北京市理工大附中高三数学上学期第一次月考试卷 理（含解析）.doc

北京市理工大附中2015届高三上学 期第一次月考数学试卷（理科）一、选择题（每小题5分，共60分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1（5分）已知集合a=4，b=2，3，4，且（ab）c（ab），则集合c的个数是（）a2b3c4d52（5分）使函数y=3sin（2x）为增函数的区间为（）a0，b，c，d，3（5分）已知tan（）=，（，2），则cos（+）=（）abcd4（5分）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）a10b12c14d165（5分）下列关系式中正确的是（）asin11cos10sin168bsin168sin11cos10csin11sin168cos10dsin168cos10sin116（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kr），=，如果，那么（）ak=1且c与d同向bk=1且c与d反向ck=1且c与d同向dk=1且c与d反向7（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=（x1）2；若当时，nf（x）m恒成立，则mn的最小值为（）a1bcd8（5分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边已知a，b，c成等比数列，且a2c2=acbc，则的值为（）abcd9（5分）函数y=cos（2x+）2的图象f按向量平移到f，f的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）a（，2）b（，2）c（，2）d（，2）10（5分）tan，tan的方程的两根，且，则+=（）ab或c或d11（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x1）=5，x1+x2=（）ab3cd412（5分）给出下列命题：y=tanx在其定义域上是增函数；函数的最小正周期是；q：f（x）=logtanx在（0，+）内是增函数，则p是q的充分非必要条件；函数的奇偶性不能确定其中正确命题的序号是（）abcd二、填空题（每题5分，共20分把答案填在答题纸的横线上）13（5分）若函数则不等式的解集为14（5分）已知x0，sinx+cosx=，则的值为15（5分）若平面向量，满足|+|=1，+平行于x轴，=（2，1），则=16（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17（10分）已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin=，求sin的值18（12分）在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，（1）求c；（2）若，求a，b，c19（12分）已知等差数列an的前项和为sn，且a3=5，s15=225（1）求数列an的通项an；（2）设bn=an+1，求数列bn的前项和tn20（12分）已知函数f（x）=asin（x+），xr（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（）求f（x）的解析式；（）当，求f（x）的值域21（12分）已知定义域为r的函数f（x）=是奇函数（）求b的值；（）判断函数f（x）的单调性；（）若对任意的tr，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围22（12分）已知函数f（x）=的图象过原点，且关于点（1，1）成中心对称（）求函数f（x）的解析式；（）若数列an（nn*）满足：an0，a1=1，an+1=（f（）2，求数列an的通项an；（）若数列an的前项和为sn，判断sn，与2的大小关系，并证明你的结论北京市理工大附中2015届高三上学期第一次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（每小题5分，共60分下列每小题所给选项只有一项符合题意，请将正确答案的序号填涂在答题卡上）1（5分）已知集合a=4，b=2，3，4，且（ab）c（ab），则集合c的个数是（）a2b3c4d5考点：集合的包含关系判断及应用；并集及其运算；交集及其运算 分析：先算（ab）和（ab），再依据子集的意义观察集合c的多少个解答：解：ab=4，ab=2，3，4，满足（ab）c（ab）的集合c4，或=3，4，或=2，4，或=2，3，4，共四个故选c点评：本题主要考查集合之间的关系，即什么叫做子集的问题属于考查对课本中概念的理解2（5分）使函数y=3sin（2x）为增函数的区间为（）a0，b，c，d，考点：正弦函数的单调性 