仑场 是一种特殊的中心力场 如果原子核外只有一个电子 e m 电子的质量 带电荷e 取原子核为坐标原点 电子受原子核吸引的势能为 15 r Ze rV s 2 1 58 式中 2 1 0 4 ees SI ees CGS r 是电子到核的距离 Z 是核电荷数 Z 1 时 这个体系是氢原子 Z 1 时 体系称为类氢离子类氢离子 如 He Z 2 Li Z 3 于是 电子在库仑场中的哈 密顿算符为 r Ze H s 2 2 2 2 1 59 H 的本征方程可写成 E r Ze s 2 2 2 2 1 60 这个方程在球极坐标系中的形式是 E r Ze r r rr s 2 2 2 2 2 2 2 sin 1 sin sin 1 2 1 61 方程 1 61 中不含 r 的微分交叉项 可用分离变量法解方程 设 YrRr 1 62 其中 R r 仅是 r 的函数 称为径向波函数径向波函数 Y 仅是角度 的函数 将 1 62 式代入方程 1 61 中 方程 1 61 分离为两个方程 0 21 2 2 2 2 2 R rr Ze E r R r rr s 1 63 Y YY 2 2 2 sin 1 sin sin 1 1 64 其中 是常数 方程 1 64 与中心力场的具体形式无关 方程两边同乘 2 便得到我们在角动 量算符一节中讨论过的 2 L的本征方程 1 55 我们已经知道 1 ll 3 2 1 0l 16 且方程的解为球谐函数 Ylm 方程 1 63 是径向波函数应满足的方程 称为径向波函数方程径向波函数方程 将 的取值 代入方程 1 63 得 0 1 21 2 2 2 2 2 R r ll r Ze E r R r rr s 1 65 当 E 0 时 对于 E 取任何值 方程 1 65 都有满足波函数条件的解 即体系的 能量具有连续谱 这时电子可以离开原子核而运动到无穷远处 电离 当 E 0 时 在无穷远处 r 方程 1 65 满足波函数标准条件的解为0 R 通 常把波函数在无穷远处为零的状态称为束缚态束缚态 粒子处于束缚态意味着粒子被限 制在有限空间中运动 这里 R r 描述的是电子被原子核的库仑场束缚在原子中的 径向运动 解方程 1 65 得到能量的本征值 En和径向波函数 Rn r 2 2 0 2 22 42 22n Z a e n eZ E ss n 3 2 1n 1 66 2 2 0 12 0 0 r na Z Lr na Z eNrR l ln l r na Z nlnl 1 67 上两式中 1 lnn r nr l 为正数或零 1 68 2 2 2 2 0 ses eme a 1 69 n 称为主量子数主量子数 nr称为径量子数 a0是波尔半径波尔半径 Nnl是径向波函数的归一化常 数 12 l ln L是缔合拉盖尔多项式 将求得的 R r 和 Y 代入 1 62 式 得到库仑场中束缚态电子 E 0 的 波函数 lmnlnlm YrRr 1 70 处于这个状态时电子的能级 En由 1 66 式给出 显而易见 电子处于束缚态时能 级是分立的 由于 nlm与 n l m 三个量子数有关 而对应的能级 En只与 n 有关 所以 能级 En是简并的 对应于一个 n l 可以取1 3 2 1 0 nl 共 n 个值 17 而对应于一个 l m 可以取lm 2 1 0 共 2l 1 个值 因此 对应于 能级 En 有 2 1 0 12 nl n l 个波函数 即能级 En是 n2度简并的 电子能级对 m 简并 即 En与 m 无关 这 是由势场是中心力场 势能仅与 r 有关 而与 无关 造成的 而电子能级对 l 简并 即 En与 l 无关 则是库仑场所特有的 这是由库仑场 r 1 这样的中 心力场比一般的中心力场 V r 具有更高的对称性所致 由波函数的归一化条件 1dddsin 2 00 2 0 rrrr nlm r nlm 及球谐函数 Ylm 的归一化条件 1 54 可得径向波函数的归一化条件为 1d 2 0 2 rrrRnl 1 71 将径向波函数代入上式 即可求出径向波函数的归一化常数 Nnl 综上所述 库仑场中的哈密顿算符H 的束缚态本征函数是 r nlm 相 应的能量本征值 能级 是 En 本征函数 r nlm 满足正交归一性关系 2 00 2 0 dddsin mmllnnmln r nlm rrrr 