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第二章平面向量2.2平面向量的线性运算2.2.3向量数乘运算及其几何意义学习目标1.通过实例,掌握向量数乘运算,理解其几何意义及向量共线定理.熟练运用定义、运算律进行有关计算,能够运用定理解决向量共线、三点共线、直线平行等问题.2.理解、掌握向量共线定理及其证明过程;会根据向量共线定理判断两个向量是否共线.3.通过由实例到概念、由具体到抽象,培养学生自主探究知识形成的过程的能力、合作释疑过程中合作交流的能力.激发学生学习数学的兴趣和积极性,陶冶学生的情感,培养学生实事求是的科学态度、勇于创新的精神.合作学习一、设计问题,创设情境问题1:向量加法的运算法则?问题2:向量减法的几何意义?问题3:一质点从点o出发做匀速直线运动,若经过1s的位移对应的向量用a表示,那么在同方向上经过3s的位移所对应的向量可用来表示.这是何种运算的结果?二、学生探索,尝试解决问题1:向量的加法:问题2:向量的减法:问题3:3a.三、信息交流,揭示规律问题4:已知非零向量a,作出a+a+a和(-a)+(-a),你能说出它们的几何意义吗?(1)相加后,和的长度和方向有什么变化?(2)这些变化与哪些因素有关?1.数乘的定义:.(1);(2)当0时,;当0时,a的方向与a的方向相同;当0时,a的方向与a的方向相反.由(1)可知,当=0或a=0时,a=0.问题5:问题6:2.结合律:(a)=()a第一分配律:(+)a=a+a第二分配律:(a+b)=a+b问题7:数乘向量与原向量共线.问题8:共线.问题9:不成立.3.向量共线定理:向量b与非零向量a共线当且仅当有唯一一个实数,使得b=a.四、运用规律,解决问题【例1】解:(1)原式=-12a.(2)原式=(3-2-1)a+(3+2)b=5b.(3)原式=(2-3)a+(3+2)b-(1+1)c=-a+5b-2c.【例2】解:作图如下(过程略)依图观察,知a,b,c三点共线.证明如下:=(a+3b)-(a+b)=2b,又=(a+2b)-(a+b)=b,=2,又有公共点a,a,b,c三点共线.五、变式演练,深化提高练习1解:设存在实数m,使得a-tb=ma-(a+b),化简得(m-1)a=(-t)b,a与b不共线,t=时,a,tb,(a+b)的终点在一条直线上.练习2:解:(1)证明:=(3a+b)-(2a-b)=a+2b.而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2,共线,且有公共端点b,a,b,c三点共线.(2)8a+kb与ka+2b共线,存在实数使得8a+k
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