2013年高考江苏卷（理）.docVIP

A B C 1 A D E F 1 B 1 C A B C S G F E 2013 年普通高等学校统一考试数学试题 卷卷 必做题部分必做题部分 一 填空题一 填空题 1 函数的最小正周期为 4 2sin 3 xy 2 设 为虚数单位 则复数的模为 2 2 iz iz 3 双曲线的两条渐近线的方程为 1 916 22 yx 4 集合共有 个子集 1 0 1 5 下图是一个算法的流程图 则输出的的值是 n 6 抽样统计甲 乙两位设计运动员的 5 此训练成绩 单位 环 结果如下 运动员第 1 次第 2 次第 3 次第 4 次第 5 次 甲 8791908993 乙 8990918892 则成绩较为稳定 方差较小 的那位运动员成绩的方差为 7 现在某类病毒记作 其中正整数 可以任意选取 则都取到奇 nmY Xmn7 m9 nnm 数的概率为 8 如图 在三棱柱中 分别是ABCCBA 111 FED 1 AAACAB 的中点 设三棱锥的体积为 三棱柱的体积为 ADEF 1 VABCCBA 1112 V 则 21 V V 9 抛物线在处的切线与两坐标轴围成三角形区域为 包含三 2 xy 1 xD 角形内部与边界 若点是区域内的任意一点 则的取值范 yxPDyx2 围是 10 设分别是的边上的点 若ED ABC BCAB ABAD 2 1 BCBE 3 2 为实数 则的值为 ACABDE 21 21 21 11 已知是定义在上的奇函数 当时 则不等式的解集用区间 xfR0 xxxxf4 2 xxf 表示为 12 在平面直角坐标系中 椭圆的标准方程为 右焦点为 右准线xOyC 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x F 为 短轴的一个端点为 设原点到直线的距离为 到 的距离为 若 则椭lBBF 1 dFl 2 d 12 6dd 圆的离心率为 C 13 在平面直角坐标系中 设定点 是函数 图象上一动点 若点xOy aaAP x y 1 0 x 之间的最短距离为 则满足条件的实数的所有值为 AP 22a 14 在正项等比数列中 则满足的最大正整数 n a 2 1 5 a3 76 aa nn aaaaaa 2121 的值为 n 二 解答题 15 本小题满分 14 分 已知 cos sin cos sin ab 0 1 若 求证 2 设 2ab ab 0 1 c 若 求的值 abc 16 本小题满分 14 分 如图 在三棱锥中 平面平面 ABCS SABSBCBCAB x y A l O C B A 过作 垂足为 点分别是棱的中点 ABAS ASBAF FGE SCSA 求证 1 平面平面 2 EFGABCSABC 17 本小题满分 14 分 如图 在平面直角坐标系中 点 直线xOy 3 0 A 设圆的半径为 圆心在 上 42 xylC1l 1 若圆心也在直线上 过点作圆的切线 求切线的方程 C1 xyAC 2 若圆上存在点 使 求圆心的横坐标的取值范围 CMMOMA2 Ca 18 本小题满分 16 分 如图 游客从某旅游景区的景点处下山至处有两种路径 一种是从沿直ACA 线步行到 另一种是先从沿索道乘缆车到 然后从沿直线步行到 现有甲 乙两位游客从CABBC 处下山 甲沿匀速步行 速度为 在甲出发后 乙从乘缆车到 在处停AACmin 50mmin2ABB 留后 再从匀速步行到 假设缆车匀速直线运动的速度为 山路长为 min1Cmin 130mACm1260 经测量 13 12 cos A 5 3 cos C 1 求索道的长 AB 2 问乙出发多少分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 3 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行C3 的速度应控制在什么范围内 19 本小题满分 16 分 设是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 记 n aad 0 d n Sn 其中为实数 cn nS b n n 2 Nn c 1 若 且成等比数列 证明 0 c 421 bbb knk SnS 2 Nnk 2 若是等差数列 证明 n b0 c 20 本小题满分 16 分 设函数 其中为实数 axxxf ln axexg x a 1 若在上是单调减函数 且在上有最小值 求的取值范围 xf 1 xg 1 a 2 若在上是单调增函数 