优化方案：高中数学（文）高考总复习一轮用书第12章数列5节课件苏教版.ppt

第五节数列的综合问题 基础知识梳理 1 数列与其它章节的综合题数列综合题 包括数列知识和指数函数 对数函数 不等式的知识综合起来 另外 数列知识在复数 三角函数 解析几何部分也有广泛的应用 1 对于等差数列 an a1 n 1 d dn a1 d 当d 0时 an是n的一次函数 对应的点 n an 是位于直线上的若干个点 当d 0时 函数是增函数 对应的数列是递增数列 同理 d 0时 函数是常数函数 对应的数列是常数列 d 0时 函数是减函数 对应的数列是递减数列 基础知识梳理 若等差数列的前n项和为sn 则sn pn2 qn p q r 当p 0时 an 为常数列 当p 0时 可用二次函数的方法解决等差数列问题 2 对于等比数列 an a1qn 1 可用指数函数的性质来理解 当a1 0 q 1或a10 01时 等比数列 an 是递减数列 当q 1时 是一个常数列 当q 0 无法判断数列的单调性 它是一个摆动数列 基础知识梳理 2 数列的探索性问题探索性问题是高考的热点 常在数列解答题中出现 探索性问题对分析问题 解决问题的能力有较高的要求 3 等差数列与等比数列的综合问题4 数列的实际应用现实生活中涉及 等实际问题 常常考虑用数列的知识来加以解决 银行利率 企业股金 产品利润 人口增长 工作效率 图形面积 曲线长度 三基能力强化 1 2010年福州市普通高中模拟 已知等差数列 an 中 a1 11 前7项的和s7 35 则前n项和sn中第 项的和最大 答案 6 三基能力强化 答案 11 三基能力强化 3 已知等差数列 an 的前n项和为sn 且s21 42 记a 2a112 a9 a13 则a的值为 答案 1 三基能力强化 答案 63 三基能力强化 5 已知数列 an 的前n项和sn n2 9n 若它的第k项ak满足5 ak 8 则k 答案 8 课堂互动讲练 等差数列与等比数列相结合的综合问题是高考考查的重点 特别是等差 等比数列的通项公式 前n项和公式以及等差中项 等比中项问题是历年命题的热点 课堂互动讲练 思路点拨 1 利用条件联立方程求a2 而后再求q即可得an 2 可知 bn 是等差数列利用求和公式可解 设 an 是公比大于1的等比数列 sn为数列 an 的前n项和 已知s3 7 且a1 3 3a2 a3 4构成等差数列 1 求数列 an 的通项 2 令bn lna3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和tn 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 利用等比数列前n项和公式时注意公比q的取值 同时对两种数列的性质 要熟悉它们的推导过程 利用好性质 可降低题目的难度 解题时有时还需利用条件联立方程求解 课堂互动讲练 1 若数列 an 的前n项和sn满足sn 2an 1 n n 1 求数列 an 的通项 2 令bn log2a3n 1 n 1 2 求数列 bn 的前n项和tn 解 1 当n 1时 a1 s1 2a1 1 a1 1 当n 2时 an sn sn 1 2an 1 2an 1 1 an 2an 1 数列 an 是首项为a1 1 公比为2的等比数列 数列 an 的通项公式是an 2n 1 课堂互动讲练 互动探究 课堂互动讲练 涉及到函数 方程 不等式知识的综合性试题 在解题过程中通常用递推思想 函数与方程 归纳与猜想 等价转化 分类讨论等数学思想方法 属于中 高档难度的题目 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 数列与函数 不等式容易结合构成综合性较强的题目 函数的类型及性质 尤其函数式的结构是解决问题的突破口 其次联系数列的知识 明确解题的目的和化简整理代数式的方向往往也是解题的关键 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 跟踪训练 课堂互动讲练 数列的应用题关键在于从题目中提炼出数列相关问题 常见的有构成等差或等比问题 也有的是构造出递推关系 再构造出新的数列 常涉及数列求和的问题 或数列不等式恒成立问题 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 求出a1 a2 b1 b2代入pn求解 2 求出pn pn 20 是超越不等式 代入特殊值验证 