北京市二十四中高二数学上学期期中试卷（含解析）.doc

2015-2016学年北京二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )a30b60c120d1502若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是( )a相交b异面c平行d异面或相交3到直线3x4y1=0的距离为2的直线方程是( )a3x4y11=0b3x4y11=0或3x4y+9=0c3x4y+9=0d3x4y+11=0或3x4y9=04一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )abcd5如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是( )acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae，b1c1为异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1e6直线x+（1+m）y=2m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )a1b2c1或2d7下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为( )a0b1c2d38已知过球面上a、b、c三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ab=bc=ca=2，则球面面积是( )abc4d9已知点m（0，1），点n在直线xy+1=0上，若直线mn垂直于直线x+2y3=0，则点n的坐标是( )a（2，1）b（2，3）c（2，1）d（2，1）10如图，在正方体abcda1b1c1d1中，异面直线a1d与d1c所成的角为( )a30b45c60d9011由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )a6块b7块c8块d9块12将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，有如下四个结论：acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd所成的角为60；ab与cd所成的角为60其中错误的结论是( )abcd二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13过点（1，2）且与直线x+2y1=0平行的直线方程是_14abc的三顶点分别是a（8，5），b（4，2），c（6，3），则bc边上的高所在的直线的一般式方程是_15经过两直线2x3y12=0和x+y1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为_16直线y=k（x+1）+3与以点a（2，5），b（4，2）为端点的线段ab有公共点，则k的取值范围是_17如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱abcda1b1c1d1中，当底面abcd满足条件 _时，有acb1d1（写出你认为正确的一种条件即可）18如图，p是二面角ab棱ab上的一点，分别在，上引射线pm，pn，如果bpm=bpn=45，mpn=60，那么二面角ab的大小是_三、解答题（共3小题，满分40分）19已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点p，且垂直于直线x2y1=0求：（）直线l的方程；（）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积s20如图，四棱锥sabcd中，底面abcd为平行四边形，e是sa上一点，试探求点e的位置，使sc平面ebd，并证明21（16分）如图，在底面是直角梯形的四棱锥sabcd中，abc=90，sa面abcd，sa=ab=bc=1，ad=（1）求四棱锥sabcd的体积；（2）求证：面sab面sbc；（3）求sc与底面abcd所成角的正切值2015-2016学年北京二十四中高二（上）期中数学试卷一、选择题（共12小题，每小题3分，满分36分）1直线（a为实常数）的倾斜角的大小是( )a30b60c120d150【考点】直线的倾斜角【专题】计算题【分析】由已知中直线的方程，可以求直线的斜率，进而根据直线斜率与倾斜角的关系，可以求出直线倾斜角的大小【解答】解：直线（a为实常数）的斜率为令直线（a为实常数）的倾斜角为则tan=解得=150故选d【点评】本题考查的知识点是直线的倾斜角，其中根据直线方程求出直线的斜率是解答本题的关键2若a，b是异面直线，直线ca，则c与b的位置关系是( )a相交b异面c平行d异面或相交【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【分析】若a，b是异面直线，直线ca，所以c与b可能异面，可能相交【解答】解：由a、b是异面直线，直线ca知c与b的位置关系是异面或相交，故选d【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握3到直线3x4y1=0的距离为2的直线方程是( )a3x4y11=0b3x4y11=0或3x4y+9=0c3x4y+9=0d3x4y+11=0或3x4y9=0【考点】直线的一般式方程；两条平行直线间的距离【专题】计算题；待定系数法【分析】设到直线3x4y1=0的距离为2的直线方程是 