北京市三十五中九年级数学上学期期中试题（含解析） 新人教版.doc

北京市三十五中2016届九年级数学上学期期中试题一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1抛物线y=（x+2）23的顶点坐标是( )a（2，3）b（2，3）c（2，3）d（2，3）2如图，在abc中，若debc，ad：bd=1：2，若ade的面积等于2，则abc的面积等于( )a6b8c12d183如图，abc中，c=90，bc=2，ab=3，则下列结论中正确的是( )asina=bcosa=csina=dtana=4若如图所示的两个四边形相似，则的度数是( )a75b60c87d1205已知sina=，则锐角a的度数是( )a30b45c60d756已知二次函数y=2（x+1）（xa），其中a0，若当x2时，y随着x增大而减小，当x2时y随着x的增大而增大，则a的值是( )a3b5c7d不能确定7将放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan的值是( )ab2cd8已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是( )abcd9如图，abcd中，efab，de：ea=1：2，ef=4，则cd的长为( )ab8c12d1610如图，已知矩形abcd的长ab为5，宽bc为4，e是bc边上的一个动点，aeef，ef交cd于点f设be=x，fc=y，则点e从点b运动到点c时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是( )abcd二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11已知=_12已知方程ax2+bx+c=0（a0）的解是x1=5，x2=3，那么抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点的坐标分别是_13将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是_14如图，利用标杆be测量建筑物的高度，标杆be高1.5m，测得ab=2m，bc=14cm，则楼高cd为_m15如图，这个二次函数图象的表达式可能是_（只写出一个）16我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交ad、ad、dc、dc于m、m、n、n，l与dc的夹角为，那么的值为_（用含的三角比表示）三、解答题（本大题共13小题，共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17计算：tan30cos60tan45+sin3018如图，在abc中，d、e两点分别在ac、ab两边上，abc=ade，ab=7，ad=3，ae=2.7，求ac的长19已知：如图，abc中，acb=90，cdab于d，ab=8，bc=3求：sinacd的值及ad的长20如图，二次函数的图象与x轴交于a、b 两点，与y轴交于点c，且点b的坐标为（1，0），点c的坐标为（0，3），一次函数y2=mx+n的图象过点a、c（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点a的坐标；（3）根据图象写出y2y1时，x的取值范围21如图，在rtabc中，c=90，sin=，点d在bc边上，dc=ac=6（1）求ab的值；（2）求tanbad的值22飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t1.5t2飞机着陆后滑行多远才能停下来？飞机着陆后滑行多长时间能停下来？23如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点abc（顶点是网格线的交点）（1）将abc向上平移3个单位得到a1b1c1，请画出a1b1c1；（2）请画一个格点a2b2c2，使a2b2c2abc，且相似比不为124已知：如图，在矩形abcd中，e为ad的中点，efec交ab于f（abae）问：aef与efc是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由25九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系其中记载：“今有邑方二百步，各中开门出东门一五步有木问出南门几何步而见木？”译文：“今有正方形小城边长为200步，各方中央开一城门走出东门15步处有树，问出南门多少步能见到树？”