试求的零点个数 并证明你的结论 xg 1 xf 卷卷 附加题部分附加题部分 选做题 第 21 题 本题包括 A B C D 四小题 请选定其中两题 并在相应的答题区域内作答 若 多做 则按作答的前两题评分 解答时应写出文字说明 证明过程或演算步骤 21 A 选修 4 1 几何证明选讲 本小题满分 10 分 如图 和分别与圆相切于点 经过圆心 且ABBCOD C ACO2BCOC 求证 2ACAD 21 B 选修 4 2 矩阵与变换 本小题满分 10 分 已知矩阵 求矩阵 1 01 2 020 6 AB BA 1 21 C 选修 4 4 坐标系与参数方程 本小题满分 10 分 在平面直角坐标系中 直线 的参数方程为 为参数 曲线 C 的参数方程为xoyl ty tx 2 1 t 为参数 试求直线 与曲线 C 的普通方程 并求出它们的公共点的坐标 tan2 tan2 2 y x l 21 D 选修 4 5 不定式选讲 本小题满分 10 分 已知 0 求证 ba baabba 2233 22 必做题 第 22 23 题 每题 10 分 共 20 分 请在相应的答题区域内作答 若多做 解答时应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 22 本小题满分 10 分 如图 在直三棱柱中 点是的中点 111 ABCABC ACAB 2 ACAB4 1 AADBC 1 求异面直线与所成角的余弦值BA1DC1 2 求平面与所成二面角的正弦值 1 ADC 1 ABA 23 本小题满分 10 分 设数列 122 3 3 34444 n a 即当时 1 1 1 1 k kk kk 个 11 22 kkk k n kN 记 对于 1 1 k n ak 12nn Saaa nN lN 定义集合 l P1 nn n SanNnl 是的整数倍 且 1 求集合中元素的个数 2 求集合中元素的个数 11 P 2000 P 参考答案参考答案 一 填空题 1 2 5 3 4 8 5 3 6 2 7 8 9 xy 4 3 20 63 1 24 2 1 2 10 11 12 13 或 14 12 1 2 50 5 3 3 1 10 二 解答题 15 解 1 即 2 ba2 2 ba 22 222 bbaaba 又 1sincos 222 2 aa1sincos 222 2 bb222 ba0 bab a 2 即 1 0 sinsin cos cosba 1sinsin 0coscos sin1sin coscos 两边分别平方再相加得 sin221 2 1 sin 2 1 sin 0 6 1 6 5 16 证明 1 F 分别是 SB 的中点ABAS SBAF E F 分别是 SA SB 的中点 EF AB 又 EF平面 ABC AB平面 ABC EF 平面 ABC 同理 FG 平面 ABC 又 EFFG F EF FG平面 ABC 平面平面 EFGABC 2 平面平面 SABSBC 平面平面 BCSAB SBC AF平面 SAB AF SB AF 平面 SBC 又 BC平面 SBC AF BC 又 ABAF A AB AF平面 SAB BC 平面 SAB 又 SA平面 SAB BC SABCAB 17 解 1 由得圆心 C 为 3 2 圆的半径为 1 42 xy xy C1 圆的方程为 C1 2 3 22 yx 显然切线的斜率一定存在 设所求圆 C 的切线方程为 即3 kxy03 ykx 或者1 1 323 2 k k 113 2 kk0 34 2 kk0 k 4 3 k 所求圆 C 的切线方程为 或者即或者3 y3 4 3 xy3 y01243 yx 2 解 圆的圆心在在直线上 所以 设圆心 C 为 a 2a 4 C42 xyl 则圆的方程为 C 1 42 2 2 ayax 又 设 M 为 x y 则整理得 设为圆 DMOMA2 2222 2 3 yxyx 4 1 22 yx 点 M 应该既在圆 C 上又在圆 D 上 即 圆 C 和圆 D 有交点 12 1 42 12 2 2 aa 由得0885 2 aaRx 由得0125 2 aa 5 12 0 x 终上所述 的取值范围为 a 5 12 0 18 解 1 13 12 cos A 5 3 cos C 2 0 CA 13 5 sin A 5 4 sin C 65 63 sincoscossinsinsinsin CACACACAB 根据得 sinBsinC ACAB mC AC AB1040sin sinB 2 设乙出发 t 分钟后 甲 