专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：由诱导公式知y=3sin（2x）=3sin（2x+），由2k+2x+2k+（kz）可求得函数y=3sin（2x）为增函数的区间，从而可得答案解答：解：y=3sin（2x）=3sin（2x+），由复合函数的性质得，函数y=3sin（2x+）的单调递减区间就是y=3sin（2x）的单调递增区间，由2k+2x+2k+（kz）得：k+xk+（kz），令k=0得：x，使函数y=3sin（2x）为增函数的区间为，故选：d点评：本题考查正弦函数的单调性，考查诱导公式的应用，考查复合函数的性质，属于中档题3（5分）已知tan（）=，（，2），则cos（+）=（）abcd考点：运用诱导公式化简求值 专题：三角函数的求值分析：已知等式利用诱导公式化简，求出tan的值，根据的范围，利用同角三角函数间的基本关系求出sin的值，原式利用诱导公式化简即可求出值解答：解：tan（）=tan=，（，2），tan=，cos=，sin=，则cos（+）=sin=，故选：b点评：此题考查了运用诱导公式化简求值，熟练掌握诱导公式是解本题的关键4（5分）一个有限项的等差数列，前4项之和为40，最后4项之和是80，所有项之和是210，则此数列的项数为（）a10b12c14d16考点：等差数列的性质 专题：计算题分析：由等差数列的性质可得 首项和末项的和 a1+an=30，再根据210=，解得n 的值解答：解：由等差数列的性质可得 首项和末项的和 a1+an=30，根据所有项之和是210=，解得 n=14，故选c点评：本题考查等差数列的定义和性质，前n项和公式的应用，求出a1+an的值，是解题的难点和关键5（5分）下列关系式中正确的是（）asin11cos10sin168bsin168sin11cos10csin11sin168cos10dsin168cos10sin11考点：正弦函数的单调性 专题：三角函数的图像与性质分析：先根据诱导公式得到sin168=sin12和cos10=sin80，再结合正弦函数的单调性可得到sin11sin12sin80从而可确定答案解答：解：sin168=sin（18012）=sin12，cos10=sin（9010）=sin80又y=sinx在x0，上是增函数，sin11sin12sin80，即sin11sin168cos10故选：c点评：本题主要考查诱导公式和正弦函数的单调性的应用关键在于转化，再利用单调性比较大小6（5分）已知向量=（1，0），=（0，1），=k+（kr），=，如果，那么（）ak=1且c与d同向bk=1且c与d反向ck=1且c与d同向dk=1且c与d反向考点：平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：计算题分析：根据所给的选项特点，检验k=1是否满足条件，再检验k=1是否满足条件，从而选出应选的选项解答：解：=（1，0），=（0，1），若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），显然，与不平行，排除a、b若k=1，则=+=（1，1），=（1，1），即 且与反向，排除c，故选 d点评：本题考查平行向量的坐标表示，当两个向量平行时，一个向量的坐标等于另一个向量坐标的若干倍7（5分）已知y=f（x）是偶函数，当x0时，f（x）=（x1）2；若当时，nf（x）m恒成立，则mn的最小值为（）a1bcd考点：函数奇偶性的性质 分析：首先求函数自变量小于0时，函数的解析式分析函数的最大最小值，推断m，n的范围，进而得出答案解答：解：设x0，则x0，有f（x）=（x1）2=（x+1）2原函数是偶函数，故有f（x）=f（x）=（x+1）2，即x0时，f（x）=（x+1）2该函数在2，上的最大值为1，最小值为0，依题意 nf（x）m恒成立，所以n0，m1，即mn1故选a点评：本题主要考查函数奇偶性的运用关键是利用函数的奇偶性求出函数的解析式8（5分）在abc中，a，b，c分别是角a，b，c的对边已知a，b，c成等比数列，且a2c2=acbc，则的值为（）abcd考点：余弦定理；正弦定理 专题：解三角形分析：由a，b，c成等比数列，利用等比数列的性质得到b2=ac，代入已知等式中变形，利用余弦定理表示出cosa，将得出的关系式代入求出cosa的值，确定出a的度数，再利用正弦定理表示出sinb，代入所求式子中变形，将b2=ac及sina的值代入计算即可求出值解答：解：a，b，c成等比数列，b2=ac，将b2=ac代入a2c2=acbc，即a2c2=b2bc，即b2+c2a2=bc，cosa=，即a=60，由正弦定理=得：sinb=，则=sina=故选a点评：此题考查了余弦定理，正弦定理，以及等比数列的性质，熟练掌握定理是解本题的关键9（5分）函数y=cos（2x+）2的图象f按向量平移到f，f的函数解析式为y=f（x），当y=f（x）为奇函数时，向量a可以等于（）a（，2）b（，2）c（，2）d（，2）考点：函数y=asin（x+）的图象变换；余弦函数的奇偶性 