请你结合题意画出图形，并完成求解26（1）在平面直角坐标系中，点a的坐标是（0，2）在x轴上任取一点m，完成下列作图步骤：连接am，作线段am的垂直平分线l1，过m作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为p在x轴上多次改变点m的位置，用的方法得到相应的点p，把这些点用平滑的曲线连接起来观察画出的曲线l，猜想它是我们学过的哪种曲线（2）对于曲线l上任意一点p，线段pa与pm有什么关系？设点p的坐标为（x，y），你能由pa与pm的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线l是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？27已知：抛物线y=ax22（a1）x+a2（a0）（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1，x2，（其中x1x2）若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y3a2+1，则自变量a的取值范围为_28对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形abcd是“等对角四边形”，ac，a=70，b=80则c=_度，d=_度（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形abcd”（如图2），其中abc=adc，ab=ad，此时她发现cb=cd成立请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形abcd”中，dab=60，abc=90，ab=5，ad=4求对角线ac的长29如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为m，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点a，b，若amb为等腰直角三角形，我们把抛物线上a、b两点之间的部分与线段ab围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段ab称为碟宽，顶点m称为碟顶，点m到线段ab的距离称为碟高（1）抛物线y=x2对应的碟宽为_；抛物线y=4x2对应的碟宽为_；抛物线y=ax2（a0）对应的碟宽为_；抛物线y=a（x2）2+3（a0）对应的碟宽_；（2）若抛物线y=ax24ax（a0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an0）的对应准蝶形记为fn（n=1，2，3，），定义f1，f2，.fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比若fn与fn1的相似比为，且fn的碟顶是fn1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为f1求抛物线y2的表达式；若f1的碟高为h1，f2的碟高为h2，fn的碟高为hn则hn=_，fn的碟宽右端点横坐标为_；f1，f2，fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由2015-2016学年北京三十五中九年级（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1抛物线y=（x+2）23的顶点坐标是( )a（2，3）b（2，3）c（2，3）d（2，3）【考点】二次函数的性质 【专题】计算题【分析】已知抛物线解析式为顶点式，根据顶点式的坐标特点求顶点坐标【解答】解：抛物线y=（x+2）23为抛物线解析式的顶点式，抛物线顶点坐标是（2，3）故选d【点评】本题考查了二次函数的性质抛物线y=a（xh）2+k的顶点坐标是（h，k）2如图，在abc中，若debc，ad：bd=1：2，若ade的面积等于2，则abc的面积等于( )a6b8c12d18【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由条件可以求出ad：bd=2；3，再由条件可以得出adeabc，最后由相似三角形的性质就可以得出结论【解答】解：debc，adeabc，ad：bd=1：2，ad：ab=de：bc=1：3，sade：sabc=（ad）2：（ab）2=1：9，ade的面积等于2，abc的面积等于18，故选：d【点评】本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的面积之比等于相似比的平方运用解答本题求出两三角形相似是关健3如图，abc中，c=90，bc=2，ab=3，则下列结论中正确的是( )asina=bcosa=csina=dtana=【考点】锐角三角函数的定义 