3x4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，解方程求出c值，即得所求的直线的方程【解答】解：设到直线3x4y1=0的距离为2的直线方程是 3x4y+c=0，由两平行线间的距离公式得=2，c=11，或 c=9到直线3x4y1=0的距离为2的直线方程是 3x4y11=0，或 3x4y+9=0，故选 b【点评】本题考查用待定系数法求平行直线方程的方法，以及两平行线间的距离公式的应用4一个空间几何体的正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是一个直径为1的圆，那么这个几何体的体积为( )abcd【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题【分析】由三视图可判断这个几何体为圆柱体，根据题意可知底面半径以及高，易求体积【解答】解：由三视图可知这个几何体是圆柱体，且底面圆的半径，高为1，那么圆柱体的体积是：（）21=，故选a【点评】本题考查三视图求几何体的体积，考查计算能力，空间想象能力，三视图复原几何体是解题的关键5如图，三棱柱abca1b1c1中，侧棱aa1底面a1b1c1，底面三角形a1b1c1是正三角形，e是bc中点，则下列叙述正确的是( )acc1与b1e是异面直线bac平面abb1a1cae，b1c1为异面直线，且aeb1c1da1c1平面ab1e【考点】空间中直线与平面之间的位置关系【专题】证明题；综合法【分析】由题意，此几何体是一个直三棱柱，且其底面是正三角形，e是中点，由这些条件对四个选项逐一判断得出正确选项【解答】解：a不正确，因为cc1与b1e在同一个侧面中，故不是异面直线；b不正确，由题意知，上底面abc是一个正三角形，故不可能存在ac平面abb1a1；c正确，因为ae，b1c1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；d不正确，因为a1c1所在的平面与平面ab1e相交，且a1c1与交线有公共点，故a1c1平面ab1e不正确；故选c【点评】本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是理解清楚题设条件，根据所学的定理，定义对所面对的问题进行证明得出结论，本题考查空间想象能力以及推理谁的能力，综合性较强6直线x+（1+m）y=2m和直线mx+2y+8=0平行，则m的值为( )a1b2c1或2d【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】方程思想；数形结合法；直线与圆【分析】由直线平行可得12（1+m）m=0，解方程排除重合可得【解答】解：直线x+（1+m）y=2m和直线mx+2y+8=0平行，12（1+m）m=0，解得m=1或2，当m=2时，两直线重合故选：a【点评】本题考查直线的一般式方程和平行关系，属基础题7下列四个结论：（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行其中正确的个数为( )a0b1c2d3【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】常规题型【分析】根据线线平行、线面平行的判定和性质即可得出正确结论【解答】解：（1）两条直线都和同一个平面平行，那么这两条直线可能平行、相交、异面故（1）不正确（2）两条直线没有公共点，那么这两条直线可能平行、异面故（2）不正确（3）两条直线都和第三条直线垂，则这两条直线可能平行、相交、异面故（3）不正确（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面可能平行、可能相交、可能在平面内故选a【点评】此题考查学生对空间中点线面之间的位置关系的掌握与理解考查学生的空间想象能力8已知过球面上a、b、c三点的截面和球心的距离等于球半径的一半，且ab=bc=ca=2，则球面面积是( )abc4d【考点】球的体积和表面积【专题】计算题【分析】由ab=bc=ca=2，求得abc的外接圆半径为r，再由r2（r）2=，求得球的半径，再用面积求解【解答】解：因为ab=bc=ca=2，所以abc的外接圆半径为r=设球半径为r，则r2（r）2=，所以r2=s=4r2=故选d【点评】本题主要考查球的球面面积，涉及到截面圆圆心与球心的连垂直于截面，这是求得相关量的关键9已知点m（0，1），点n在