专题：计算题分析：由左加右减上加下减的原则可确定函数y=cos（2x+）2到y=sin2x的路线，进而确定向量解答：解：y=cos（2x+）2将函数y=cos（2x+）2向左平移个单位，再向上平移2个单位可得到y=cos（2x+）=sin2x=（，2）故选b点评：本题是基础题，考查三角函数图象平移，三角函数的平移原则为左加右减上加下减注意向量的平移的方向10（5分）tan，tan的方程的两根，且，则+=（）ab或c或d考点：两角和与差的正切函数 专题：计算题；三角函数的求值分析：利用韦达定理求出tan+tan与tantan的值，利用两角和与差的正切函数公式化简tan（+），将各自的值代入求出tan（+）的值，根据+的范围即可求出+的值解答：解：tan，tan的方程x23x+4=0的两根，tan+tan=3，tantan=4，tan（+）=，tan0，tan0，+（0，），+=故选a点评：此题考查了两角和与差的正切函数公式，韦达定理，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握公式是解本题的关键11（5分）若x1满足2x+2x=5，x2满足2x+2log2（x1）=5，x1+x2=（）ab3cd4考点：函数的图象与图象变化 专题：压轴题分析：先由题中已知分别将x1、x2所满足的关系表达为，2x1=2log2（52x1）系数配为2是为了与下式中的2x2对应2x2+2log2（x21）=5，观察两个式子的特点，发现要将真数部分消掉求出x1+x2，只须将52x1化为2（t1）的形式，则2x1=72t，t=x2解答：解：由题意2x2+2log2（x21）=5 所以，x1=log2（52x1） 即2x1=2log2（52x1）令2x1=72t，代入上式得72t=2log2（2t2）=2+2log2（t1）52t=2log2（t1）与式比较得t=x2于是2x1=72x2即x1+x2=故选c点评：本题涉及的是两个非整式方程，其中一个是指数方程，一个是对数方程，这两种方程均在2015届高考考纲范围之内，因此此题中不用分别解出两个方程，分别求出x1，x2，再求x1+x2，这样做既培养不了数学解题技巧，也会浪费大量时间12（5分）给出下列命题：y=tanx在其定义域上是增函数；函数的最小正周期是；q：f（x）=logtanx在（0，+）内是增函数，则p是q的充分非必要条件；函数的奇偶性不能确定其中正确命题的序号是（）abcd考点：命题的真假判断与应用 专题：计算题分析：y=tanx在其定义域上的图象不连续，故y=tanx在其定义域上不是单调函数；由函数y=sin（2x+）的最小正周期为，知函数的最小正周期是；f（x）=logtanx在（0，+）内是增函数，f（x）=logtanx在（0，+）内是增函数k，kz；的为奇函数解答：解：y=tanx在其定义域上的图象不连续，故不正确；由函数y=sin（2x+）的最小正周期为，知函数的最小正周期是，故正确；，tan1，f（x）=logtanx在（0，+）内是增函数，若f（x）=logtanx在（0，+）内是增函数，则tan1，k，kz，故正确；的定义域是r，又f（x）+f（x）=lg（sinx+）+lg（sinx+）=lg1=0，即f（x）=f（x），故函数f（x）为奇函数，所以不正确故选b点评：本题考查命题的真假判断，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数性质的灵活运用二、填空题（每题5分，共20分把答案填在答题纸的横线上）13（5分）若函数则不等式的解集为3，1考点：其他不等式的解法 专题：计算题；压轴题；转化思想分析：先由分段函数的定义域选择解析式，构造不等式，再由分式不等式的解法和绝对值不等式的解法分别求解，最后两种结果取并集解答：解：由由不等式的解集为x|3x1，故答案为：3，1点评：本题主要考查分段函数和简单绝对值不等式的解法属于基础知识、基本运算14（5分）已知x0，sinx+cosx=，则的值为考点：三角函数的恒等变换及化简求值 专题：三角函数的求值分析：依题意，可求得sinx=，cosx=，再利用三角函数的恒等变换对所求的关系式化简求值即可解答：解：x0，sinx0，cosx0，又sinx+cosx=，sin2x+cos2x=1，sinx=，cosx=，=（sinxcosx+2）=（）=故答案为：点评：本题考查三角函数的恒等变换及化简求值，考查降幂公式及二倍角的正弦公式的应用，属于中档题15（5分）若平面向量，满足|+|=1，+平行于x轴，=（2，1），则=（3，1），（1，1）考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量共线（平行）的坐标表示 