【分析】先根据勾股定理求出ac的长，再根据锐角三角函数的定义进行计算即可【解答】解：abc中，c=90，bc=2，ab=3，ac=a、错误，sina=；b、错误，cosa=；c、正确，sina=；d、错误，tana=故选c【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边4若如图所示的两个四边形相似，则的度数是( )a75b60c87d120【考点】相似多边形的性质；多边形内角与外角 【分析】根据相似多边形对应角的比相等，就可以求解【解答】解：根据相似多边形的特点可知对应角相等，所以=3606013875=87故选c【点评】主要考查了相似多边形的性质和四边形的内角和是360度的实际运用5已知sina=，则锐角a的度数是( )a30b45c60d75【考点】特殊角的三角函数值 【分析】根据30角的正弦值等于解答【解答】解：sina=，a=30故选a【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，需熟记6已知二次函数y=2（x+1）（xa），其中a0，若当x2时，y随着x增大而减小，当x2时y随着x的增大而增大，则a的值是( )a3b5c7d不能确定【考点】二次函数的性质 【分析】根据“当x2时，y随着x的增大而减小，当x2时，y随着x的增大而增大”，直线x=2是抛物线的对称轴，即可确定a的值【解答】解：根据题意，当x2时，y随着x的增大而减小，当x2时，y随着x的增大而增大，=2，y=2（x+1）（xa），抛物线与x轴交点坐标为：（1，0），（a，0），=2，a=5，故选：b【点评】本题考查了利用二次函数交点式求图象与坐标轴交点坐标，以及二次函数的增减性，根据已知得出二次函数的对称轴是解题关键7将放置在正方形网格纸中，位置如图所示，则tan的值是( )ab2cd【考点】锐角三角函数的定义 【分析】根据角的正切值=对边邻边求解【解答】解：由图可得，tan=42=2故选：b【点评】此题主要考查了锐角三角函数的定义，正确理解正切值的含义是此题的关键8已知函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则函数y=ax+b的图象是( )abcd【考点】二次函数的图象；一次函数的图象 【分析】根据抛物线开口向下确定出a0，再根据对称轴确定出b，然后根据一次函数的性质确定出函数图象即可得解【解答】解：抛物线开口向下，a0，抛物线的对称轴为直线x=0，b0，函数y=ax+b的图象经过第二四象限且与y轴正半轴相交，故选b【点评】本题考查了二次函数图象，一次函数图象，根据抛物线的开口方向与对称轴确定出a、b的正负情况是解题的关键9如图，abcd中，efab，de：ea=1：2，ef=4，则cd的长为( )ab8c12d16【考点】平行线分线段成比例 【分析】由efab，de：ea=1：2，根据平行线分线段成比例定理，可得ef：ab=1：3，继而求得ab的长，然后由平行四边形的性质，求得答案【解答】解：de：ea=1：2，de：da=1：3，efab，ef：ab=de：da=1：3，ef=4，ab=12，四边形abcd是平行四边形，cd=ab=12故选c【点评】此题考查了平行线分线段成比例定理以及平行四边形的性质注意掌握线段的对应关系10如图，已知矩形abcd的长ab为5，宽bc为4，e是bc边上的一个动点，aeef，ef交cd于点f设be=x，fc=y，则点e从点b运动到点c时，能表示y关于x的函数关系的大致图象是( )abcd【考点】动点问题的函数图象 【专题】数形结合【分析】利用三角形相似求出y关于x的函数关系式，根据函数关系式进行分析求解【解答】解：bc=4，be=x，ce=4xaeef，aeb+cef=90，cef+cfe=90，aeb=cfe又b=c=90，rtaebrtefc，即，整理得：y=（4xx2）=（x2）2+y与x的函数关系式为：y=（x2）2+（0x4）由关系式可知，函数图象为一段抛物线，开口向下，顶点坐标为（2，），对称轴为直线x=2故选：a【点评】本题考查了动点问题的函数图象问题，根据题意求出函数关系式是解题关键二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分）11已知=【考点】比例的性质 【分析】将化为2（a+b）=5b，进一步整理为2a=3b，从而得到答案【解答】解：由得2（a+b）=5b，整理得2a=3b，故答案为【点评】本题考查了比例的性质，解题的关键是牢记两内项之积等于两外项之积12已知方程ax2+bx+c=0（a0）的解是x1=5，x2=3，那么抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（3、0）【考点】抛物线与x轴的交点 