直线xy+1=0上，若直线mn垂直于直线x+2y3=0，则点n的坐标是( )a（2，1）b（2，3）c（2，1）d（2，1）【考点】两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系【专题】计算题【分析】根据点n在直线xy+1=0上，设点n坐标为（x0，x0+1），利用经过两点的斜率公式，得到直线mn的斜率关于x0的表达式，最后根据直线mn垂直于直线x+2y3=0，得到两直线斜率乘积等于1，建立等式并解之可得点n的坐标【解答】解：点n在直线xy+1=0上可设点n坐标为（x0，x0+1）根据经过两点的直线的斜率公式，可得=直线mn垂直于直线x+2y3=0，而直线x+2y3=0的斜率为=2x0=2因此，点n的坐标是（2，3）故选b【点评】本题借助于直线与垂直，求点的坐标为例，着重考查了直线的方程、直线斜率的求法和直线垂直的斜率关系等知识点，属于基础题10如图，在正方体abcda1b1c1d1中，异面直线a1d与d1c所成的角为( )a30b45c60d90【考点】异面直线及其所成的角【专题】空间角【分析】在正方体abcda1b1c1d1中，由d1ca1b，知da1b是异面直线a1d与d1c所成的角，由此能求出结果【解答】解：在正方体abcda1b1c1d1中，d1ca1b，da1b是异面直线a1d与d1c所成的角，a1d=a1b=bd，a1bd是等边三角形，da1b=60，异面直线a1d与d1c所成的角是60故选：c【点评】本题考查异面直线所成的角的求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养11由小正方体木块搭成的几何体的三视图如图所示，则搭成该几何体的小正方体木块有( )a6块b7块c8块d9块【考点】简单组合体的结构特征【专题】计算题【分析】由俯视图易得最底层正方体的个数，由主视图和左视图找到其余层数里正方体的个数相加即可【解答】解：由俯视图，我们可得该几何体中小正方体共有4摞，结合正视图和侧视图可得：第1摞共有3个小正方体；第2摞共有1个小正方体；第3摞共有1个小正方体；第4摞共有2个小正方体；故搭成该几何体的小正方体木块有7块，故选b【点评】用到的知识点为：俯视图决定底层立方块的个数，三视图的顺序分别为：主视图，左视图，俯视图12将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，有如下四个结论：acbd；acd是等边三角形；ab与平面bcd所成的角为60；ab与cd所成的角为60其中错误的结论是( )abcd【考点】与二面角有关的立体几何综合题；异面直线及其所成的角；直线与平面所成的角【专题】证明题【分析】取bd的中点e，则aebd，cebd根据线面垂直的判定及性质可判断的真假；求出ac长后，可以判断的真假；求出ab与平面bcd所成的角可判断的真假；建立空间坐标系，利用向量法，求出ab与cd所成的角，可以判断的真假；进而得到答案【解答】解：取bd的中点e，则aebd，cebdbd面aecbdac，故正确设正方形边长为a，则ad=dc=a，ae=a=ecac=aacd为等边三角形，故正确abd为ab与面bcd所成的角为45，故不正确以e为坐标原点，ec、ed、ea分别为x，y，z轴建立直角坐标系，则a（0，0，a），b（0，a，0），d（0，a，0），c（ a，0，0）=（0，a，a），=（ a，a，0）cos，=，=60，故正确故选c【点评】本题考查的知识点是线面垂直的判定与性质，空间两点距离，线面夹角，异面直线的夹角，其中根据已知条件将正方形abcd沿对角线bd折成直二面角abdc，结合立体几何求出相关直线与直线、直线与平面的夹角，及线段的长是关键二、填空题（共6小题，每小题4分，满分24分）13过点（1，2）且与直线x+2y1=0平行的直线方程是x+2y5=0【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系【专题】计算题【分析】设过点（1，2）且与直线x+2y1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程，求出m值即得直线l的方程【解答】解：设过点（1，2）且与直线x+2y=0平行的直线方程为x+2y+m=0，把点（1，2）代入直线方程得，1+4+m=0，m=5，故所求的直线方程为 x+2y5=0，故答案为：x+2y5=0【点评】本题考查用待定系数法求直线方程的方法，设过点（1，2）且与直线x+2y1=0平行的直线方程为 x+2y+m=0 