乙距离为 d 则 13 12 50100 1302 50100 130 222 ttttd 507037 200 22 ttd 即 130 1040 0 t80 t 时 即乙出发分钟后 乙在缆车上与甲的距离最短 37 35 t 37 35 3 由正弦定理得 m sinBsinA ACBC 500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC 乙从 B 出发时 甲已经走了 50 2 8 1 550 m 还需走 710 m 才能到达 C 设乙的步行速度为 V 则min m3 50 710500 v 3 50 710500 3 v14 625 43 1250 v 为使两位游客在处互相等待的时间不超过分钟 乙步行的速度应控制在范围内C3 14 625 43 1250 法二 解 解 1 如图作 BD CA 于点 D 设 BD 20k 则 DC 25k AD 48k AB 52k 由 AC 63k 1260m 知 AB 52k 1040m 2 设乙出发 x 分钟后到达点 M 此时甲到达 N 点 如图所示 则 AM 130 x AN 50 x 2 由余弦定理得 MN2 AM2 AN2 2 AM ANcosA 7400 x2 14000 x 10000 其中 0 x 8 当 x min 时 MN 最小 此时乙在缆车上与甲的距离最短 35 37 3 由 1 知 BC 500m 甲到 C 用时 min 1260 50 126 5 若甲等乙 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 141 5 86 5 此时乙的速度最小 且为 500 m min 86 5 1250 43 若乙等甲 3 分钟 则乙到 C 用时 3 min 在 BC 上用时 min 126 5 111 5 56 5 此时乙的速度最大 且为 500 m min 56 5 625 14 故乙步行的速度应控制在 范围内 1250 43 625 14 C B A D M N 19 证明 是首项为 公差为的等差数列 是其前项和 n aad 0 d n Sn d nn naSn 2 1 1 0 cd n a n S b n n 2 1 成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 2 3 2 1 2 daada 0 4 1 2 1 2 dad0 2 1 2 1 dad0 dda 2 1 ad2 ana nn nad nn naSn 2 2 2 1 2 1 左边 右边 aknankSnk 222 aknSn k 222 左边 右边 原式成立 2 是等差数列 设公差为 带入得 n b 1 d 11 1 dnbbn cn nS b n n 2 对恒成立 11 1 dnb cn nSn 2 2 1 2 1 111 2 11 3 1 bdcncdndadbndd Nn 0 0 0 2 1 0 2 1 11 1 11 1 bdc cd dadb dd 由 式得 dd 2 1 1 0 d0 1 d 由 式得 0 c 法二 证 1 若 则 0 cdnaan 1 2 2 1 adnn Sn 2 2 1 adn bn 当成等比数列 421 bbb 41 2 2 bbb 即 得 又 故 2 3 2 2 d aa d aadd2 2 0 dad2 由此 anSn 2 aknankSnk 222 aknSn k 222 故 knk SnS 2 Nnk 2 cn adn n cn nS b n n 2 2 2 2 2 1 cn adn c adn c adn n 2 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 cn adn c adn 2 2 2 1 2 2 1 若是等差数列 则型 n bBnAnbn 观察 式后一项 分子幂低于分母幂 故有 即 而 0 0 2 2 1 2 cn adn c 0 2 2 1 adn c 2 2 1 adn 故 0 c 经检验 当时是等差数列 0 c n b 20 解 1 由即对恒成立 0 1 a x xfa x 1 1 x max 1 x a 而由知 1 1 x x 1 1 a 由令则aexg x 0 xgaxln 当 时 0 当 时 0 xaln xgxaln xg 在上有最小值 xg 1 1 alnae 综上所述 的取值范围为a e 2 证明 在上是单调增函数 xg 1 即对恒成立 0 aexg xx ea 1 x