北京市西城区高三数学二模考试试题 文.doc

北京市西城区2016年高三二模试卷 数 学（文科）2016.5第卷（选择题 共40分）一、 选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项 1. 设全集，集合，则集合（ ） （a）（b） （c）（d）2. 下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（ ） （a）（b） （c）（d）3. 设，满足约束条件 则的最大值是（ ） （a）（b） （c）（d）4执行如图所示的程序框图，如果输出的，那么判断框内应填入的条件是（ ）否输出是开始结束 （a） （b） （c） （d）5. 在abc中，角a，b，c所对的边分别为a，b，c. 若，则（ ） （a）（b） （c）（d）6. “”是“曲线为焦点在x轴上的椭圆”的（ ） （a）充分而不必要条件（b）必要而不充分条件 （c）充分必要条件（d）既不充分也不必要条件7.某市家庭煤气的使用量x（m3）和煤气费(元) 满足关系 已知某家庭今年前三个月的煤气费如下表： 月份用气量煤气费一月份4 m34 元二月份25 m314 元三月份35 m319 元 若四月份该家庭使用了20 m3的煤气，则其煤气费为（ ） （a）11.5元（b）11元 （c）10.5元（d）10元8. 设直线：，圆，若在直线上存在一点m，使得过m的圆c的切线，（为切点）满足，则的取值范围是（ ） （a）（b） （c）（d）第卷（非选择题 共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分9. 已知复数，则在复平面内，z对应点的坐标为_.10. 设平面向量满足，则向量夹角的余弦值为_.11. 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为_.2正（主）视图侧（左）视图俯视图112 12设双曲线c的焦点在x轴上，渐近线方程为，则其离心率为_；若点在c上，则双曲线c的方程为_.13. 设函数 那么_；若函数有且只有两个零点，则实数的取值范围是_.14. 在某中学的“校园微电影节”活动中，学校将从微电影的“点播量”和“专家评分”两个角度来进行评优. 若a电影的“点播量”和“专家评分”中至少有一项高于b电影，则称a电影不亚于b电影. 已知共有5部微电影参展，如果某部电影不亚于其他4部，就称此部电影为优秀影片. 那么在这5部微电影中，最多可能有_部优秀影片.三、解答题：本大题共6小题，共80分解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤15（本小题满分13分）已知函数. （）求函数的定义域和最小正周期；（）当时，求函数的值域. 16（本小题满分13分）已知数列的前n项和满足，其中. （）求证：数列为等比数列；（）设，求数列的前n项和.17（本小题满分14分）如图，在周长为8的矩形中，分别为的中点. 将矩形沿着线段折起，使得. 设为上一点，且满足平面.（）求证：； （）求证：为线段的中点； （）求线段长度的最小值.d c cf ega bd c cf ea b18（本小题满分13分）某中学有初中学生1800人，高中学生1200人. 为了解学生本学期课外阅读时间，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，先统计了他们课外阅读时间，然后按“初中学生”和“高中学生”分为两组，再将每组学生的阅读时间（单位：小时）分为5组：，并分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图.o时间(小时)10 20 30 40 500.0050.0250.0300.035高中生组o时间(小时)10 20 30 40 500.005a初中生组0.0200.040（）写出的值；（）试估计该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数；（）从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，求至少抽到1名高中生的概率.19（本小题满分13分）已知函数（）若，求a的值； （）设，若对于定义域内的任意，总存在使得，求a的取值范围.20（本小题满分14分） 已知抛物线：，过点的动直线l与相交于两点，抛物线在点a和点b处的切线相交于点q，直线与x轴分别相交于点.（）写出抛物线的焦点坐标和准线方程； （）求证：点q在直线上； （）判断是否存在点p，使得四边形为矩形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由.北京市西城区2016年高三二模试卷参考答案及评分标准 高三数学（文科） 2016.5一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.1b 2c 3b 4c 5b 6d 7a 8c二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 9 10 113 12 13 145 注：第12，13题第一问2分，第二问3分.三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分. 15（本小题满分13分）（）解：函数的定义域为，且. 2分 又因为 3分 7分 ， 9分 所以的最小正周期为.（验证知其定义域与之相符） 10分（）解：由，得， 11分 所以， 所以当时， 即函数在区间的值域为. 13分16（本小题满分13分）（）证明：因为， 所以当时，解得； 2分 当时， 3 分 由，得， 所以， 由，得， 所以，其中. 故是首项为2，公比为4的等比数列. 6 分（）解：由（），得. 8分 所以 . 则的前n项和 10分 . 13分17（本小题满分14分）（）证明：因为在折起前的矩形中，分别为的中点， 所以， 又因为， 所以平面. 2分 又因为平面， 所以. 4分（）证明：因为在折起前的矩形中，分别为的中点，所以在立体图中，. 即在立体图中，四边形为平行四边形. 连接，设，则. 6分 又因为平面，平面，平面平面， 所以， 所以在中，为中位线， 即为线段的中点. 9分f ega bd c c coh（）解：因为为线段的中点， 所以为等边三角形，且， 又因为， 所以平面. 设的中点为，连接， 易得四边形为平行四边形， 所以平面， 所以. 11分 设，由题意得， 所以， 13分 所以当时，. 所以线段长度的最小值为. 14分 18（本小题满分13分）（）解：. 3分（）解：由分层抽样，知抽取的初中生有60名，高中生有40名. 4分 因为初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为， 所以所有的初中生中，阅读时间不小于30个小时的学生约有人， 6分 同理，高中生中，阅读时间不小于30个小时的学生频率为，学生人数约有人. 所以该校所有学生中，阅读时间不小于30个小时的学生人数约有人. 8分（）解：记“从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，至少抽到1名高中生”为事件， 9分 初中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人.高中生中，阅读时间不足10个小时的学生频率为，样本人数为人. 10分记这3名初中生为，这2名高中生为，则从阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽取2人，所有可能结果有10种，即：， 而事件的结果有7种，它们是， 所以. 13分19（本小题满分13分）（）证明：函数的定义域，由题意，有意义，所以.求导，得. 3分所以，解得. 5分（）解：“对于定义域内的任意，总存在使得”等价于“不存在最小值” 6分 当时，由，得无最小值，符合题意 8分 当时， 令，得 或 . 9分随着x的变化时，与的变化情况如下表：0不存在极小 不存在 11分 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为因为当时，当时，所以所以当时，不存在使得综上所述，a的取值范围为. 13分20（本小题满分14分）（）解：焦点坐标为，准线方程为. 2分（）证明：由题意，知直线l的斜率存在，故设l的方程为. 由方程组 得， 由题意，得. 设，则， 4分 由抛物线方程，得，所以， 所以抛物线在点处的切线方程为， 化简，得 ， 同理，抛物线在点处的切线方程为. 6分 联立方程，得， 即， 因为，所以， 代入，得， 所以点，即. 所以点q在