【分析】根据方程ax2+bx+c=0（a0）的解就是当y=0时，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点的坐标【解答】解：当y=0时，ax2+bx+c=0（a0）方程ax2+bx+c=0（a0）的解是x1=5，x2=3，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点的横坐标分别是5、3，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点的坐标分别是（5、0）（3、0）故答案是：（5、0）（3、0）【点评】本题考查了抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的交点：抛物线与x轴的交点的意义就是当x取交点的横坐标时，函数值y等于0，即方程ax2+bx+c=0的解为交点的横坐标13将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】由bac=acd=90，可得abcd，即可证得abedce，然后由相似三角形的对应边成比例，可得：，然后利用三角函数，用ac表示出ab与cd，即可求得答案【解答】解：bac=acd=90，abcd，abedce，在rtacb中b=45，ab=ac，在rtacd中，d=30，cd=ac，=故答案为：【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质与三角函数的性质此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用14如图，利用标杆be测量建筑物的高度，标杆be高1.5m，测得ab=2m，bc=14cm，则楼高cd为12m【考点】相似三角形的应用 【专题】应用题【分析】先根据题意得出abeacd，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出cd的值【解答】解：ebac，dcac，ebdc，abeacd，=，be=1.5，ab=2，bc=14，ac=16，=，cd=12故答案为：12【点评】本题考查的是相似三角形的应用，熟知相似三角形的对应边成比例的性质是解答此题的关键15如图，这个二次函数图象的表达式可能是y=x2x（只写出一个）【考点】二次函数的性质 【专题】开放型【分析】根据二次函数的图象开口向上知道a0，又对称轴x=0，得出b0，二次函数的图象过原点，可以得到c=0，所以解析式满足a0，b0，c=0即可【解答】解：二次函数的图象开口向上，a0，对称轴x=0，b0，二次函数的图象过原点，c=0故解析式满足a0，b0，c=0即可，如y=x2x；故答案为：y=x2x【点评】此题是开放性试题，考查函数图形及性质的综合运用，对考查学生所学函数的深入理解、掌握程度具有积极的意义，但此题若想答对需要满足所有条件，如果学生没有注意某一个条件就容易错本题的结论是不唯一的，其解答思路渗透了数形结合的数学思想16我们把对称中心重合，四边分别平行的两个正方形之间的部分叫“方形环”，易知方形环四周的宽度相等当直线l与方形环的邻边相交时（如图），l分别交ad、ad、dc、dc于m、m、n、n，l与dc的夹角为，那么的值为tan（用含的三角比表示）【考点】解直角三角形 【专题】新定义【分析】在rtfnnf中，根据正弦的定义得sin=，则nn=，在rtemmf中，根据余弦的定义得cos=，则mm=，根据题意得em=fn，所以=tan【解答】解：emcd，emm=dnn=，在rtfnnf中，sin=，nn=，在rtemmf中，cos=，mm=，=，而em=fn，=tan故答案为tan【点评】本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形三、解答题（本大题共13小题，共72分，第17-26题，每题5分，第27题7分，第28题7分，第29题8分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17计算：tan30cos60tan45+sin30【考点】特殊角的三角函数值 【分析】将tan30=，cos60=，tan45=1，sin30=分别代入运算，然后合并即可得出答案【解答】解：原式=【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，熟练记忆一些特殊角的三角函数值是关键18如图，在abc中，d、e两点分别在ac、ab两边上，abc=ade，ab=7，ad=3，ae=2.7，求ac的长【考点】相似三角形的判定与性质 