三角-向量-行列式公式知识点.doc

1.诱导公式：， ， ，【注意】（）的本质是：奇变偶不变（对而言，指取奇数或偶数），符号看象限（看原三角比，同时可把看成是锐角）.诱导公式的应用是求任意角的三角比的值.2.(1)两角差的余弦、正弦和正切(2)两角和的余弦、正弦和正切3.二倍角公式4.(1)半角的正弦、余弦公式：（，）(2)半角的正切、余切公式： (3)万能公式：【方法总结】三角比的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路：一角二名三结构。即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角比变换的核心！第二看三角比的名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点.【辅助角公式】(其中角所在的象限由a, b的符号确定，角的值由 ,确定)在求最值、化简时起着重要作用.5.正余弦定理： 正弦定理：，其中是的外接圆半径【注意】在解三角形时，已知三角形的两边a, b及一边的对角，判断三角形解的情况：一解一解无解一解无解两解；一解；无解.余弦定理：； 或 ； ； 6.任意三角形的面积公式：1.理解向量的有关概念（1）向量的概念：既有方向又有大小的量，注意向量和数量的区别；（2）零向量：长度为零的向量叫零向量，记作：，注意零向量的方向是任意方向；（3）单位向量：给定一个非零向量，与同向且长度为1的向量叫的单位向量, 的单位向量是；（4）相等向量：方向与长度都相等的向量，相等向量有传递性；（5）平行向量（也叫共线向量）：如果向量的基线互相平行或重合则称这些向量共线或平行，记作：，规定零向量和任何向量平行；提醒：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；两个向量平行与两条直线平行是不同的两个概念：两个平行向量的基线平行或重合, 但两条直线平行不包含两条直线重合；平行向量无传递性！（因为有)； 三点共线共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量，的相反向量是长度相等方向相反的向量.2.向量的表示方法（1）几何表示法：用带箭头的有向线段表示，如，注意起点在前，终点在后；（2）符号表示法：用一个小写的英文字母来表示，如，等；（3）坐标表示法：在平面内建立直角坐标系，以与轴、轴方向相同的两个单位向量，为基底，则平面内的任一向量可表示为，称为向量的坐标，叫做向量的坐标表示，如果向量的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同.（提醒：向量的起点不在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标就不相同. ）3实数与向量的积：实数与向量的积是一个向量，记作，它的长度和方向规定如下：（1）；（2）当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反；当时，零向量，注意：.4平面向量的数量积：（1）两个向量的夹角：已知两个非零向量和，过O点作，则AOB (0180) 叫做向量与的夹角当0时，与 同向；当180时，与反向；如果与的夹角是90，我们说与垂直，记作（2）两个向量的数量积的定义：已知两个非零向量与，它们的夹角为，则数量叫做与的数量积（或内积），记作，即规定零向量与任一向量的数量积为0若，则（3）向量的数量积的几何意义：叫做向量在方向上的投影 (是向量与的夹角)的几何意义是，数量等于模与在上的投影的积（4）向量数量积的性质：设与都是非零向量，是单位向量，是与的夹角 当与同向时，；当与反向时，-,; |（5）向量数量积的运算律：【提醒】（1）若则为锐角或者角若则为钝角或者角.（2）|可以用来证明.（3）非零向量，夹角的计算公式：.(4)|. ； 5. 平面向量的基本定理：如果和是同一平面内的两个不共线向量，那么对该平面内的任一向量，有且只有一对实数、，使=，、称为一组基底.6向量的运算：（1）几何运算：提醒：平行四边形法则要求参与加法的两个向量的起点相同，三角形法则要求参与加法的两个向量的首尾相接.