1 72 由此可见 库仑场中束缚态的本征函数系 r nlm 是正交归一函数系 1 3 3 氢原子氢原子 原子体系质心的运动是自由粒子式的简单运动 在研究原子体系时 我们最 感兴趣的是原子内部的运动状态 即电子相对于核的运动状态 因此 我们将原 子中电子相对于核运动的能量 电子的能级 称为原子能级原子能级 描述电子相对于核 运动的波函数称为原子波函数原子波函数 氢原子中电子与核之间的相互作用势能是 1 58 式所描述的库仑势 其中 222 zyxr 把这个势能表达式代入定态薛定谔方程 得到与方程 1 60 18 一样的方程 这个方程的求解问题已经在 1 3 21 3 2 中解决 因此 只需把中心力场 中粒子的质量理解为约化质量 并令 1 66 和 1 67 式中的核电荷数 Z 1 即可 得到氢原子的能级 En和波函数 nlm 2 0 2 22 4 1 22na e n e E ss n 3 2 1n 1 73 lmnlnlm YrRr 3 2 1n 1 3 2 1 0 nl lm 2 1 0 1 74 由 1 73 式可知 氢原子的能量随 n 的增大而增大 氢原子能级是不等间距的 体系能量最低的状态 称为基态基态 氢原子的基态是 100 基态能级是 E1 n时 0 E 0 R 电子不再被束缚在原子核的周围 可以脱离原子 即电离 E与基态能量 E1之差 称为电离能电离能 若电子的质量 采用约化质量 则氢原子 的电离能为 eV597 13 2 2 4 1 s e EE 1 4 自旋与全同粒子自旋与全同粒子 1 4 1 自旋自旋 许多实验事实证明电子具有自旋磁矩 例如 氢原子或类氢离子的光谱在均 匀外磁场中发生分裂 钠原子光谱的精细结构 塞曼效应 等 为了解释这些现 象 乌伦贝克 Uhlenbeck 和歌德斯密脱 Goldsmidt 于 1925 年提出如下假设 1 每个电子具有自旋角动量S 它在空间任何方向上的投影只能取两个数 值 2 z S 1 75 2 每个电子具有自旋磁矩 s M 它和自旋角动量S的关系是 19 SM e s 1 76 式中e 是电子电荷 e m 这里电子自旋是通过假设给出的 在相对论量子力学中 电子自旋可直接由 薛定谔方程得出 不需要任何假设 电子自旋并非经典力学意义上的旋转 如果 电子自身旋转形成的角动量为2 那么电子的旋转速度必须远远超过光速 因此 电子自旋纯粹是一种量子特性 一般力学量都可以表示为坐标和动量的函 数 自旋角动量也是一个力学量 但自旋角动量与电子的坐标和动量无关 它是 电子内部状态的表征 是描写电子状态的第四个变量 象量子力学中所有的力学量一样 自旋角动量用一个算符来表示 表示为S 由于自旋角动量和坐标 动量无关 不能用Pr 来表示 但它是角动量 与其 它角动量之间具有共性 这个共性体现在自旋角动量算符与其它角动量算符满足 相同的对易关系 因此 自旋角动量满足对易关系 zxyyx SiSSSS 1 77a xyzzy SiSSSS 1 77b yzxxz SiSSSS 1 77c 由于S在空间任意方向上的投影只能取两个数值2 所以 x S y S 和 z S 三个算符的本征值都是2 即 2 zyx SSS 1 78 由此得到自旋角动量平方算符 2 S的本征值 2 S 22222 4 3 zyx SSSS 1 79 将 1 79 式与轨道角动量平方算符 2 L的本征值 22 1 llL比较 令 22 1 ssS 1 80 则2 1 s s 与角量子数 l 相当 故将 s 称为电子的自旋量子数自旋量子数 对于单个电子 s 只有一个取值 即2 1 s 20 现在我们知道 对电子状态的描述 除了用三个坐标变量 如 x y z 来描 述轨道角动量之外 还需要用一个自旋变量 如 z s 来描写自旋态 所以 电子 的波函数写为 tszyx z 1 81 由于 z S只能取两个值2 1 81 式可写成两个分量 tzyxtzyx 2 1 tzyxtzyx 2 2 把这两个分量排成一个列向量 tzyx tzyx 2 1 1 82 并规定第一行对应于2 z s 第二行对应于2 z s 电子波函数写成 1 82 式的形式之后 进行归一化时必须同时对空间积分和 对自旋求和 即 1d 2 2 2 1 d 1 83 式中 21 是 的共轭向量 由波函数定义的几率密度为 2 2 2 1 tzyx 它表示 