【分析】已知abc=ade，a=a，则可推出abcade，根据相似三角形的相似比即可求得ac的长【解答】解：在abc和ade中，abc=ade，a=aabcade=6.3【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定及性质的理解及运用能力19已知：如图，abc中，acb=90，cdab于d，ab=8，bc=3求：sinacd的值及ad的长【考点】解直角三角形 【分析】根据勾股定理可以求得ac的长度，即可求得sinacd的值，再根据ac的长即可求得ad的长【解答】解：cdab，acb=90，b=acd，rtabc中，ac=，sinacd=sinb=，ad=acsinacd=【点评】本题考查了直角三角形中正弦值的计算，考查了勾股定理的运用，本题中求ac的长是解题的关键20如图，二次函数的图象与x轴交于a、b 两点，与y轴交于点c，且点b的坐标为（1，0），点c的坐标为（0，3），一次函数y2=mx+n的图象过点a、c（1）求二次函数的解析式；（2）求二次函数的图象与x轴的另一个交点a的坐标；（3）根据图象写出y2y1时，x的取值范围【考点】待定系数法求二次函数解析式；抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组） 【专题】计算题【分析】（1）把b（1，0），c（0，3）分别代入得到关于b、c的方程组，求出b、c即可；（2）令y1=0，得到x2+2x3=0，然后解一元二次方程即可得到二次函数的图象与x轴的另一个交点a的坐标；（3）观察图象可得当x3或x0，抛物线都在直线的上方，即y2y1【解答】解：（1）由二次函数的图象经过b（1，0）、c （0，3）两点，得 ，解这个方程组，得，抛物线的解析式为；（2）令y1=0，得x2+2x3=0，解这个方程，得x1=3，x2=1，此二次函数的图象与x轴的另一个交点a的坐标为（3，0）；（3）当x3或x0，y2y1【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：先设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c（a、b、c为常数，a0），再把抛物线上三个点的坐标代入得到a、b、c的三元一次方程组，解方程组可确定二次函数的解析式也考查了抛物线与x轴的交点坐标以及二次函数与不等式21如图，在rtabc中，c=90，sin=，点d在bc边上，dc=ac=6（1）求ab的值；（2）求tanbad的值【考点】解直角三角形 【专题】计算题【分析】（1）根据在rtabc中，c=90，sinb=，可以求得ab的长；（2）要求tanbad的值，首先要作辅助线bead交ad的延长线于点e，作出相应的图形，然后根据题目中给出的信息，灵活变化可以求得tanbad的值【解答】解：（1）c=90，sinb=，sinb=，ac=6，ab=10即ab的值是10（2）过点b作bead交ad的延长线于点ec=90，ac=6，ab=10，又cd=6，bd=bccd=2c=90，dc=ac=6，tanadc=1，ad=adc=45bde=adc=45又bd=2，bead即e=90，be=de=bdcos45=ae=ad+de=tanbad=即tanbad=【点评】本题考查解直角三角形，解题的关键是作出合适的辅助线，画出相应的图形，找出所求问题需要的条件22飞机着陆后滑行的距离s（单位：m）与滑行的时间t（单位：s）的函数关系式是s=60t1.5t2飞机着陆后滑行多远才能停下来？飞机着陆后滑行多长时间能停下来？【考点】一元二次方程的应用 【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值此时t=，进而得出答案【解答】解：a=1.50，函数有最大值，当t=20（秒）s最大值=600（m），即飞机着陆后滑行600米才能停止，飞机着陆后滑行20秒能停下来【点评】此题主要考查了二次函数的应用，运用二次函数求最值问题常用公式法或配方法得出是解题关键23如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点abc（顶点是网格线的交点）（1）将abc向上平移3个单位得到a1b1c1，请画出a1b1c1；（2）请画一个格点a2b2c2，使a2b2c2abc，且相似比不为1【考点】作图相似变换；作图-平移变换 【专题】作图题【分析】（1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案；（2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案【解答】解：（1）如图所示：a1b1c1即为所求；（2）如图所示：a2b2c2即为所求【点评】此题主要考查了相似变换和平移变换，得出变换后图形对应点位置是解题关键24已知：如图，在矩形abcd中，e为ad的中点，efec交ab于f（abae）问：aef与efc是否相似？