专题：平面向量及应用分析：设出=（x，y），根据题意列出方程组，求出方程组的解来解答：解：设=（x，y），|+|=1，+平行于x轴，=（2，1），+=（x+2，y1），；解得，或；=（3，1）或=（1，1）故答案为：（3，1），（1，1）点评：本题考查了平面向量的应用问题，解题时应根据题意，列出方程组，即可求出答案，是基础题16（5分）若，则函数y=tan2xtan3x的最大值为8考点：二倍角的正切；函数的最值及其几何意义 专题：计算题；压轴题分析：见到二倍角2x 就想到用二倍角公式，之后转化成关于tanx的函数，将tanx看破成整体，最后转化成函数的最值问题解决解答：解：令tanx=t，故填：8点评：本题主要考查二倍角的正切，二次函数的方法求最大值等，最值问题是中学数学的重要内容之一，它分布在各块知识点，各个知识水平层面以最值为载体，可以考查中学数学的所有知识点三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题纸的相应位置）17（10分）已知向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=（1）求cos（）的值；（2）若0，0，且sin=，求sin的值考点：三角函数的恒等变换及化简求值；平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：（1）通过|=求出向量的模，化简即可求出cos（）的值；（2）通过0，0，且sin=，求出cos的值，sin（）的值，利用sin=sin（+），然后求sin的值解答：解：（1）因为向量=（cos，sin），=（cos，sin），|=，所以22cos（）=，所以cos（）=；（2）若0，0，所以0，因为cos（）=，所以sin（）=且sin=，cos=，所以，sin=sin（+）=sin（）cos+cos（）sin=点评：本题是中档题，考查三角函数的恒等变换以及化简求值，平面向量的数量积的应用，注意角的变换的技巧=+，是简化解题过程的依据，注意角的范围的确定，是解题的关键，同时注意：3，4，5；5，12，13这些特殊数字组成的直角三角形的三角函数值的应用18（12分）在abc中，a，b，c所对的边分别为a，b，c，（1）求c；（2）若，求a，b，c考点：正弦定理；平面向量数量积的运算 专题：计算题分析：（1）先利用正弦定理把题设条件中的边转化成角的正弦，进而利用两角和的公式化简整理求的cotc的值，进而求得c（2）根据求得ab的值，进而利用题设中和正弦定理联立方程组，求得a，b和c解答：解：（1）由得则有=得cotc=1即、（2）由推出；而，即得，则有解得点评：本题主要考查了正弦定理得应用解题的关键是利用正弦定理解决三角形问题中的边，角问题19（12分）已知等差数列an的前项和为sn，且a3=5，s15=225（1）求数列an的通项an；（2）设bn=an+1，求数列bn的前项和tn考点：数列的求和；等差数列的性质 专题：等差数列与等比数列分析：（）根据等差数列的通项公式、前n项和公式列出方程组，求出首项a1、公差d，再求出通项an；（）由（）先求出bn，根据bn的特点利用分组求和、错位相减法求出前项和tn解答：解：（）设等差数列an首项为a1，公差为d，由题意得，解得所以an=1+2（n1）=2n1； （ii）由（i）知，bn=an+1=，所以tn=2（1+2+n）（），设s=，s=，得，s=1+=1+=2，则s=，所以tn=点评：本题等差数列的通项公式、前n项和公式，以及数列求和方法：错位相减法和分组求和，属于中档题20（12分）已知函数f（x）=asin（x+），xr（其中）的图象与x轴的交点中，相邻两个交点之间的距离为，且图象上一个最低点为（）求f（x）的解析式；（）当，求f（x）的值域考点：由y=asin（x+）的部分图象确定其解析式；正弦函数的定义域和值域 专题：计算题分析：（1）根据最低点m可求得a；由x轴上相邻的两个交点之间的距离可求得；进而把点m代入f（x）即可求得，把a，代入f（x）即可得到函数的解析式（2）根据x的范围进而可确定当的范围，根据正弦函数的单调性可求得函数的最大值和最小值确定函数的值域解答：解：（1）由最低点为得a=2由x轴上相邻的两个交点之间的距离为得=，即t=，由点在图象上的故又，（2），当=，即时，f（x）取得最大值2；当即时，f（x）取得最小值1，故f（x）的值域为1，2点评：本题主要考查本题主要考查了由y=asin（x+）的部分图象求解析式的问题及正弦函数的单调性问题属基础题21（12分）已知定义域为r的函数f（x）=是奇函数（）求b的值；（）判断函数f（x）的单调性；（）若对任意的tr，不等式f（t22t）+f（2t2k）0恒成立，求k的取值范围考点：函数恒成立问题；函数奇偶性的性质；二次函数的性质；利用导数研究函数的单调性 专题：计算题分析：（）利用奇函数定义f（x）=f（x）中的特殊值f（0）=0求b的值；（）设x1x2然后确定f（x1）f（x2）的符号，根据单调函数的定义得到函数f