t 时刻在 zyx周围单位体积内找到电子的几率 其中 2 11 tzyx 2 22 tzyx 分别表示 t 时刻在 zyx 周围单位体积内找到自旋2 z s和自旋2 z s的 电子的几率 分别将 1 和 2 对整个空间积分 就得到在整个空间中找到自旋 2 z s和自旋2 z s的电子的几率 如果电子的自旋是2 z s 则它的波函数为 21 0 1 2 1 tzyx 1 84 如果电子的自旋是2 z s 则它的波函数为 tzyx 0 2 2 1 1 85 电子的自旋算符是作用在电子波函数上的 电子波函数是二维列向量 则自 旋算符应该是两行两列的矩阵 利用自旋算符 z S 的本征方程 2 1 2 1 2 z S 1 86 2 1 2 1 2 z S 1 87 可得的矩阵表示 1 0 0 1 2 z S 1 88 由对易关系 1 77 式 可求得 0 1 1 0 2 x S 0 0 2 i i Sy 1 89 自旋算符用矩阵 1 88 及 1 89 表示后 自旋算符的任意函数也表示为二行二列的 矩阵 一般情况下 电子的自旋和轨道运动之间存在相互作用 因而电子的自旋状 态对轨道运动有影响 表现为波函数 的分量 1 和 2 是 x y z 的不同的函数 当电子的自旋和轨道相互作用小到可以忽略时 电子的自旋状态不影响轨道运 动 这时 1 和 2 对 x y z 的依赖关系是一样的 可以把 写成 sz mtzyxtszyx 1 1 90 式中 s m 是描述电子自旋状态的自旋波函数自旋波函数 s m也称为自旋量子数 z S 的本征 值 sz mS 自旋算符仅对波函数中的自旋函数起作用 由 1 84 1 86 和 1 90 三式可知 自旋函数 22 0 1 21 1 91 是 z S 的本征函数 属于本征值2 即 2 1 sz mS 21 s m 1 92 同理可知 1 0 21 1 93 是 z S 属于本征值2 的本征函数 即 2 1 sz mS 21 s m 1 94 21 s m的 态称为上自旋态上自旋态 21 s m的 态称为下自旋态下自旋态 上自旋态与下自 旋态彼此正交 即 0 1 0 0 1 1 95 1 4 2 全同粒子全同粒子 在研究多粒子系统时常常涉及到由全同粒子组成的系统 因此 有必要了解 全同粒子和全同粒子系统的性质 所谓全同粒子全同粒子是指质量 电荷 自旋等固有性 质完全相同的微观粒子 例如 所有的电子是全同粒子 所有的质子是全同粒子 前面已经介绍过 不能用轨道来描述微观粒子的运动 而全同粒子的固有性质又 完全相同 因此 在微观尺度上 全同粒子是不可区分的 即全同粒子具有不可不可 区分性区分性 一个由 N 个全同粒子组成的系统 以 i q表示第 i 个粒子的坐标和自旋 iii sq r tqqqqq Nji 21 是描述该全同粒子系统状态的波 函数 若 tqqqqqtqqqqq NijNji 2121 即任意两粒子交换后波函数不变 则称 是对称波函数对称波函数 波函数的这种性质称为 交换对称性 若 23 tqqqqqtqqqqq NijNji 2121 即任意两粒子交换后波函数改变符号 则称 是反对称波函数反对称波函数 波函数的这种性 质称为交换反对称性 全同粒子系统具有以下性质 1 满足全同性原理 全同粒子系统中 两全同粒子相互代换不引起物理状 态的改变 即不引起任何可观察到的物理效应 2 遵从泡利法则 自旋量子数是半整数的粒子称为费米子费米子 由费米子组成 的系统遵从费米 狄拉克统计 描述费米子系统的波函数是反对称波函数 自旋 量子数是整数的粒子称为玻色玻色子子 由玻色子组成的系统遵从玻色 爱因斯坦统 计 描述玻色子系统的波函数是对称波函数 3 具有对称的或反对称的波函数 描述全同粒子系统状态的波函数只能是 对称波函数或反对称波函数 且它们的对称性不随时间改变 4 满足泡利不相容原理 对于费米子系统 不可能有两个或两个以上的费 米子处于同一状态 1 5 微扰理论与变分原理微扰理论与变分原理 量子力学中最基本的问题是求描述体系状态的波函数和体系可能具有的能 量 即求解薛定谔方程 对于不同的物理问题 有不同的薛定谔方程 但在经常 遇到的问题中 可以准确求解的问题是很少的 由于体系的哈密顿算符比较复杂 许多问题不能求得精确解 只能求近似解 因此 量子力学中用来求物理问题近 似解的方法 简称近似方法近似方法 