若相似，证明你的结论；若不相似，请说明理由【考点】相似三角形的判定；矩形的性质 【专题】探究型【分析】延长fe和cd交于p，求出等腰三角形pcf，推出pce=fce，根据afedec推出aef=pce，推出a=fec，aef=ecf，根据相似三角形的判定推出即可【解答】答：相似证明：延长fe和cd交于p，四边形abcd是矩形，a=adc=edp=90，e为ad中点，ae=de，在afe和dpe中，afedpe（asa），pe=ef，ecef，pc=fc，pce=fce，ceef，a=90，fec=90，aef+dec=90，aef+afe=90，afe=dec，即a=edc，afe=dec，afedec，aef=dce，dce=fce，aef=ecf，a=fec=90，afeefc【点评】本题考查了相似三角形的性质和判定，线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质和判定，矩形的性质等知识点的综合运用25九章算术是中国传统数学最重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架其中卷第九勾股，主要讲述了以测量问题为中心的直角三角形三边互求的关系其中记载：“今有邑方二百步，各中开门出东门一五步有木问出南门几何步而见木？”译文：“今有正方形小城边长为200步，各方中央开一城门走出东门15步处有树，问出南门多少步能见到树？”请你结合题意画出图形，并完成求解【考点】勾股定理的应用 【分析】根据题意写出ab、ac、cd的长，根据相似三角形的性质得到比例式，计算即可【解答】解：如图所示：由题意得，ab=15步，ac=100步，cd=100步，acbdec，则，即，解得de=故走出南门步恰好能见到这棵树【点评】本题考查的是直角三角形三边关系、相似三角形的判定与性质；掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键26（1）在平面直角坐标系中，点a的坐标是（0，2）在x轴上任取一点m，完成下列作图步骤：连接am，作线段am的垂直平分线l1，过m作x轴的垂线l2，记l1，l2的交点为p在x轴上多次改变点m的位置，用的方法得到相应的点p，把这些点用平滑的曲线连接起来观察画出的曲线l，猜想它是我们学过的哪种曲线（2）对于曲线l上任意一点p，线段pa与pm有什么关系？设点p的坐标为（x，y），你能由pa与pm的关系得到x，y满足的关系式吗？你能由此确定曲线l是哪种曲线吗？你得出的结论与（1）中你的猜想一样吗？【考点】作图复杂作图；二次函数的图象 【分析】（1）根据题意，多取几个m点画出图形即可；（2）连接ap，过点a作anpm，根据线段垂直平分线的性质得出ap=pm=y，再由勾股定理即可得出结论【解答】解：（1）如图所示：曲线l是抛物线；（2）连接ap，过点a作anpm，l1是线段am的垂直平分线，p在l1上，pa=pm=y，pmx轴，an=x，p（x，y），pn=y2，an2+pn2=ap2，即x2+（y2）2=y2，y=+1曲线l是抛物线是抛物线【点评】此题主要考查了复杂作图，以及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键27已知：抛物线y=ax22（a1）x+a2（a0）（1）求证：抛物线与x轴有两个交点；（2）设抛物线与x轴有两个交点的横坐标分别为x1，x2，（其中x1x2）若y是关于a的函数，且y=ax2+x1，求这个函数的表达式；（3）在（2）的条件下，结合函数的图象回答：若使y3a2+1，则自变量a的取值范围为0a【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数与不等式（组） 【专题】计算题【分析】（1）先计算判别式的值，然后利用判别式的意义判断抛物线与x轴有两个交点；（2）利用求根公式解方程得x1=1，x2=1，于是得到y=a1（a0）；（3）利用图象法解决问题：先画出直线y=a1和抛物线y=3a2+1的图象，如图，通过解方程得到a1=3a2+1可得到直线y=a1和抛物线y=3a2+1的图象的交点坐标为（1，2）、（，），然后观察函数图形得到当1a时，a13a2+1，由于a0，于是得到a的取值范围为0a【解答】（1）证明：=4（a1）24a（a2）=40，抛物线与x轴有两个交点；（2）解：解方程得x=，x=1或x=1，a0，x1x2，x1=1，x2=1，y=a（1）+1=a1（a0）；（3）解：画出直线y=a1和抛物线y=3a2+1的图象，如图，解方程