课堂互动讲练 课堂互动讲练 pn 1 pn 即pn 2n 1 1 1n 1 n n 为关于n的增函数 p9 17 1 18 17 2 14 36 38 20 p4 7 1 13 9 31 20 而p7 13 1 16 13 1 13 1 13 23 20 p6 11 1 15 17 7 20 故从第7年起该企业 对社会的有效贡献率 不低于20 课堂互动讲练 点评 1 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容 解答数学应用问题的核心是建立数学模型 有关平均增长率 利率 复利 以及等值增减等实际问题 需利用数列知识建立数学模型 2 在试题中常用的数学模型有 构造等差 等比数列的模型 然后再去应用数列的通项公式与求和公式求解 通过归纳得到结论 然后用数列知识求解 课堂互动讲练 3 在一次人才招聘会上 有a b两家公司分别开出它们的工资标准 a公司允诺第一年月工资数为1500元 以后每年月工资比上一年月工资增加230元 b公司允诺第一年月工资数为2000元 以后每年月工资在上一年的月工资基础上递增5 设某人年初被a b两家公司同时录取 试问 1 若该人分别在a公司或b公司连续工作n年 则他在第n年的月工资收入分别是多少 跟踪训练 课堂互动讲练 2 该人打算连续在一家公司工作10年 仅从工资收入总量较多作为应聘的标准 不计其他因素 该人应该选择哪家公司 为什么 3 在a公司工作比在b公司工作的月工资收入最多可以多多少元 精确到1元 并说明理由 解 1 此人在a b公司第n年的月工资数分别为 an 1500 230 n 1 n n bn 2000 1 5 n 1 n n 跟踪训练 课堂互动讲练 2 若该人在a公司连续工作10年 则他的工资收入总量为12 a1 a2 a10 304200 元 若该人在b公司连续工作10年 则他的工资收入总量为12 b1 b2 b10 301869 元 因为在a公司收入的总量高些 因此该人应该选择a公司 3 问题等价于求cn an bn 1270 230n 2000 1 05n 1 n n 的最大值 当n 2时 cn cn 1 230 100 1 05n 2 当cn cn 1 0 跟踪训练 课堂互动讲练 即230 100 1 05n 2 0时 1 05n 2 2 3 得n 19 1 因此 当2 n 19时 cn 1 cn 于是 当n 20时 cn cn 1 c19是数列 cn 的最大项 c19 a19 b19 827 元 即在a公司工作比在b公司工作的月工资收入最多可以多827元 跟踪训练 课堂互动讲练 本问题中 题目的设置多含有参数 又多与存在 不存在等问题相关联 综合性较强 一般可利用特殊值法或者从特殊到一般的处理思想分析 归纳 猜想等 从此过程中找到解题的入口或线索 课堂互动讲练 课堂互动讲练 思路点拨 1 画出可行域 找点 2 利用tn的单调性 3 假设存在 化简不等式寻找n t 课堂互动讲练 课堂互动讲练 课堂互动讲练 点评 数列 解析几何 不等式是新课标高考的重点内容 将三者密切结合在一起 命制大型综合题是历年高考的热点和重点 数列是特殊的函数 以数列为背景的不等式证明问题及以函数作为背景进行数列的构造命题体现了在知识交汇点上命题的特点 该类综合题的知识综合性强 能很好地考查逻辑推理能力和运算求解能力 而一直成为高考命题者的首选 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 解 1 2sn an2 an 30 当n 2时 2sn 1 an 12 an 1 30 n 2 得2an an2 an 12 an an 1 即 an an 1 an an 1 1 0 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 课堂互动讲练 自我挑战 规律方法总结 1 数列的渗透力很强 它和函数 方程 三角 不等式等知识相互联系 优化组合 无形中加大了综合力度 所以 解决此类题目仅靠掌握一点单科知识 无异于杯水车薪 必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解 深刻领悟它在解题中的重大作用 常用的数学思想方法主要有 函数与方程 数形结合 分类讨论 等价转化 等 2 数列作为特殊的函数 在实际问题中有着广泛的应用 如增长率 减少率 银行信贷 浓度匹配 养老保险 圆钢堆垒等问题 规律方法总结 3 解答数列综合题和应用题既要有坚实