就显得十分重要 近似方法一般是从简单问题的精确解出发求复杂问题的近似解 根据适用范 围 近似方法可分为两大类 一类用于体系的哈密顿算符不是时间的显函数的情 况 讨论的是定态问题 另一类用于体系的哈密顿算符是时间的显函数的情况 讨论的是体系状态之间的跃迁问题 这一节和下一节将介绍广泛使用的三种近似方法 微扰理论 变分原理和密 度泛函理论 在讲述近似方法之前 先介绍量子力学计算中经常使用的原子单位 制和求解多体问题需使用的 Born Oppenheimer 近似 24 1 5 1 原子单位制原子单位制 在量子力学计算过程中 薛定谔方程中经常出现电子质量 电子电荷 玻尔 半径等常数 为了简化 研究者们规定了一种新的单位制 称为原子单位制原子单位制 atomic unit system 缩写为 a u 3 在原子单位制中规定 1 a u 的质量 me 电子静质量 1 96a 1 a u 的电荷 e 电子电荷 1 96b 1 a u 的长度 1 Bohr 0 a 玻尔半径 1 96c 采用原子单位后 许多常数可写成十分简便的形式 如由玻尔半径定义 2 2 0 em a e 可推得 u a1 1 96d 则 Planck 常数 u a2 h 在原子单位制中 将电荷为一个原子单位的两个质点相隔一个原子单位距离 时的势能定义为一个原子单位的能量 这个能量单位称为 Hartree 即 1 a u 的能量 1 hartree 0 2 a e 27 21070 eV 1 96e 1 5 2 Born Oppenheimer 近似近似 绝热近似绝热近似 如不考虑外场的作用 组成分子和固体的多粒子系统的哈密顿量应该包括所 有粒子 原子核和电子 的动能和这些粒子之间的相互作用能 因此 哈密顿算 符形式上可写成 N eNe HHHH 1 97 其中 e H包括所有电子的动能 e T和电子之间的库仑相互作用 e e V 是电子坐标的函 数 N H包括所有原子核的动能 N T和原子核之间的库仑相互作用 N N V 是原子核 25 坐标的函数 N e H包括所有电子与原子核之间的相互作用 N e V 以后 用r表示 所有电子坐标的集合 i r 用R表示所有核坐标的集合 i R 则有 rrr e eee VTH 1 98 RRR N NNN VTH 1 99 RrRr N eN e VH 1 100 由于 N e H中电子坐标和核坐标同时出现 且电子与核的相互作用与其它相 互作用具有相同的数量级 不能简单地忽略不计 但考虑到原子核质量比电子质 量大 3 个数量级 根据动量守恒可以推断 原子核的运动速度比电子的运动速度 小得多 电子处于高速运动中 而原子核只是在它们的平衡位置附近振动 电子 几乎绝热于核运动 而原子核只能缓慢地跟上电子分布的变化 因此 玻恩 M Born 和奥本海墨 J E Oppenheimer 提出将整个问题分成电子的运动和核的 运动来考虑 考虑电子运动时原子核处在它们的瞬时位置上 而考虑原子核的运 动时则不考虑电子在空间的具体分布 这就是绝热近似绝热近似或称 Born Oppenheimer 近似近似 多粒子系统的薛定谔方程 RrRr H EH 1 101 在绝热近似下的解为 RrRRr 1 102 其中 R 是描述系统中全部原子核运动的波函数 Rr 是描述系统中全部电 子运动的波函数 电子波函数 Rr 是系统中电子部分的哈密顿算符 RrRrRr N eN Ne0 HVHH 1 103 对应的薛定谔方程 RrRRrRr 0 EH 1 104 的解 原子核的瞬时位置坐标值在电子波函数中作为参数出现 将 1 102 式代入方程 1 101 得到核波函数满足的薛定谔方程 26 RRRR H EET 1 105 这个方程表明 原子核在势函数为 RE的势阱中运动 解电子系统的薛定谔方 程 1 104 得到电子波函数 Rr 和电子总能量 RE 以 RE作为核运动的 势函数 解核的薛定谔方程 1 105 得到核波函数 R 对于分子 便可得到 分子的平动 转动和振动态 1 5 3 微扰理论微扰理论 微扰理论微扰理论是量子力学中重要的近似方法之一 其具体形式多种多样 但基本 思想是一致的 即逐级近似 若体系的哈密顿算符不是时间的显函数 求解的是 定态薛定谔方程 E H 1 106 这类关于求解体系可能状态 能量本征值 本征函数 