得到a1=3a2+1得a=1或a=，即直线y=a1和抛物线y=3a2+1的图象的交点坐标为（1，2）、（，），当1a时，a13a2+1，而a0，a的取值范围为0a故答案为0a【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：对于二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a0），=b24ac决定抛物线与x轴的交点个数：=b24ac0时，抛物线与x轴有2个交点；=b24ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；=b24ac0时，抛物线与x轴没有交点解决（3）小题的关键是求出直线与抛物线的交点坐标28对某一种四边形给出如下定义：有一组对角相等而另一组对角不相等的凸四边形叫做“等对角四边形”（1）已知：如图1，四边形abcd是“等对角四边形”，ac，a=70，b=80则c=130度，d=80度（2）在探究“等对角四边形”性质时：小红画了一个“等对角四边形abcd”（如图2），其中abc=adc，ab=ad，此时她发现cb=cd成立请你证明此结论；（3）已知：在“等对角四边形abcd”中，dab=60，abc=90，ab=5，ad=4求对角线ac的长【考点】四边形综合题 【分析】（1）由等对角四边形得出b=d，再由四边形内角和即可求出c；（2）连接bd，由ab=ad，得出abd=adb，证出cbd=cdb，即可得出cb=cd；（3）分两种情况：当adc=abc=90时，延长ad，bc相交于点e，先用含30角的直角三角形的性质求出ae，得出de，再用三角函数求出cd，由勾股定理求出ac；当bcd=dab=60时，过点d作dmab于点m，dnbc于点n，则amd=90，四边形bndm是矩形，先求出am、dm，再由矩形的性质得出dn=bm=3，bn=dm=2，求出cn、bc，根据勾股定理求出ac即可【解答】（1）解：四边形abcd是“等对角四边形”，ac，d=b=80，c=360abd=360708080=130；故答案为：130，80；（2）证明：如图2所示，连接bd，ab=ad，abd=adb，abc=adc，abcabd=adcadb，cbd=cdb，cb=cd；（3）解：分两种情况：当adc=abc=90时，延长ad，bc相交于点e，如图3所示：abc=90，dab=60，ab=5，e=30，ae=2ab=10，de=aead=1046，edc=90，e=30，cd=2，ac=2；当bcd=dab=60时，过点d作dmab于点m，dnbc于点n，如图4所示：则amd=90，四边形bndm是矩形，dab=60，adm=30，am=ad=2，dm=2bm=abam=52=3，四边形bndm是矩形，dn=bm=3，bn=dm=2，bcd=60，cn=，bc=cn+bn=3，ac=2；综上所述：ac的长为2或2【点评】本题是四边形综合题目，考查了新定义、四边形内角和定理、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、三角函数、矩形的判定与性质等知识；本题难度较大，综合性强，特别是（3）中，需要进行分类讨论，通过作辅助线运用三角函数和勾股定理才能得出结果29如图1，抛物线y=ax2+bx+c（a0）的顶点为m，直线y=m与x轴平行，且与抛物线交于点a，b，若amb为等腰直角三角形，我们把抛物线上a、b两点之间的部分与线段ab围成的图形称为该抛物线对应的准蝶形，线段ab称为碟宽，顶点m称为碟顶，点m到线段ab的距离称为碟高（1）抛物线y=x2对应的碟宽为4；抛物线y=4x2对应的碟宽为；抛物线y=ax2（a0）对应的碟宽为；抛物线y=a（x2）2+3（a0）对应的碟宽；（2）若抛物线y=ax24ax（a0）对应的碟宽为6，且在x轴上，求a的值；（3）将抛物线yn=anx2+bnx+cn（an0）的对应准蝶形记为fn（n=1，2，3，），定义f1，f2，.fn为相似准蝶形，相应的碟宽之比即为相似比若fn与fn1的相似比为，且fn的碟顶是fn1的碟宽的中点，现在将（2）中求得的抛物线记为y1，其对应的准蝶形记为f1求抛物线y2的表达式；若f1的碟高为h1，f2的碟高为h2，fn的碟高为hn则hn=，fn的碟宽右端点横坐标为2+；f1，f2，fn的碟宽右端点是否在一条直线上？若是，直接写出该直线的表达式；若不是，请说明理由【考点】二次函数综合题 【分析】（1）根据定义易算出含具体值的抛物线y=x2，抛物线y=4x2的碟宽，且都利用端点（第一象限）横纵坐标相等推广至含字母的抛物线y=ax2（a0），类似而抛物线y=a（x2）2+3（a0）为顶点式，可看成y=ax2平移得到，则发现碟宽只和a有关（2）根据（1）的结论，根据碟宽易得a的值（