是解题的关键14abc的三顶点分别是a（8，5），b（4，2），c（6，3），则bc边上的高所在的直线的一般式方程是2xy+21=0【考点】直线的点斜式方程；待定系数法求直线方程【专题】方程思想；定义法；直线与圆【分析】先求出bc所在直线的斜率，根据垂直得出bc边上的高所在直线的斜率，由点斜式写出直线方程，并化为一般式【解答】解：abc的三顶点分别是a（8，5），b（4，2），c（6，3），kbc=，bc边上高ad所在直线斜率k=2，又过a（8，5）点，bc边上的高ad所在的直线ad：y5=2（x+8），即2xy+21=0故答案为：2xy+21=0【点评】本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法，利用定义法是解决本题的关键15经过两直线2x3y12=0和x+y1=0的交点，并且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0【考点】直线的截距式方程；两条直线的交点坐标【专题】计算题；方程思想；分类法；直线与圆【分析】联解两条直线的方程，得到它们的交点坐标（3，1）再根据直线是否经过原点，分两种情况加以讨论，即可算出符合题意的两条直线方程【解答】解：由解得直线2x3y12=0和x+y1=0的交点坐标为（3，2）所求直线经过原点时，满足条件方程设为y=kx，可得3k=2，解得k=，此时直线方程为y=x，即2x+3y=0；当所求直线在坐标轴上的截距不为0时，方程设为x+y=a，可得32=a，解之得a=1，此时直线方程为x+y1=0综上所述，所求的直线方程为2x+3y=0；或x+y+1=0【点评】本题给出经过两条直线，求经过两条直线的交点且在轴上截距相等的直线方程着重考查了直线的基本量与基本形式、直线的位置关系等知识，属于基础题16直线y=k（x+1）+3与以点a（2，5），b（4，2）为端点的线段ab有公共点，则k的取值范围是_【考点】直线的斜率【专题】计算题；转化思想；综合法；直线与圆【分析】由直线方程求得直线所过定点p，然后求得pa，pb的斜率得答案【解答】解：由y=k（x+1）+3，得直线y=k（x+1）+3过定点p（1，3），a（2，5），b（4，2），kpa=，kpb=1满足直线y=k（x+1）+3与线段ab有公共点的k的取值范围是故答案为：【点评】本题考查了直线系方程，考查了数学结合的解题思想方法，是基础题17如图，在侧棱和底面垂直的四棱柱abcda1b1c1d1中，当底面abcd满足条件 abcd是菱形或是正方形或是对角线互相垂直的四边形时，有acb1d1（写出你认为正确的一种条件即可）【考点】空间中直线与直线之间的位置关系【专题】开放型【分析】在四棱柱abcda1b1c1d1中，bdb1d1，故只需acbd，则acb1d1，即只要底面四边形abcd的对角线相互垂直就行了，比如：菱形、正方形、或者任意一个对角线相互垂直的四边形，只要填一个答案即可【解答】解：在四棱柱abcda1b1c1d1中，bdb1d1，若acbd，则acb1d1当底面abcd是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形时，acb1d1故答案为：abcd是菱形、正方形或者是对角线相互垂直的四边形【点评】本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力18如图，p是二面角ab棱ab上的一点，分别在，上引射线pm，pn，如果bpm=bpn=45，mpn=60，那么二面角ab的大小是90【考点】与二面角有关的立体几何综合题【专题】计算题；压轴题【分析】本题考查的知识点是二面角及其度量，我们要根据二面角的定义，在两个平面的交线上取一点q，然后向两个平面引垂线，构造出二面角的平面角，然后根据平面几何的性质，求出含二面角的平面角的三角形中相关的边长，解三角形即可得到答案【解答】解：过ab上一点q分别在，内做ab的垂线，交pm，pn于m点和n点则mqn即为二面角ab的平面角，如下图所示：设pq=a，则bpm=bpn=45qm=qn=apm=pn=a又由mpn=60，易得pmn为等边三角形则mn=a解三角形qmn易得mqn=90故答案为：90【点评】求二面角的大小，一般先作出二面角的平面角此题是利用二面角的平面角的定义作出mqn为二面角ab的平面角，通过解mqn所在的三角形求得mqn其解题过程为：作mqn证mqn是二面角的平面角计算mqn，简记为“作、证、算”三、解答题（共3小题，满分40分）19已知直线l经过直线3x+4y2=0与直线2x+y+2=0的交点p，且垂直于直线x2y1=0求：（）直线l的方程；（）直线l与两坐标轴围成的三角形的面积s【考点】直线的一般式方程；两条直线的交点坐标【专题】综合题【分析】（）联立两直线方程得到方程组，求出方程组的解集即可得到交点p的坐标，根据直线l与x2y1垂直，利用两直线垂直时斜率乘积为1，可设出直线l的方程，把p代入即可得到直线l的方程；（）分别令x=0和y=0求出直线l与y轴和x轴的截距，然后根据三角形的面积函数间，即可求出直线l与两坐标轴围成的三角形的面积【解答】解：（）由解得由于点p的坐标是（2，2）则所求直线l与x2y1=0垂直，可设直线l的方程为2x+y+m=0把点p的坐标代入得2（2）+2+m=0，即m=2所求直线l的方程为2x+y+2=0（）由直线l的方程知它在x轴y轴上的截距分别是12，所以直线l与两坐标轴围成三角形的面积【点评】此题考查学生会利用联立两直线的方程的方法求两直线的交点坐标，掌握直线的一般式方程，会求直线与坐标轴的截距，是一道中档题20如图，四棱锥sabcd中，底面abcd为平行四边形，e是sa上