min x ea 而当时 1 x x e e 1 e a 1 分三种情况 当时 0 f x 在上为单调增函数0 a x xf 1 0 x f x 存在唯一零点0 1 f 当 0 时 0 f x 在上为单调增函数aa x xf 1 0 x 0 且 0 1 aaa eaaeaef af 1 f x 存在唯一零点 当 0 时 令得 e a 1 a x xf 1 0 xf a x 1 当 0 时 0 时 0 x a 1 x a xa xf 1 x a 1 x a xa xf 1 为最大值点 最大值为 a x 1 1ln 11 ln 1 a a a aa f 当时 有唯一零点01ln a01ln a e a 1 xfe a x 1 当 0 时 0 有两个零点1ln a e a 1 xf 实际上 对于 0 由于 0 0 e a 1 e a e a ee f 1 11 ln 1 1ln 11 ln 1 a a a aa f 且函数在上的图像不间断 函数在上有存在零点 ae 1 1 xf ae 1 1 另外 当 0 故在上单调增 在只有一个零点 a x 1 0a x xf 1 xf a 1 0 xf a 1 0 下面考虑在的情况 先证 0 xf 1 a lnln 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 为此我们要证明 当 时 设 则 再设xe x e 2 x 2 xexh x xexh x 2 xexl x 2 2 x exl 当 1 时 2 0 在上是单调增函数x2 x exlexexl x 2 1 故当 2 时 0 xxexh x 2 4 2 2 eh 从而在上是单调增函数 进而当 时 0 2 xexh x 2xe 2 xexh x 2 eeeh e 即当 时 xe x e 2 x 当 0 时 即 e 时 0a e 1 1 a lnln 11111 21 aaaaa eaaaeeaaeeef 又 0 且函数在上的图像不间断 1ln 11 ln 1 a a a aa f xf 1 1 a ea 函数在上有存在零点 又当 时 0 故在上 xf 1 1 a eax a 1 x a xa xf 1 xf 1 a 是单调减函数 函数在只有一个零点 xf 1 a 综合 知 当时 的零点个数为 1 当 0 时 的零点个数为 20 a xfa e 1 xf 21 A 证明 连接 OD AB 与 BC 分别与圆 O 相切于点 D 与 C 又 0 90 ACBADOAA ADORT ACBRT 又 BC 2OC 2OD AC 2AD AD AC OD BC 21 B 解 设矩阵 A 的逆矩阵为 则 即 dc ba 20 01 dc ba 10 01 dc ba 22 10 01 故 a 1 b 0 c 0 d 矩阵 A 的逆矩阵为 2 1 2 1 0 01 1 A BA 1 2 1 0 01 60 21 30 21 21 C 解 直线 的参数方程为 消去参数 后得直线的普通方程为 l ty tx 2 1 t022 yx 同理得曲线 C 的普通方程为 xy2 2 联立方程组解得它们公共点的坐标为 2 2 1 2 1 21 D 证明 baabba 2233 22 22 3223 bbaaba 2 2222 babbaa 2 2 22 bababababa 又 0 0 ba ba 0 ba02 ba 0 2 bababa 022 2233 baabba baabba 2233 22 22 本题主要考察异面直线 二面角 空间向量等基础知识以及基本运算 考察运用空间向量解决问题 的能力 解 1 以为为单位正交基底建立空间直角坐标系 1 AAACABxyzA 则 0 0 0 A 0 0 2 B 0 2 0 C 4 0 0 1 A 0 1 1 D 4 2 0 1 C 4 0 2 1 BA 4 1 1 1 BA 10 103 1820 18 cos 11 11 11 DCBA DCBA DCBA 异面直线与所成角的余弦值为BA1DC1 10 103 2 是平面的的一个法向量 0 2 0 AC 1 ABA 设平面的法向量为 1 ADC zyxm 0 1 1 AD 4 2 0 1 AC 由 1 ACmADm 取 得 平面的法向量为 042 0 zy yx 1 z2 2 xy 1 ADC 1 2 2 m 设平面与所成二面角为 1 ADC 1 ABA 得 3 2 32 4 coscos mAC mAC mAC 3 5 sin 平面与所成二面角的正弦值为 1 ADC 1 ABA 3 5 23 本题