可推广到（据此，可根据需要在一个向量的两个端点之间任意插点）向量加法：利用“平行四边形法则”进行，但“平行四边形法则”只适用于不共线的向量，除此之外，向量加法还可利用“三角形法则”：设，那么向量叫做与的和，即；向量的减法：用“三角形法则”：设，那么由减向量的终点指向被减向量的终点.容易得出：（2）坐标运算：设，则： 向量的加减法运算：； 实数与向量的积：； 若，则，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标； 平面向量数量积：=； 向量的模：；7向量的运算律：（1）交换律：，=；( 2 ) 结合律：，；（3）分配律：，.8. 向量平行(共线)的充要条件：(1) 向量与非零向量共线的充要条件是；实数是唯一存在的，当与同向时，；当与异向时，； (2) 若,，则9向量垂直的充要条件：=向量中一些常用的结论：（1）在中，若，则其重心的坐标为.为的重心，特别地为的重心；为的垂心；向量所在直线过的内心(是的角平分线所在直线)；是的外心； （2）向量中三终点共线存在实数使得且.1.理解矩阵的有关概念（1）矩阵的定义：由个数，按一定次序排列成的矩阵表，叫做一个行列的矩阵，简记为矩阵.（2）在一般矩阵中，矩阵中的每个数叫做矩阵的元素；线性方程组，矩阵叫做一般线性方程组的系数矩阵，叫做一般线性方程组的增广矩阵；如：方程组对应系数矩阵，其中1行2列的矩阵叫做系数矩阵的两个行向量；2行1列的矩阵叫做系数矩阵的列向量；（3）当矩阵的行数与列数相等时，该矩阵称为方矩阵，简称方阵；我们把主对角线元素为1、其余元素均为零的方矩阵，如，叫做单位矩阵.【注意】两个矩阵相等：两个矩阵相等指的是这两个矩阵的行数、列数相同，而且对应的元素都一一相等.即若，当且仅当都成立时，这两个矩阵相等，记作. (6)空集是指不含任何元素的集合.（、和的区别；0与三者间的关系） 空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集.2.集合间的关系及其运算 2.矩阵的运算及其性质（1）矩阵的加法，若，则 .（2）矩阵的加法满足性质: 交换律,结合律.（3）数与矩阵乘法定义：以数乘矩阵的每个元素所得的矩阵叫做数与矩阵相乘的积，记作；规律：满足一下规律： ; ; .（4）设矩阵.如果它们元素间的关系可以用下列等式表示：，则叫做矩阵和矩阵的积，记作=【注意】两个矩阵的乘积：注意:只有当第一个矩阵的列数与第二个矩阵的行数相同时，这两个矩阵乘积才有意义，才可以相乘.一般地，.（5）矩阵的初等变换，指的是对实施如下变换：交换矩阵的两行（列）；以非零常数乘矩阵的某一行（或列）；以非零常数乘矩阵的某一行（列）后加到的另一行（列）上去. 3行列式的有关概念与性质（1）初中代数中，二元线性方程组当时，二元线性方程组有唯一解：，为了方便记忆，引入定义，叫做二阶行列式，叫做二阶行列式的展开式；设，则方程组的唯一解可表示为：.注意： 非零向量不平行的充要条件是.思考：（1）表示向量与平行； （2）当向量、不平行时，方程组有唯一解.（2）二元一次方程组的解的判别：（i），方程组有唯一解；（ii）：中至少有一个不为零，方程组无解； ，方程组有无穷多解.补充与提高： 行列式运算性质：把行列式的某一行的所有元素乘以一个数，等于用乘以这个行列式；行列式中某一行所有元素的公因子可以提到行列式记号的外边；如果行列式中某一行的元素全为0，那么这个行列式的值为0；交换行列式的任意两行，行列式的绝对值不变，符号相反；如果行列式有两行的对应元素相同，那么这个行列式的值为0；如果行列式有两行的对应元素成比例，那么这个行列式的值为0；如果行列式的某一行的元素都是二项式，那么这个行列式等于把这些二项式各取一项组成相应的行，而其余行不变的两个行列式的和；例如： +.（3）三阶行列式的两种展开方法：按对角线展开. 注意：红线上三元素的乘积均为正，蓝线上三元素的乘积均为负.按一行（或一列）展开.= (4)把三阶行列式某元素所在的行和列划去，剩下的元素组成的二阶行列式，叫做这个元素的余子式；如果用分别表示某个元素所在的行数和列数，那么这个元素的余子式乘以所得的式子，叫做这个元素的代数余子式.（5）三阶行列式等于它的任意一行（或列）的