的微扰理论称为定态微扰定态微扰 理论理论 定态微扰理论按未受微扰时能态的简并情况分为非简并的微扰理论非简并的微扰理论和简并简并 的微扰理论的微扰理论 将体系的哈密顿算符H 分成两部分 0 HHH 1 107 H很小 可以看作是加在 0 H上的微扰 0 H的本征值和本征函数较容易解出或 已有现成的解 在此基础上 把微扰 H对能量和波函数的影响逐级考虑进去 得出方程 1 105 的尽可能接近于精确解的近似解 若体系的哈密顿算符是时间的显函数 求解的是含时间的薛定谔方程 t i H 1 108 这类关于求解体系状态随时间变化的微扰理论称为与时间有关的微扰理论与时间有关的微扰理论 或称 为含时微扰理论含时微扰理论 将体系的哈密顿算符H 分成两部分 27 tHHH 0 1 109 其中 0 H与时间无关 与时间有关的 tH 可看作是加在 0 H上的微扰 0 H的定态 薛定谔方程可解 微扰 tH 的作用是使体系由 0 H的某个本征态变为 0 H的全部 本征态的线性组合 从而可以计算无微扰体系在微扰作用下由一个量子态跃迁到 另一个量子态的跃迁几率 各类微扰理论的公式及推导过程见参考文献 1 2 这里仅以非简并态的定态 微扰理论为例介绍微扰理论的逐级近似思想 以 n E和 n 表示H 的本征值和本征函数 由方程 1 106 可知 nnn E H 1 110 没有微扰时 0 HH 并且 0 H的本征值 0 n E和本征函数 0 n 是已知的 即 0 0 0 0 nnn E H 1 111 微扰 H使体系的能级由 0 n E变为 n E 波函数由 0 n 变为 n 为了表示微扰项 H 很小 用一个很小的实参数 来表示其微小程度 将 H写成 1 HH 1 112 由于 n E和 n 都与微扰有关 可以把它们看作是表征微扰程度的参数 的函数 将 它们展开成 的幂函数 2 2 1 0 nnnn EEEE 1 113 2 2 1 0 nnnn 1 114 式中由 0 n E 0 n 分别是体系未受微扰时的能量和波函数 称为零级近似能量零级近似能量和 零级近似波函数零级近似波函数 1 n E 和 1 n 分别是能量和波函数的一级修正 2 2 n E 和 2 2 n 分别是能量和波函数的二级修正 等等 将 1 112 1 114 式代入 1 110 式 令等号两边的 同次幂项的系数对应相 等 得到关于 2 1 0 nnn EEE 2 1 0 nnn 的一系列方程 在 0 n E非 简并的情况下 与 0 n E对应的 0 H的本征函数只有一个 0 n 它就是 n 的零级近 28 似 设 0 H的全部零级近似波函数均为正交归一化的 解关于 2 1 nn EE 2 1 nn 的系列方程 得 0 0 1 d nnnnn HHE 1 115 0 0 2 2 mn nm m n EE H E 1 116 0 0 0 1 m mn mn m n EE H 1 117 1 116 和 1 117 式中求和号右上角加一撇表示求和不包括nm 的项 nm H和 mn H均为微扰矩阵元 d 0 0 mnnm HH 1 118 因 H是厄密算符 由 1 117 式可推出 nmmn HH 1 119 引进 的目的是为了求解 2 1 0 nnn EEE 2 1 0 nnn 达到目的 后 可将 省去 即令 1 则 1 HH 1 n E和 1 n 为能量和波函数的一级修 正 2 n E和 2 n 为能量和波函数的二级修正 等等 分别将求得的能量和波函数 的各级修正值代入 1 113 和 1 114 式 1 得到受微扰体系的能量 n E和波函 数 n 如下 0 0 2 0 mn nm m nnnn EE H HEE 1 120 0 0 0 0 m mn mn m nn EE H 1 121 微扰理论的使用条件是级数 1 120 和 1 121 收敛 由于所讨论的级数的高级 项是未知的 我们只能要求级数的几个已知项中后面的项远小于前面的项 以保 证级数的收敛 由此得到非简并态微扰理论的适用条件 29 1 0 0 mn mn EE H 0 0 mn EE 1 122 这就是前面提到的 H很小的表示式 当 1 122 式被满足时 能量经二级修正 波函数经一级修正就可得到相当精确的结果 由 1 122 式可以看出 非简并态微 扰的方法是否适用 不仅取决于矩阵元 mn H的大小 还取决于能级间距 0 0